1、第 3 章 概率3.1 随机事件的概率1随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。2. 频数与频率，概率：事件 A 的概率 在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率总接近于某个常数， nm在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P（A） 。由定义可知0P（A）13事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件
2、A 发生时事件 B 一定发生，称事件 A 包含于事件 B（或事件 B 包含事件 A） ；4事件间的运算（1）并事件 或 （和事件）若某事件发生是事件 A 发生或事件 B 发生，()P)(则此事件称为事件 A 与事件 B 的并事件。P（A+B）=P（A）+P（B） （A.B 互斥） ；且有P（A+ ）=P（A）+P（ =1。交事件 （积事件）若某事件发生是事件 A 发生和事件 B 同时发生，则)()(或此事件称为事件 A 与事件 B 的交事件。【典型例题】1、指出下列事件是必然事件，不可能时间，还是随机事件：（1） “天上有云朵，下雨” ；（2） “在标准大气压下且温度高于 0 C 时，冰融化”
3、 ；（3） “某人射击一次，不中靶” ；（4） “如果 ，那么 ”；ba2、判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理。某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中：（1）恰有 1 名男生和恰有 2 名男生；（2）至少有 1 名男生和至少有 1 名女生；（3）至少有 1 名男生和全是男生；（4）至少有 1 名男生和全是女生3、给出下列命题，判断对错：（1）互斥事件一定对立；（2）对立事件一定互斥；（3）互斥事件不一定对立。4、 （1）抛掷一个骰子，观察出现的点数，设事件 A 为“出现 1 点” ，B 为“出现 2 点” 。已知 ,求出现 1 点或 2 点的概率。
4、6P(B)A（2）盒子里装有 6 只红球，4 只白球，从中任取三只球，设事件 A 表示“三只球只有一只红球，2 只白球” ，B 表示“三只球中只有 2 只红球，1 只白球” 。已知,求这三只球中既有红球又有白球的概率。21P(),03(A)【练习】1、下面事件：在标准大气压下,水加热到 80时会沸腾；抛掷一枚硬币,出现反面；实数的绝对值不小于零；其中是不可能事件的是 ( ) A. B. C. D. 2、有下面的试验：如果 ,那么 ；某人买彩票中奖；实系数一abRab次方程必有一个实根；在地球上,苹果抓不住必然往下掉；其中必然现象有 ( )A. B. C. D. 3、从 12 个同类产品(其中有
5、 10 个正品,2 个次品)中,任意取 3 个的必然事件是（ ）A.3 个都是正品 B.至少有 1 个是次品 C.3 个都是次品 D.至少有 1 个是正品4、下列事件是随机事件的有( ) A.若 、 、 都是实数,则 abcabcB.没有空气和水,人也可以生存下去。C.抛掷一枚硬币,出现反面。D.在标准大气压下,水的温度达到 90时沸腾。5、某人将一枚硬币连掷了 10 次,正面朝上出现了 6 次,若用 A 表示正面朝上这一事件,则 A的频率为( ) A. B. C. 6 D. 接近 235356、从存放号码分别为 1,2,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一张卡片,并记下号码
6、,统计如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9则取到号码为奇数的频率是( )A. 0.53 B. 0.5 C.0.47 D. 0.377、随机事件 A 发生的概率的范围是 ( )A. PA.0 B.PA.1 C. 0PA.1 D. 0PA.18、气象台预报“本市明天降雨概率是 70%”,以下理解正确的是 ( )A.本市明天将有 70%的地区降雨； B.本市明天将有 70%的时间降雨;C.明天出行不带雨具肯定淋雨; D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大.9、某人抛掷一枚硬币 100 次,结果正面朝上有 53 次,设正面朝
7、上为事件 A,则事件 A 出现的频数为_,事件 A 出现的频率为_。10、一批产品共有 100 件,其中 5 件是次品,95 件是合格品,从这批产品中任意抽 5 件,现给以下四个事件：A.恰有 1 件次品；B.至少有 2 件次品；C.至少有 1 件次品；D.至多有 1 件次品；并给出以下结论：A+B=C；B+D 是必然事件；A+C=B；A+D=C；其中正确的结论为_(写出序号即可).11、先后抛掷 2 枚均匀的硬币.一共可能出现多少种不同的结果？出现“1 枚正面,1 枚反面”的结果有多少种？出现“1 枚正面,1 枚反面”的概率是多少？有人说：“一共可能出现2 枚正面 、 2 枚反面 、 1 枚
8、正面,1 枚反面这 3 种结果,因此出现1 枚正面,1 枚反面的概率是 .”这种说法对不对？1312、从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任取两个数,分别有下列事件：恰有一个是奇数或恰有一个是偶数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个数都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中为互斥事件的是 ( )A. B. C. D.13、一箱产品中有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件,其中事件：恰有 1 件次品和恰有 2 件次品； 至少有 1 件次品和全是次品；至少有 1 件正品和至少有 1 件次品； 至少有 1 件次品和全是正品.是互斥事件的组数有
