1、小学六年级数学竞赛试题及详细答案二、填空题（共 40 分，每小题 5 分）1.在下面的“”中填上合适的运算符号，使等式成立：（19 92）（199 2）（1992 ）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是 55 厘米、25 厘米、15 厘米，并且它的下底是最长的一条边。那么，这个等腰梯形的周长是_ _厘米。3.一排长椅共有 90 个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有_ _人已经就座。4.用某自然数 a 去除 1992，得到商是 46，余数是 r。a=_ _，r=_ _。5.“重阳节”那天
2、，延龄茶社来了 25 位老人品茶。他们的年龄恰好是 25 个连续自然数，两年以后，这 25 位老人的年龄之和正好是 2000。其中年龄最大的老人今年_ _岁。6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少_ _个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。7.五名选手在一次数学竞赛中共得 404 分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得 90 分。那么得分最少的选手至少得_ _分，至多得 _ _分。 （每位选手的得分都是整数）8.要把 1 米长的优质铜管锯成长 38 毫米和长 90 毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗 1 毫米铜管。那么，只有当锯得的 38
3、毫米的铜管为_ _段、90 毫米的铜管为_ _段时，所损耗的铜管才能最少。三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程） （共20 分，每小题 5 分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长 4200 米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修 100 米。现由甲工程队先修 3天。余下的路段由甲、乙两队合修，正好花 6 天时间修完。问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发，用 30 分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行 50 米。又骑了 20 分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑 2
4、 千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图 12） 。将这个长方体切成 12 个小长方体，这些小长方体的表面积之和为 600 平方分米。求这个大长方体的体积。4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所多 35 本。第 2 次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打 11 包。这批书共有多少本？四、问答题（共 35 分）1.有 1992 粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取 1 粒，最多取 4 粒，谁取到最后一粒，就算谁输。问：保证一定获胜的对策是什么？（5 分）2.有一块边长 24 厘米的正
5、方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？（6 分）3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品，需要如图 13 所示的（a） 、 （b）两种形状的铁皮毛坯。现有甲、乙两块铁皮下脚料（如图 14、图 15） ，图 13、图 14、图 15 中的小方格都是边长相等的正方形。金师傅想从其中选用一块，使选用的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品（“成套” ，指（a） 、 （b）两种铁皮同样多） ，并且一点材料也不浪费。问：（1）金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块？（3 分）（2 ）怎样裁剪所选用的下脚料？（请在
6、图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯） （5 分）4.只修改 21475 的某一位数字，就可以使修改后的数能被 225 整除。怎样修改？（6 分）5.（1）要把 9 块完全相同的巧克力平均分给 4 个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分） ，怎么分？（5 分）（2 ）如果把上面（1）中的“4 个孩子”改为“7 个孩子” ，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？（5 分）详解与说明一、计算题说明：要想得到简便的算法，必须首先对题中每个数和运算符号作全面、，马上就应该知道它可以化为 3.6；而 3.6 与 36 只差一个小数点，于是，又容易想到把“654.3 36”变形为“65
7、433.6”，完成了这步，就为正”采用了同样的手段，这种技巧本报多次作过介绍。说明：解这道题可以从不同的角度来观察。解法一是先观察、比较分子部分每个加数（连乘积）的因数，发现了前后之间的倍数关系，从而把“13 24”作为公因数提到前面，分母部分也作了类似的变形。而解法二，是着眼于整个繁分数，由分子看到分母，发现分子部分的左、中、右三个乘分子部分括号内三个乘积的和约去了。本题是根据数学之友 （7）第 2 页例 5 改编的。3.解法一：解法二：说明：解法一是求等比数列前 n 项和的一般方法，这种方法本报 217 期第一版“好伙伴信箱”栏中曾作过介绍。由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半，因而，
8、只要添上一个最小的加数，就能凑成“2 倍” ，也就是它前面的一个加数，这就不难想到解法二。二、填空题1.解：（199+2）（1+9-9+2）（19-9-2）=8338=1992或（19 92）（199 2）（19-9+2）=83212=1992（本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的）说明：在四个数字之间填上三个运算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟悉的“算式谜”题。而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把 1992 分解为三个数连乘积的形式，1992=833222，因为 83、3、2 、2、2 组成三个乘积为 1992 的数有多种组合形式
