1、1椭圆的定义及几何性质考点突破：圆锥曲线的定义及几何性质多以基础题为主，侧重基础知识的掌握和基本数学思想方法的灵活应用，难度不大。考查形式一是定义及基本性质为主的客观题，是容易题；二是以综合题的形式考查圆锥曲线的定义和性质，中档题。预计 2015 考查椭圆、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质，双曲线的的标准方程技几何性质较大。复习中注意基本概念和基本思想方法的掌握，同时注意运算中的减负如设而不求，活用定义，妙用平面的几何性质等，勇于联想、探索、大胆实践，提升解题能力。题型一：椭圆的定义及其应用1、判断轨迹：例：已知 是定点，动点 M 满足 ，且 则点 M 的轨迹为（ 12,F12|8F12
2、|8F）A椭圆 B.直线 C.圆 D.线段分析：紧扣椭圆的定义。解：由题意得 ，且 则12|812|812|12|8所以点 M 的轨迹为线段 。F点评：求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律，即 P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解( 即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解 (即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示 )检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形变式：1 已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点若21F、 1952y
3、x1F,AB，则 2BAA【知识点】椭圆的定义解：因为 + 4a=20， ，所以 =8.2 122BA【思路点拨】在圆锥曲线中，当遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系问题时，注意应用其定义建立等量关系进行解答.2、利用定义例：已知椭圆 1 与双曲线 y 21 的公共焦点 F1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共x26 y22 x23点，则 cosF 1PF2 的值为( ) A. B. C. D.14 13 19 35审题视点 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求B 因点 P 在椭圆上又在双曲线上，所以|PF 1|PF 2|2 ，|PF 1| PF2|2 .6 3设|PF 1| |PF2|，解得 |
4、PF1| ，| PF2| ，6 3 6 32由余弦定理得 cosF 1PF2 .|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 6 32 6 32 1626 36 3 13方法锦囊： 涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离变式：1、(2011青岛模拟)已知 F1、 F2 是椭圆 C： 1(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上x2a2 y2b2的一点，且 .若PF 1F2 的面积为 9，则 b_.PF1 PF2 审题视点 关键抓住点 P 为椭圆 C 上的一点，从而有| PF1|
5、PF 2|2a，再利用 ，进而得解PF1 PF2 解析 由题意知|PF 1| PF2|2a， ，PF1 PF2 |PF 1|2| PF2|2|F 1F2|24c 2，(|PF 1| PF2|)22|PF 1|PF2|4c 2，2| PF1|PF2| 4a24c 24b 2.|PF 1|PF2|2b 2，SPF 1F2 |PF1|PF2| 2b2b 29. b3.答案 312 12方法总结： 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形” ，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|PF2|；通过整体代入可求其面积等2、 已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆 y 21
6、 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另x23外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是( ) A 2 B6C4 D123 3解析 由椭圆的定义知：|BA|BF| |CA |CF |2a，周长为 4a4 (F 是椭圆的另外一个焦点)答案 C33、已知 F1， F2是椭圆 1 的两焦点，过点 F2的直线交椭圆于 A， B 两点，在 AF1Bx216 y29中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为( )A6 B5 C4 D3解析：选 A 由椭圆定义，知 AF1B 的周长为 4a16，故所求的第三边的长度为 16106.4、已知 F1， F2是椭圆 的两焦点，过点 F2的直线交椭圆于25x
7、y两点， AF1B 的内切圆的周长为 ，则 为( ) (,),)xyB12|y5.3A0.3.C.3D解析：选 A 由椭圆定义，知 AF1B 的周长为 4a20， 21SrAF 1B 的面积为 S，31212121 5420|6|,|3SarcyyyAAA3、转化定义例：设椭圆 1 和双曲线 x 21 的公共焦点分别为 F1、F 2，P 为这两条曲线的一x22 y2m y23个交点，则|PF 1|PF2|的值等于_解析：焦点坐标为(0，2) ，由此得 m24，故 m6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|PF 2|2 ，| PF1| PF2|2 两式平方相减得 4|PF1|PF2|43， |P
