1、1反比例函数知识点归纳和典型例题知识点归纳（一）反比例函数的概念1 （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；2 （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的 k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数 的自变量 ，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数 的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为0，且 x 应对称取点（关于原点对称） （三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式： （ ）2自变量的取值范围：3图象：（1 ）图象的形状：双曲线越大，图象的
2、弯曲度越小，曲线越平直 越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上图象关于直线 对称，即若（a ，b）在双曲线的一支上，2则（ ， ）和（ ， ）在双曲线的另一支上4k 的几何意义如图1 ，设点 P（a ，b ）是双曲线 上任意一点，作 PAx 轴于 A 点，PBy 轴于 B 点，则矩形 PBOA
3、的面积是 （三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 ） 如图2 ，由双曲线的对称性可知， P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QCPA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为 图1 图25说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线 与双曲线 的关系：当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点， 且这两个交点关于原点成中心对 称3（四）充分利用数形结合的思想解决问题例题分析1反比例函数的概念（1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ay=3x B C3xy=1 D（2）下列函数中，y 是 x
4、 的反比例函数的是（ ） A B C D2图象和性质（1）已知函数 是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么 k=_若 y 随 x 的增大而减小，那么 k=_（2）已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 的图象位于第_象限（3）若反比例函数 经过点（ ，2 ） ，则一次函数 的图象一定不经过第_象限（4）已知 ab0，点 P（a ，b）在反比例函数 的图象上，则直线 不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（5）若 P（2，2）和 Q（m， ）是反比例函数 图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B
5、第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函数 和 （k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） 4A B C D3函数的增减性（1）在反比例函数 的图象上有两点， ，且 ，则 的值为（ ） A正数 B负数 C非正数 D非负数（2）在函数 （ a 为常数）的图象上有三个点 ， ，则函数值 、 、 的大小关系是（ ） A B C D （3）下列四个函数中： ； ； ； y 随 x 的增大而减小的函数有（ ） A0个 B1 个 C2 个 D3个（4）已知反比例函数 的图象与直线 y=2x 和 y=x+1的图象过同一点，则当x0时，这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大
6、而_ （填“增大”或“减小” ） 4解析式的确定（1）若 与 成反比例， 与 成正比例，则 y 是 z 的（ ） A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D不能确定（2）若正比例函数 y=2x 与反比例函数 的图象有一个交点为 （2，m） ，则 m=_，k=_，它们的另一个交点为_（3）已知反比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图象在第二、四象限，求 的值（4）已知一次函数 y=x+m 与反比例函数 （ ）的图象在第一象限内的交点为 P （x0，3） 5求 x0的值；求一次函数和反比例函数的解析式5面积计算（1 ）如图，在函数 的图象上有三个点 A、 B、C ，过这三个点分别向 x轴、y
7、轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 、 、 ，则（ ） A B C D第（1）题图 第（2 ）题图（2 ）如图，A、B 是函数 的图象上关于原点 O 对称的任意两点，AC/y轴，BC/x 轴， ABC 的面积 S，则（ ） AS=1 B1 S2 CS=2 DS2（3 ）如图，RtAOB 的顶点 A 在双曲线 上，且 SAOB=3，求 m 的值第（3）题图 第（4 ）题图6（4）已知函数 的图象和两条直线 y=x，y=2x 在第一象限内分别相交于 P1和 P2两点，过 P1分别作 x 轴、y 轴的垂线 P1Q1， P1R1，垂足分别为 Q1，R1，过 P2
8、分别作 x 轴、y 轴的垂线 P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为 Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和 O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小（5）如图，正比例函数 y=kx（k0）和反比例函数 的图象相交于 A、C两点，过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B，连接 BC，若ABC 面积为 S，则S=_第（5）题图 第（6 ）题图（6）如图在 RtABO 中，顶点 A 是双曲线 与直线 在第四象限的交点，ABx 轴于 B 且 SABO= 求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点 A、C 的坐标和 AOC 的面积7（7）如图，已知正方形 OABC 的面积为9，点 O
9、为坐标原点，点 A、C 分别在x 轴、 y 轴上，点 B 在函数 （k 0，x0 ）的图象上，点 P （m，n）是函数 （k0，x0）的图象上任意一点，过 P 分别作x 轴、 y 轴的垂线，垂足为 E、F ，设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以外的部分的面积为 S 求 B 点坐标和 k 的值； 当 时，求点 P 的坐标； 写出 S 关于 m 的函数关系式6综合应用（1 ）若函数 y=k1x（k10）和函数 （k2 0）在同一坐标系内的图象没8有公共点，则 k1和 k2（ ） A互为倒数 B符号相同 C绝对值相等 D符号相反（2）如图，一次函数 的图象与反比例 数的图象交于 A、B 两点：A
10、 （ ，1 ） ，B（1，n ） 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比 例函数的值的 x 的取值范围（3）如图所示，已知一次函数 （k0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，且与反比例函数 （m0）的图象在第一象限交于 C 点，CD垂直于 x 轴，垂足为 D，若 OA=OB=OD=1 求点 A、B、D 的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式（4）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于第一象限 C、D 两点，坐标轴交于A、B 两点，连结 OC，OD（O 是坐标原点） 9 利用图中条件，求反比例函数的解析式和 m 的值； 双曲线上是否存在一点 P，使得POC 和POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（5）不解方程，判断下列方程解的个数 ；
