1、第一章 向量代数习题 1.11.试证向量加法的结合律，即对任意向量 成立,abc()().证明：作向量 （如下图） ，,ABaCbDcABabbc则 ()(),bcCDAa D故 ()().c2.设 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件,b是 0.a证明：必要性，设 的终点与始点相连而成一个三角形 ， ,abc ABCABCabc则 0.abcCAA充分性，作向量 ，由于,abDc所以点 与 重合，即三向量0 ,cBCD的终点与始点相连构成一个三角形。,ab3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。证明：设三角形 三边 的中点分别是 （如下图） ，并且记ABC,A
2、,DEFABabcEFD，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是,BbCcA111(),(),(),222EaFba所以， 故由上题结论得三角形()()()0,CDABcc的三中线 可以构成一个三角形。,EF4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。证明：如下图，梯形 两腰 中点分别为 ，记向量ABC,D,EF，,ABabABabEF则 而向量 与 共线且同向，所以存在实数 使得 现,DFbCA0,.DCAB在 由于 是 的中点，所以Ba,baEC且111()()()(1).222 Eba()()().FABABDCD故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等
3、于它们长度和的一半。5.试证命题 1.1.2。证明：必要性，设 共面，如果其中有两个是共线的，比如是 ，则 线性,abc ,ab,相关，从而 线性相关。现在设 两两不共线，则向量 可以在两个向量 上, ,abcc的进行分解，即作以 为对角线，邻边平行于 的平行四边形，则存在实数 使得c, ,，因而 线性相关。cab,a充分性，设 线性相关，则存在不全为零的数 ，使得c123,k。不妨设 ，则向量 可以表示为向量 的线性组合，因此由1230k30kc,ab向量加法的平行四边形法则知道向量 平行于由向量 决定的平面，故 共面。,c6.设 是不共线的三点，它们决定一平面 ，则点 在 上的充要条件是存
4、在,ABCP唯一的数组 使得(),(*)1,OPABOC其中， 是任意一点。 在 内的充要条件是(*)与 同时成立。0,证明：必要性，作如下示意图，连接 并延长交直线 于 。RABCORP则由三点 共线，存在唯一的数组 使得 ，并且,BRC12,k12ORkBC。由三点 共线，存在唯一的数组 使得 ，并且12k,AP,lPlAOR。于是 ，设l 121212OlRlA由 ， 的唯一性知道 的唯一性，则1212,lk,(,)且 。,PABC122lkl充分性，由已知条件有 (1)OPABOCABOC,得到 ，()()AC PA因而向量 共面，即 在 决定的平面上。,PB,如果 在 内，则 在线段
5、 内， 在线段 内，于是 ，PARBC120,kl则 。0,1如果（*）成立且 ，则有 ，这说明点 在角0,1P内。同样可得到 ，这说明点 在角 内。故 在ACBAPBCPBAC内。7.在 中，点 分别在边 与 上，且 与,DEA1,3DED交于 ，试证ER14,.7REB证明：作如下示意图， ABCRDE由三点 共线，存在 使得 ，由三点 共线，存,BEk(1)CkCE,ARD在 使得 ，由于 有l(1)CRlAlD ,3B因而 。由于2,3DBE1()CRkCA2(1)3llCB向量 不共线，所以 ，解此方程组得 。,CA2(),()3l 4,7kl由此得 ，47RBE。4344()777
6、ERCBCEBCE同理得到 。故得1DA1,.RD8.用向量法证明 的三条中线交于一点 ，并且对任意一点 有PO().3OABC证明：设 分别是边 的中点，则 交于一点 ，连接,DEF, ,EFPABCDP。由 三点共线，存在 使 ，,CP,Ek1()()2CPFkCBAkCB由 三点共线，存在 使 ，于是得,BFl(1)()lElAll，解得 。从而有 ，然而1,12klk23l13CPB，故 ，即 三点共线， 的三条中线交于一2CDBACPD,A点 。P任取一点 ，由 ，得到O13BA，于是1()()3PCOC 1().3POABC9. 用向量法证明四面体 的对棱中点连线交于一点 ，且对任