8、F1|PF2|3.6 3知识总结：要深刻理解椭圆的定义，其定义是由椭圆上得点到焦点的距离来刻画的，只要涉及椭圆上的点到焦点（定点）的距离时多考虑椭圆的定义。变式练习：1.已知 P 为椭圆 1 上的一点， M， N 分别为圆( x3) 2 y21 和圆( x3) 2 y24x225 y216上的点，则| PM| PN|的最小值为( )A5 B7 C13 D15解析：选 B 由题意知椭圆的两个焦点 F1， F2分别是两圆的圆心，且| PF1| PF2|10，从而| PM| PN|的最小值为| PF1| PF2|127.2. 设 F1， F2分别是椭圆 1 的左、右焦点， P 为椭圆上任一点，点 M
9、 的坐标为(6,4)，x225 y216则| PM| PF1|的最大值为_解析：| PF1| PF2|10，| PF1|10| PF2|，| PM| PF1|10| PM| PF2|，易知点 M在椭圆外，连接 MF2并延长交椭圆于 P 点，此时| PM| PF2|取最大值| MF2|，故|PM| PF1|的最大值为 10| MF2|10 15.(63)4点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交3. 已知 P 为椭圆 1 上的一点， M， N 分别为圆( x3) 2 y21 和圆( x3) 2 y24x225 y216上的点，则| PM|
10、PN|的最小值为( )A5 B7 C13 D15解析：选 B 由题意知椭圆的两个焦点 F1， F2分别是两圆的圆心，且| PF1| PF2|10，从而| PM| PN|的最小值为| PF1| PF2|127.题型二:椭圆的标准方程和性质例：例 1 (1)(2013广东高考)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C的方程是( )A. 1 B. 1 C. 1 D. 112 x23 y24 x24 y23 x24 y22 x24 y23(2)(2014岳阳模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在 x轴上，离心率为 .过 F1的直
11、线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，且 ABF2的周长为 16，那么椭圆22C 的方程为_解： (1)由右焦点为 F(1,0)，可知 c1，因为离心率为 ，即 ，故 a2，由12 ca 12a2 b2 c2，知 b2 a2 c23，因此椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由 ABF2的周长为 4a16，得 a4，又知离心率为 ，即 ， c a2 ，所以22 ca 22 22 24a216， b2 a2 c21688，所以椭圆 C 的方程为 1.x216 y28【互动探究】在本例(2)中若将条件“焦点在 x 轴上”去掉，结果如何？解： 由例 1(2)知：当焦点在 x 轴上时，椭圆的方
12、程为 1；当焦点在 y 轴上时，椭x216 y28圆的方程为 1.综上可知 C 的方程为 1 或 1. y216 x28 x216 y28 x28 y216【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：由条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程 1( ab0)， 1( ab0)或x2a2 y2b2 x2b2 y2a2mx2 ny21( m0， n0)(3)找关系：根据已知条件，建立关于 a， b， c 或 m， n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“
13、先定型，再定量” ，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 mx2 ny21( m0， n0)变式练习1.已知椭圆的长轴是短轴的 3 倍，且过 A（3,0） ，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程_解：法一：分类讨论焦点的位置求解。法二：设椭圆的方程为： .21(0,)xynm由题得： 解得：9912323nAA或 918mn或所以椭圆的方程为： 或19xy289xy2.(2012山东)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 .双曲线 x2y 21 的渐近线与椭x2a2 y2b2 32圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为 ( )
14、A. 1 B. 1 C. 1 D. 1x28 y22 x212 y26 x216 y24 x220 y25解析：椭圆的离心率为 ， ，a2b.椭圆方程为 x24y 24b 2.32 ca a2 b2a 32双曲线 x2y 21 的渐近线方程为 xy0，渐近线 xy0 与椭圆 x24y 24b 2 在第一象限的交点为 ，b5,由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 b b4，255 2555b 25，a 24b 220.椭圆 C 的方程为 1.x220 y25点评：已知椭圆的性质求标准方程的步骤：一确定焦点位置即椭圆的方程的形式；二建立a,b,c 的方程关系求其值；三写出标准方程。题型
15、三：椭圆的重要性质-离心率椭圆离心率的求解是高考的一个热点，分离心率的值的求解和取值范围的求解。特别是离心率的取值范围的求解更是一个难点。1、离心率的值的求解求解时若方程给定分别求 ;若不知方程构建 的齐次式两边同时除以 得 的方程，,abc,acae以此解 。e示例：如图 A、 B、 C 分别为 1 (a b0)的顶点与焦x2a2 y2b2 点，若 ABC=90，则该椭圆的离心率为( )A. B1 C. 1 D. 1 52 22 2 22解析：| AB|2 a2 b2，| BC|2 b2 c2，| AC|2( a c)2. ABC90，| AC|2| AB|2| BC|2，即( a c)2