9、 ( )A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组14、某人射击一次,设事件 A：“中靶” ；事件 B：“击中环数大于 5”；事件 C：“击中环数大于 1 且小于 6”；事件 D：“击中环数大于 0 且小于 6”,则正确的关系是 ( )A. B 与 C 为互斥事件 B. B 与 C 为对立事件 C. A 与 D 为互斥事件 D. A 与 D 为对立事件15、从装有 2 个红球和 2 个白球的中袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有 1 个白球,都是白球. B.至少有 1 个白球,至少有 1 个红球.C. 恰有 1 个白球,恰有 2 个白球. D.至少有
10、 1 个白球,都是红球.16、在某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m) 8,01,2,41,6,8概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：. ； . ； . ；1,6m,m4,m17、某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 0.3、0.2、0.1、0.4,求：他乘火车或乘飞机去的概率.他不乘轮船去的概率.如果他去的概率为 0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的？3.2 古典概型（1）基本事件：一次实验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。备注：基本事件是试验
11、中不能再分的最简单的随机事件，其他时间可以用它们来表示；所以的基本事件都是有限个；每个基本事件的发生都是等可能的。（2）基本事件的特点：任何两个基本事件都是互斥的。一次实验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件。任何事件都可以表示成基本事件的和。（3）古典概型：满足实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等 的概率模型称为古典概型（4）概率的古典意义对于古典概型，任何事件的概率为 总 的 基 本 事 件 个 数包 含 的 基 本 事 件 个 数AP()（5）基本事件数的探求方法列举法；树状图法；【典型例题】1、连续掷 3 枚硬币，观察落地后这 3 枚硬币是出现正面
12、还是反面（1）写出这个实验的基本事件空间；（2）求这个实验的基本事件的总数； （3） “恰有两枚正面朝上”这个事件包含哪几个基本事件。2、把一枚骰子抛 6 次，设正面向上的点数为 X，（1）求出 X 的可能取值情况（即全体基本事件） ；(2)下列事件有哪些基本事件组成（用 X 的取值回答）？X 的取值为 2 的倍数（记为事件 A） ；X 的取值大于 3（记为事件 B） ；X 的取值不超过 2（记为事件 C） ；X 的取值是质数（记为事件 D） 。判断上述事件是否为古典概型，并求其概率。3、连续掷三枚硬币观察落地后这三枚硬币出现正面还是反面， （1）写出这个实验的基本事件；（2）求这个实验的基本
13、事件总数；（3） “恰有两枚正面向上”这一事件包含了哪几个基本事件？4、复杂）在大小相同的 6 个球中，2 个是红球，4 个是白球，若从中任意选取 3 个，则所选的 3 个球中至少有一个红球的概率是多少？5、甲、乙两人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个，甲、乙二人依次各抽一题。 （1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少；（2）甲、乙二人中至少有一个人抽到选择题的概率是多少？【练习】1、在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是( ) A. B. C. D.32562、甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 40%,
14、甲不输的概率为 90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为（ ） A. 60% B. 30% C. 10% D. 50%3、根据多年气象统计资料,某地 6 月 1 日下雨的概率为 0.45,阴天的概率为 0.20,则该日晴天的概率为（ ）A. 0.65 B. 0.55 C. 0.35 D. 0.754、某射手射击一次,命中的环数可能为 0,1,2,10 共 11 种,设事件 A：“命中环数大于8”,事件 B：“命中环数大于 5”,事件 C：“命中环数小于 4”,事件 D：“命中环数小于6”,由事件 A.B.C.D 中,互斥事件有 ( )A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D.4 对5、产品中有
15、正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件,其中事件：恰有一件次品和恰有 2 件次品；至少有 1 件次品和全都是次品；至少有 1 件正品和至少有一件次品；至少有 1件次品和全是正品.4 组中互斥事件的组数是 ( )A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组6、某人在打靶中连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶C.两次都不中靶 D.只有一次中靶7、对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设 A=两次都击中,B=两次都没击中,C=恰有一次击中,D=至少有一次击中,其中彼此互斥的事_；互为对立事件的是_。8、从甲口袋中摸出 1 个白