7、意一点 有DO1().4PABD证明：设四面体 的棱 的中点分别是 ，棱ABC, ,C的中点分别是 ，如下图。则对棱中点连线为 。,BCD,EFG,BFCGDEABCGD则容易知道 ， ，因此四边形 是平行12CEA12CDEGCDGE四边形， 相交且交点是各线段的中点。同理 也相交于各线段的中点，,GD ,BF故 交于一点 。BFP由以上结论知道，对任意一点 ，由 是 的中点，有ODE，111()( )222OPEACOB即 ().4BC10. 设 是正 边形的顶点， 是它的中心，试证(1,2)iAn 10.niiOA证明：设 ，将正 边形绕着中心旋转 。一方面向量 绕点 旋转了角度1iia
8、O2na而得到一个新的向量 ；另一方面，正 边形绕着中心旋转 后与原正 边形重合，2n n因而向量 没有变化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故a 10.niiOA证法 2：由于 是正 边形的顶点， 是它的中心，所以(1,2)iAn，其中 。由三角不等式得到,iiiOk 12,nnA，故有 。所以212(,)iiiiiiO 2k，由于 ，所以2111()nnnii iii iiAAkk10.niiOA11. 试证：三点 共线的充要条件是存在不全为零的实数 使得,ABC,且0OC0其中， 是任意取定的一点。O证明：必要性，如果三点 中至少有两点重合，比如 重合，则, ,AB，所以结论成立。如果
9、 互不重合，由例 1.1.1 知道三点 共线0AB ,AB,C的充要条件是存在数 使得 ，令 ，则k(1)0OkC,1k不全为零，有 ， 。,()0充分性，设 且 ，则0AB， ，()OOC()()ACOBCAB由于 不全为零，以及点 的任意性，可知 不全为零，否则 也为零。所以不,妨设 ，则 ，因而三点 共线。01AB习题 1.21. 给定直角坐标系，设 ，求 分别关于 平面， 轴与原点的对称点(,)PxyzxOy的坐标。解：在直角坐标系下，点 关于 平面， 轴与原点的对称点的坐标分别(,)是 ， ， 。(,)xyz(,)yzxyz2. 设平行四边形 的对角线交于点 ，设 在仿射ABCDP1
10、,.56DMBCNA标架 下，求点 的坐标以及向量 的坐标。;,PMN解：作如下示意图， ABCDP因为 是 中点，所以PDB1.2APBD=5AM 14().55ABAD故在仿射标架 下，点 的坐标分5().6NCBAD;,PMN别为 145(,),(,).26116MNDCBDAC19()(),5630AAD所以向量 在仿射标架 下的坐标为N;,AB1(,).303. 设 ，求下列向量的坐标：(1,52)(0,34)(2,3)abc（1） ；（2） 。ca解：（1） (,)(,)(,1)(0,6).（2） 34315203429,2ab4. 判断下列各组的三个向量 是否共面？能否将 表示成
11、 的线性组合？若,abccab能表示，则写出表示式。（1） (5,21)(,42)(1,5);ab（2） 696363c（3） (,)(,)(,0).解：（1）设 即 则有123kabc1235(1,4)(,15)0,kk该方程组只有零解 所以三向量不共面。23150,4.k1230,（2）设 即 则有1230,akbc123(6,4)(9,6)(,6)0,kk该方程组等价于 由此得到123690,4.k 1230,.k只要 不为零， 就不为零，所以三向量共面。取 ，1323,kk312,k31k则 所以 即 可表示成 的线性组合。12,2cabc,ab（3）设 即 则有1230,kab123
12、(,3)(,46)(1,05),kk该方程组等价于 方程组有非零解（ 2，1，0） ，所以123,4065.k 1230,.三向量共面。由于 只能为零，故 不能表示成 的线性组合。3kc,ab5.在 中，设 是边 的三等分点，试用 和 表出 与 。ABC,DEBCABCDAE6.设在一平面 上取一个仿射标架 ， 上三点 共线当12;,Oe(,)1,23iiPxy且仅当1230.xy证明：三点 共线当且仅当 ，即 展(,)1,23iiPxy123PA212133.xy开得 12313210.xyxy展开行列式得 故命题成230xy12313210.xyxy立。7.在 中，设 分别是直线 上的点，并且ABC,PQR,ABC.QRA证明 共线当且仅当,P1.证明：作如下示意图， QABCRP由于 分别是直线 上的定比分点，所以 。建仿,QR,CA1,1射标架 ，由于 ；;,AB(),PBPABA；,RCAR1C,BQQCB。111()ACAACABC所以 在仿射标架 下的坐标分别为,PR;,BC。根据上题的结论， 共线当且仅当11(,0)(,),(0)1QR,PQR展开行列式即得到10.10 1.9.试证命题 1.2.1。证明：取定标架 ，设向量123;,Oe123123(,),(,).ab（1） 1()ababee123123)()(,).e ab（2） 3123()ee