16、a22 b2 c2，2 ac2 b2，即 b2 ac. a2 c2 ac. 1，即 e1.ac ca 1e解之得 e ，又 e0， e .答案：A 152 1 52点评：求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出 a， c 的值；二是由已知条件得出关于 a， c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率变式1把条件“ A、 B、 C 分别为 1 ( a b0)的顶点与焦点，x2a2 y2b2若 ABC=90“改为“ F1、 F2分别为椭圆 ，的左、21(0)xy右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另 一点 B
17、.若 F1AB=90”求椭圆的离心率；解：若 F1AB90，则 AOF2为等腰直角三角形，所以有 OA OF2，即 b c.所以 a c， e .2ca 222.把条件“ A、 B、 C 分别为 1 (a b0)的顶点与焦点，若 ABC=90”改为“椭x2a2 y2b2圆通过 A，B 两点，它的一个焦点为点 C，且 ABAC 1， ，椭圆的另一个09BAC6焦点在 AB 上” ，求椭圆的离心率为_解析：设另一个焦点为 F，如图所示，|AB |AC|1， ABC 为直角三角形，11 4a，则 a ，22 24设|FA| x，Error!x ，1 24c 2，22 c ，e . 答案 64 ca
18、6 3 6 33.把条件“ A、 B、 C 分别为 1 (a b0)的顶点与焦点，若 ABC=90“改为x2a2 y2b2“F1、 F2分别为圆锥曲线的左、右焦点，曲线上存在点 P 使|PF1| F1F2| PF2|432，则曲线 的离心率等于( )A. 或 B. 或 2 C. 或 2 D. 或12 32 23 12 23 32解：设| F1F2|2 c(c0)，由已知| PF1| F1F2| PF2|432，得|PF1| c，| PF2| c，且| PF1|PF2|，83 43若圆锥曲线为椭圆，则 2a| PF1| PF2|4 c，离心率 e ；ca 12若圆锥曲线为双曲线，则 2a| PF
19、1| PF2| c，离心率 e ，故选 A.43 ca 324. 椭圆 的左、右顶点分别是 A，B 左、右焦点分别是 F1，F 2若2(0)xyb|AF1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 。【知识点】椭圆的基本性质；离心率.解：因为椭圆 的左右顶点分别为 A、B，左右焦点分别为 ，若20xyab 12,|AF1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列 ， 1121,AFcFac254accae【思路点拨】直接利用椭圆的定义，结合|AF 1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率5. 已知椭圆 1( ab0)的两顶点为 A(a,0)， B(
20、0， b)，且左焦点为 F， FAB 是以x2a2 y2b2角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为 ( )A. B. C. D.3 12 5 12 1 54 3 14解：选 B 由题得 a2 b2 a2( a c)2，即 c2 ac a20，即 e2 e10，得 e7，又因为 e0，故所求的椭圆的离心率为 . 152 5 126. 设椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是 C 上的点， PF2 F1F2，x2a2 y2b2 PF1F230，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.36 13 1233解析：选 D 在 Rt PF2F1中，令| PF
21、2|1，因为 PF1F230，所以| PF1|2，| F1F2|.3所以 e .2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 337. 已知椭圆 C： 1(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，x2a2 y2b2连接 AF，BF.若| AB|10，|BF|8，cosABF ，则 C 的离心率为( )45A. B. C. D.35 57 45 67解析：在ABF 中，由余弦定理得|AF| 2|AB| 2|BF| 22|AB|BF|cosABF，|AF| 2 1006412836，|AF| 6，从而|AB| 2|AF| 2| BF|2，则 AFBF.c|OF| |AB|5，
22、利用椭圆的对称性，设 F为右焦点，则|BF| AF|6，122a|BF| BF| 14，a7.因此椭圆的离心率 e .ca 578. 椭圆 ： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，焦距为 2c.若直线x2a2 y2b2y (x c)与椭圆 的一个交点 M 满足 MF1F22 MF2F1，则该椭圆的离心率等于3_解析：如图， MF1F2中， MF1F260， MF2F130， F1MF290，又|F1F2|2 c，| MF1| c，| MF2| c，2 a| MF1| MF2| c c，得 e 3 3ca 23 1 1.32、离心率的取值范围的求解解题的关键在于如何建立不等关系定离心
23、率的取值范围.示例：椭圆 ： 的两焦点为 ，椭圆上存在点G21(0)xyab12(,0)(,Fc使 . 求椭圆离心率 的取值范围；M120Fe8解： 设 2212(,)0MxyFxyc将 代入得 求得 .22ba2ab20xa1e点评： 中 ，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数21(0)xyx范围问题中经常使用，应给予重视.变式1.把条件“椭圆上存在点 使 ”改为“满足 的点 M 总在椭M120F120F圆内部”则椭圆离心率的取值范围是（ ） A(0,1) B(0， C(0， ) D ，1)12 22 22解析：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a、 b、 c， , M 点的轨迹是
