1、12015-2017 高考立体几何题汇编2017(三)16 a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）2017(三)19 （12 分）如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD =CBD，AB=
2、 BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值2017(二)4 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A 90B 63C 42D 362017(二)10 已知直三棱柱 中， ， ，1ABC120ABC 1BC，则异面直线 与 所成角的余弦值为1A B C D3251032017(二)19（12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且 垂直于底2面 ABCD
3、， E 是 PD 的中点o1,90,2ABCDBAC（1）证明：直线 平面 PAB；E（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 ，求二面角 的余弦值o45MABD2017(一)7 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为2017(一)18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且 .90BAPCD（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2 ）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 APBC 的余弦值.2017(天
4、津)（17） （本小题满分 13 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC， .点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，90BACPA=AC=4，AB =2.（）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 C-EM-N 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的7212016(二)（19 ） （本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB =5，AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，AE= CF= ，EF 交 BD 于点 H.将 DEF
5、沿EF 折到 的位置， .（I）证明： 平面 ABCD；（II）求二面角 的正弦值.32016（北京） 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 16 B. 13 C. 12D.12016（北京） 17.（本小题 14 分）如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PA平面 BCD， PA， PD， AB，1AB， 2， 5.（1）求证： PD平面 AB；（2 ）求直线 PB与平面 CD所成角的正弦值；2015（二） （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为4（A ） 81 （B ） 71 （C） 61 （D） 512015
6、（二） （19 （本小题满分 12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点 E，F 分别在 A1B1，D 1C1 上，A 1E = D1F = 4，过点E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ；（2）求直线 AF 与平面 所成的角的正弦值。2015（一） （18 ）如图， ，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面 AEC平面 AFC（2）求直线 A
7、E 与直线 CF 所成角的余弦值 主()主 11主主()主2 12015（北京）5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A B C D52545252015（北京）17.（本小题 14 分）如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ， ，AEFCBA AEFCBEF 4BC2EFa， 为 的中点60EBCO() 求证： ；() 求二面角 的余弦值； () 若 平面 ，求 的值FEBAOa5OFE CBA2015（陕西）5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 3 B 4 C 24 D 32015（陕西）18 （本小题满分 12 分）如图 ，在直角梯形
8、 CDA中， /， D2A， C1，D2A， 是 的中点， 是 CA与 的交点将 沿 折起到 1的位置，如图 （I）证明： C平面 1；（II）若平面 1平面 C，求平面 1C与平面 1夹角的余弦值答案：2017(三)16. 62017(三)19.解：（1）由题设可得， 又 是直角三角形，所以,ABDCADC从 而 0=9ACD取AC的中点O，连接DO,BO,则DOAC,DO=AO又由于 BOA是 正 三 角 形 ， 故所以 DBC为 二 面 角 的 平 面 角222220,RtAAOBODCD在 中 ，又 所 以 ， 故 O=9所 以 平 面 平 面（2）由题设及（1）知， 两两垂直，以 为
9、坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间OA,BDOAxOA直角坐标系 ，则xyz- (1， 0， ),(， 3， 0),(1， 0， ),(， 0， 1)CD由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，即 E 为 DB2 12的中点，得 E .故310， ，231， 0， 1， ， ， 0， ， ， 2ADA设 是平面 DAE 的法向量，则=x,yzn ， 即 3100， 2xzyEAn可取 设 是平面 AEC 的法向量，则 同理可得31,m，CAm3,则 所以二面角 D-AE-C
10、 的余弦值为7cos,An72017(二)4 【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱，其7体积 ，上半部分是一个底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半，其体积 ，故21346V 221(36)7V该组合体的体积 故选 B12376V2017(二)10.【答案】C2017(二)19 2017(一)7 试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为 ，故选 B.12(4)22017(一)19.【解析】8试题解析：（1）由已知 ，得 ABAP，CDPD.9
11、0BAPCD由于 AB/CD ，故 ABPD ，从而 AB平面 PAD.又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.（2）在平面 内作 ，垂足为 ，由（1 ）可知， 平面 ，故 ，可得 平面DFFABPDABFP.以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 .ABCAx| xyz由（1）及已知可得 ， ， ， .2(,0)A2(,)P(,10)B2(,10)C所以 ， ， ， .(,1)PC(,0)C(,)A(,)AB设 是平面 的法向量，则,)xyznB即 可取 .设 是平面 的法向量，则0,CB20,zx(,12)n(,)xyzmPAB即 可取
12、 .则 ，,0PAm,2.zy(,)m3cos,|n所以二面角 的余弦值为 .BC32017(天津)（17） 【答案】 （1）证明见解析（2） （3） 或 10528129（）证明： =（0 ，2，0 ） ， =（2，0 ， ）.设 ，为平面 BDE 的法向量，DEDB(,)xyzn则 ，即 .不妨设 ，可得 .又 =（1，2 ， ） ，可得 .0Bnyxz1z(1,0)MN0MNn所以，线段 AH 的长为或 .122016（二） 19.（本小题满分 12 分） 【答案】 （）详见解析；（ ） .【解析】试题分析：（）证 ，再证 ，最后证 ；（）用向量法求解.试题解析：（I）由已知得 ， ，又由 得 ，故 .因此 ，从而 .由 , 得 .10由 得 .所以 ， .于是 ， ，故.又 ，而 ，所以 .（II）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， .设 是平面的法向量，则 ，即 ，所以可以取 .设 是平面 的法向量，则 ，即 ，所以可以取 .于是 ， .因此二面角 的正弦值是 .2016（北京） 6.试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥 PABC，其体积 1326V，故选 A.2016（北京） 17【答案】 （1 ）见解析；（2 ） 3；（3）存在， 14M
