1、上海市普陀区 2018 届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 设全集 ，若集合 ，则 1,2345U3,AUCA2. 若 ，则 sincos()3. 方程 的解 222lg()llog1xxx4. 的二项展开式中的常数项的值为 91(5. 不等式 的解集为 |x6. 函数 的值域为 2()3sincosxf7. 已知 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 在复平面内所对应的iz102ziz点所在的象限为第 象限8. 若数列 的前 项和 （ ），则 na231nS*nNlim3na9. 若直线 与曲线 交于两点
2、 、 ，则:5lxy:6Cxy1(,)Axy2(,)B的值为 121xy10. 设 、 、 、 是 1，2，3，4 的一个排列，若至少有一个 （ ）使得a23a i1,4成立，则满足此条件的不同排列的个数为 i11. 已知正三角形 的边长为 ，点 是 所在平面内的任一动点，若 ，ABCMABC|1MA则 的取值范围为 | |M12. 双曲线 绕坐标原点 旋转适当角度可以成为函数 的图像，关于此函213xyO()fx数 有如下四个命题：()f 是奇函数；x 的图像过点 或 ；()f3(,)2(,)2 的值域是 ；x 函数 有两个零点；()yfx则其中所有真命题的序号为 二. 选择题（本大题共 4
3、 题，每题 5 分，共 20 分）13. 若数列 （ ）是等比数列，则矩阵 所表示方程组的解的个数na*N124568a是（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 无数个 D. 不确定14. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的（ ）m()|2)|fxm(0,)A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件15. 用长度分别为 2、3、5、6、9（单位： ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折c断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A. 258 B. 414 C. 416 D. 4182cm2m2m2cm16. 定义在
4、上的函数 满足 ，且 ，则R()fx01()4xxf()(1)fxf函数 在区间 上的所有零点之和为（ ）35()2gxf1,A. 4 B. 5 C. 7 D. 8三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图所示的圆锥的体积为 ，底面直径 ，点 是弧 的中点，点 是母32ABCABD线 的中点.PA（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线 与 所成角的大小.BCD18. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买 台机器人的总成本 万元.x21()5060pxx（1）若使每台机器人的平均成本最低，
5、问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件m送达指定落袋格口完成分拣（如图） ，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件） ，8(60)(130)()54mq已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19. 设函数 （ ， ） ，已知角 的终边经过点 ，点()sin)fx0|2(1,3)、 是函数 图像上的任意两点，当 时，1(,My2,Ny(fx12|()|fxf的2|x最小值是 .（1）求函数 的解析式；()yfx（2）已知 面积为
6、，角 所对的边 ， ，求 的周长.ABC53C25cos()4CfABC20. 设点 、 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，且椭圆 上的点到1F22:1xyCt0tC点的距离的最小值为 ，点 、 是椭圆 上位于 轴上方的两点，且向量2 MNCx与1M向量 平行.2FN（1）求椭圆 的方程；C（2）当 时，求 的面积；1201FN（3）当 时，求直线 的方程.1|6221. 设 为等差数列 的公差，数列 的前 项和 ，满足dnanbnT1()2nnb（ ） ，且 ，若实数 （ ， ） ，则*nN52b23|kkkmPxa*N3k称具有性质 .mkP（1）请判断 、 是否具有性质 ，并说明理由；1b