24、以原点 O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆10F又 M 点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即 c b， c2 b2 a2 c2. e2 ，0 e .答案：Cc2a2 12 222.将条件“椭圆上存在点 使 ”改为 “椭圆上存在P满足120F且有且只有两个这样的点求离心率的值？若这样的点有且只有四个呢？120PF解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a、 b、 c， ,当这样的点有两个时 M 点在椭圆的短轴端点上1M即 ,bc2a2cea当这样的点有四个时则 即 所以b1e3.把条件“椭圆上存在点 使 ”改为“在椭圆上存在点P，满足M120F”则椭圆的离心率的取值范围为( )。12|PF=5解
25、：|PF 1|=5|PF2|,|PF 1|+|PF2|=6|PF2|= ，|PF 2| ，|PF 1| ，所以a35a所以 ，故椭圆离心率的取值范围为 .3ac3ee4.把条件“椭圆上存在点 使 ”改为“在椭圆上存在点P，满足M120F9 F1PF260”.求椭圆离心率的范围？解：设椭圆方程为 1( ab0)，| PF1| m，| PF2| n.x2a2 y2b2在 PF1F2中，由余弦定理可知， .2 04cos6c2 2,()mnnna2 243cama即，2(),又 2134,ca11,0ee又5. 已知椭圆 x2 my21 的离心率 e ，则实数 m 的取值范围是 ( )1,2A. B
26、. C. D.430， ,34,340， 341,，解析：选 C 在椭圆 x2 my21 中，当 01 时， a21， b2 ， c21 ， e2 1 ，1m 1m c2a2 1 1m1 1m又 ，12 14 1m 43综上可知实数 m 的取值范围是 .,0，点评：在解题学习课或试卷讲评课的教学过程中，利用此类变式问题可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力、探究创新的能力以及灵活多变的思维能力。解题策略：1. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程
27、：由上述判断设方程 1( ab0)， 1( ab0)x2a2 y2b2 x2b2 y2a2或 mx2 ny21( m0， n0)(3)找关系：根据已知条件，建立关于 a， b， c 或 m， n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“ 先定型，再定量” ，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 mx2 ny21( m0， n0)2.利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系10在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中 x， y的范围，离心率的范围等不等关系(2)利
28、用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系2求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a， b， c 的等式或不等式，利用 a2 b2 c2消去 b，即可求得离心率或离心率的范围巩固提高1. 已知点 F1， F2分别是椭圆 x22 y22 的左、右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么| |的最小值是( )A0 B1 C2 D2P 2解：设 P(x0， y0)，则 (1 x0， y0)， (1 x0， y0)，F (2 x0，2 y0)，| | 2 21
29、 1P24x20 4y20 2 2y20 y20. y20 2点 P 在椭圆上，0 y 1，当 y 1 时 ，| |取最小值为 2.20 20 1P2 椭圆 M： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 为椭圆 M 上任一点，且x2a2 y2b21 2 的最大值的取值范围是c 2,3c2，其中 c ，则椭圆 M 的离心率 e 的取值范PF PF a2 b2围是 ( )A ， B ， C( ，1) D ，1)14 12 12 22 22 12解析 设 P(x，y) ，F 1(c, 0)，F 2(c,0)，则 1(cx，y) ， 2(cx，y) ，PF PF 1 2x 2y 2c 2.又
30、 x2y 2 可看作 P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x 2y 2)maxa 2，PF PF 所以( )maxb 2，所以 c2b 2a 2c 23c 2，即 e2 ，所以 e .故选 B.PF2 PF2 14 12 12 222设椭圆 1(ab0)的离心率为 e ，右焦点为 F(c,0)，方程 ax2bxc0 的两x2a2 y2b2 12个实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1，x 2) ( )A必在圆 x2y 22 内 B必在圆 x2y 22 上C必在圆 x2 y22 外 D以上三种情形都有可能解析 x 1x 2 ，x 1x2 .x x (x 1x 2)22x 1x2 .ba ca 21 2 b2a2 2ca b2 2aca2e ，c a，b 2a 2c 2a 2 2 a2.x x 2.ca 12 12 34 21 2 34a2 2a12aa2 74P(x 1，x 2)在圆 x2y 22 内