16、球的概率是 ,从乙口袋中摸出一个白球的概率是 ,那么从两1213个口袋中各摸 1 个球,2 个球都不是白球的概率是_。9、袋中装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各是 0.40 和 0.35,那么黑球共有_个10、随意安排甲、乙、丙三人在三天节日里值班,每人值一天,请计算：这三人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？甲在乙之前的排法有多少种？甲排在乙之前的概率是多少？11、假如小猫在如图所示的地板上自由的走来走去,并随意停留在某块方砖上,它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？(图中每一块方砖除了颜色外完全相同)12、从一个装有 2 黄 2 绿的袋子里有放回
17、的两次摸球,两次摸到的都是绿球的概率是多少？13、现有一批产品共有 10 件，其中 8 件为正品，2 件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续 3 次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取 件，求 件都是正品的概率314、抛掷 颗质地均匀的骰子，求点数和为 的概率_ 。15、从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中, 任取 2 个数字相加, 其和为偶数的概率是 _ .16、有五条线段长度分别为 ，从这 条线段中任取 条，则所取 条线段能构成135,793一个三角形的概率为（ ） A B C D1002110717、从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三
18、条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_18、现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 19、一袋中装有大小相同，编号分别为 的八个球，从中有放回地每次取一1,2345,678个球，共取 次，则取得两个球的编号和不小于 的概率为 （ ） .A132.B64.C.D343.3 几何概型（1）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的概率模型为集合概率模型，简称集合概型。备注：（1）几何概型的特点无限性，即在一次实验中，
19、基本事件的个数可以是无限的；等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。（2）几何概型的概率计算公式积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体实 验 的 全 部 结 果 所 构 成 积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体构 成 事 件 A)(AP【典型例题】1、假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:307:30 之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上 7:008:00 之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A)的概率是多少?2、在边长为 2 的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内切圆的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率 的值。3、在墙
20、上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为 2cm，4cm，6cm，某人站在 3m 之外向此版投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：(1) 投中大圆的内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？【练习】1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨 至5:0图 1和下午 至 ，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ ） 7:05:06:A B C D141810122、如图 1，分别以正方形 AD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则
21、该点落在阴影区域的概率为 ( )A. B. C. D.2443、设 ,(01)ab，则关于 20xaxb的 方 程 在 (,)上有两个不同的零点的概率为_4、在 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 水样放到显微镜下观察，则发现5ml 2ml草履虫的概率是_。5、已知地铁列车每 10min 一班，在车站停min，则乘客到达站台立即乘上车的概率为.6、在线段0,3上任取一点,其坐标小于 1 的概率是_.7、在地球上海洋占 70.9%的面积,陆地占 29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_,落在我国国土内的概率为_.(地球的面积约为 5.1 亿平方千米)8、已知集合 A= ,在平面直角坐标系 中,点 的坐标9,75,31,02468 0xy,点 正好在第二象限的概率是 ( ),xAyxyA. B. C. D. 1345259、取一根长度为m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于m 的概率有多大？10、在 10 立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出 1 立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.