7、26（2）设 为数列 的前 项和，若 是单调递增数列，求证：对任意的 （nSna2nSak， ） ，实数 都不具有性质 ；*kN3kP（3）设 是数列 的前 项和，若对任意的 ， 都具有性质 ，求所有满nHnT*N21nHkP足条件的 的值.普陀区 2017 学年第一学期高三数学质量调研评分标准一、填空题1 2 3 4 5 6,214180,1)(21,37 8 9 10 11 12一 265,6二、选择题13 14 15 16CACB三、解答题17.（1）由圆锥的体积 ， 2 分213()3BVOP得 ，即 , 4 分3OP2B则该圆锥的侧面积为 . 6 分112S（2）联结 ，由条件得 ，
8、即 是异面直线 与,D/OPBCDOPB所成角或其补角， 2 分C点 是弧 的中点，则 ,又 为该圆锥的高，ABCA则 ,即 平面 ， 4 分PO在平面 内，则 ，即 为直角三角形，又 ，则 ， 7 分12D4DO即异面直线 与 所成角的大小为 . 8 分B18.（1）由题意得每台机器人的平均成本为 2 分()15016pxx4 分22当且仅当 ，即 时取等号，1506x*(N)30x则要使每台机器人的平均成本最低，应买 台. 6 分CODBAP17 题图（2）当 时，每台机器人日平均分拣量130m 8()(60)15qm，当 时，每台机器人的日平均分拣量最大值为 228()48530 480
9、分当 时，每台机器人的日平均分拣量仍为 ，则引进 台机器人后，日平均分拣304803量的最大值为 . 4 分1若用传统人工分拣 件，则需要 人，6 分4012因此，引进机器人后要降低物流成本，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 . 8 分12375%0419.（1）由角 的终边经过点 得 ，(1,3)tan3又 ，则 ，3 分23当 时， 的最小值是 ，则 ，1()fxf12x2(0)即 ， 5 分则所求函数的解析式为 . 6 分()sin)3f（2）由（1）得 ，1cosi(2sin462Cf又 的面积为 ，则 ，即 ， 4 分AB531sin53ab0ab由余弦定理得 ，即 ,即
10、7 分22()02()85b则所求的 的周长为 . 8 分C620 （1）由 得点 ，又椭圆 上的点到点 的距离的最小值为 ，0t2(,)FtC1F2则 ， 3 分2即 ，故椭圆 的方程为 .4 分tC2184xy（2）设 ， ，则 ， 且 ，1(,)Nxy2M(,)21218xy20,y由（1）得 ， ，即 ， ，1,0F2,11(,)FN21(,)FNx又 ，即 ，联立 ，21211()0FNxy 214xy2184xy解得 ，即 . 2 分10y(,)又 且 ，则 是直线 的一个法向量，即直线1/FM2N12F1(2,)N1FM的点法向式方程为 ，即 .联立 消去 整理2()0xy20x
11、y221840xy2x化简得 ，即 或 （舍） ，234y232得 ，即 . 4283xy(,)M分则 ，即 的面积为 .6 分1201438FMNS1FN43说明：三角形面积的求法不唯一，可以图形分割，用面积求差来解；也可以用点到直线的距离求出高，再用两点之间的距离公式求出底，用底与高乘积的一半来求等；也可等面积转换求解，请相应给分.（3）延长线段 交椭圆 于点 ，向量 与向量 平行，根据椭圆的中心对称2NFCG1FM2N性得 且 ，即 .221GM1226FG分又 ，则直线 的斜率一定存在且值为负，可设直线 的方程为：212 2，点 ， ，且 ，联立方程 ，()ykx1,N()xy2,G(
12、)12x184()xyk整理化简得 ，则 . 22(1)80kxk2128kx则 2221FNG12(4)x，22841()kk即 ，整理得 ，即 5 分2416k4215022(65)10k又 ，则 ，故直线 的方程为 . 6 分022FNxy21.（1）由 得 ， 1 分111Tb4b又 ，得 3 分3123344488616Tbb 21可得 5()(5)n nad从而 6|04Px故 不具有性质 ， 具有性质 . 4 分1b62b6P说明：求 是难点，第（1）问不必这样求解，可以直接用等差数列单调性判断下结论，2可相应的评分，求 以及数列的通项公式的评分可在第（2）问解答过程中体现.（2
13、） ，2174163448nnnSa 2 分因为数列 单调递增，所以 ，即 ，4 分2n 7321又数列 单调递增，则数列 的最小项为 ，nana14a则对任意 ，都有 ，*,3kN23k故实数 都不具有性质 . 6 分kP（3）因为 ，所以 ，1()2nnTb1*1()(2,N)2nnTb两式相减得 ，1 1()nn即 ，1()nn *,)当 为偶数时， ，即 ，此时 为奇数；12nbb2nn当 为奇数时， ，即 ，则 ，n1b12n此时 为偶数；1则 ， . 3 分(2nnb为 奇 数 ）为 偶 数 ） *Nn则 1(20nnT为 奇 数 ）为 偶 数 ）故 2123421n nHTT5 分224682()14()34nn n因为 对于一切 递增，所以 ，1n*N31n所以 .2134H若对任意的 ， 都具有性质 ，则 ，*n21nkP(,34614kx即 ，解得 ，又 ，则 或 ，6431k403k*2,Nk即所有满足条件的正整数 的值为 和 .8 分说明：此处可不求 ，直接用求和定义得nT2123421n nHTT1234=(2)()()()nnbbbb12342321=(2)()()(2)nnnbnbbb请相应评分.