9、，所以填法就不唯一了。2.解：55+15+252=120（厘米）说明：要算周长，需要知道上底、下底、两条腰各是多长。容易判断：下底最长，应为 55 厘米。关键是判断腰长是多少，如果腰长是 15 厘米，152+25=55 ，说明上底与两腰长度之和恰好等于下底长，四条边不能围成梯形，所以，腰长只能是 25 厘米。读者从本报 190 期第三版任意三根小棒都能围成三角形吗一文中应当受到启发。3.解：最少有说明：根据题意，可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位。但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位，因为已经就座的人最左边一个（最右边一个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上，
10、也可以坐在左边（右边）起第二个座位上（如图 16 所排出的两种情况， “”表示已经就座的人， “”表示空位） ”。不过，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（）一组，每组中有一人已经就座。（1）（2）图 164.解法一：由 199246=4314立即得知：a=43，r=14解法二：根据带余除法的基本关系式，有1992=46a+r（0ra）由 r=1992-46a0，推知由 r=1992-46aa，推知因为 a 是自然数，所以 a=43r=1992-4643=14说明：本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。解法一是根据 1992a 的商是 46，因而直接用
11、199246 得到了 a 和 r。解法二用的是“估值法” 。5.解法一：先算出这 25 位老人今年的岁数之和为2000-25 2=1950年龄最大的老人的岁数为1950+（1+2+3+4+24）25=225025=90（岁）解法二：两年之后，这 25 位老人的平均年龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为 200025=80（岁）两年后，年龄最大的老人的岁数为 80+12=92（岁）年龄最大的老人今年的岁数为 92-2=90（岁）说明：解法一采用了“补齐”的手段（详见本报 241 期第一版“削平”与“补齐” 一文） 。当然，也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数，再加上 24。解法二着眼于 25
12、 人的平均年龄，先算年龄处于最中间的老人的岁数，算起来更简便些。6.解：根据“抽屉原理” ，可知至少 7 个学生中有两人所借图书的种类完全相同。说明：本题是抽屉原理的应用。应用这个原理的关键是制造抽屉。从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借两本，共有（史，史） 、 （文，文） 、 （科，科） 、 （史，文） 、 （史，科） 、 （文，科）这六种情况，可把它们看作六只“抽屉” ，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。换句话说，如果把借书的学生看作“苹果” ，那么至少 7 个苹果放入六个抽屉，才能有两个苹果放在同一个抽屉内。本题是由本报 234 期“奥林匹克学校”拦的例 2 改换而成的。7.
13、解：得分最低者最少得404-（90+89+88+87）=50（分）得分最低者最多得404-90-（ 1+2+3）4=77（分）说明：解这道题要考虑两种极端情形：（1）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才行。第一名得分是已知的（90 分） ，这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近 90 分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得 89 分、88 分、87 分时，第五名得分最少。（2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、四、五名的得分尽可能接近。考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、
14、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。本题是根据数学之友 （7）第 46 页第 13 题改编的。8.解：设 38 毫米、90 毫米的铜管分别锯 X 段、Y 段，那么，根据题意，有38X+90Y+（X+Y-1）=100039X+91Y=1001要使损耗最少，就应尽可能多锯 90 毫米长的铜管，也就是说上面式中的 X 应尽可能小，Y 尽可能大。由于 X、Y都必须是自然数，因而不难推知：X=7，Y=8。即 38 毫米的铜管锯 7 段，90 毫米的铜管锯 8 段时，损耗最少。说明：选手们读题之后，可以马上想到：要使损耗最少，应尽可能多锯 90 毫米长的铜
15、管，但必须符合“两种铜管都有” 、 “两种铜管长度之和加上损耗部分长度应等于 1 米”两个条件，这样算起来就不那么简单了。这种题目，借助等量关系式来进行推理比较方便，不过，列方程时可别忘掉那损耗的 1 毫米，而且损耗了几个“1 毫米”也不能算错，应该是“总段数-1” 。列出方程式之后，还有两点应当讲究：（1）变形要合理；（ 2）要选用简便算法。如上面解法中，把 1001 写成71113，39 写成 313，91 写成 713，使分子部分和分母部分可以约分，对于迅速推知最后结果是大有帮助的。本题是数学之友 （7）第 51 页练习六中的原题。三、应用题1.解法一：假设乙工程队每天与甲工程队修的路同
16、样多，那么两队一共修的路就要比 4200 米少 600 米，这 3600米就相当于甲工程队用 15 天（15=3+62）修完的，列式为（4200-600 ）（3+6 2）=360015=240 （米）240+100=340 （米）解法二：设甲工程队每天修路 X 米，那么乙工程队每天修路“X+100”米，根据题意，列方程3X+6 （X+X+100）=4200解得 X=240从而 X+100=340（米）答：甲工程队每天修路 240 米，乙工程队每天修路 340 米。说明：“假设”是我们解应用题时经常采用的算术方法，它体现了机智、敏捷，能迅速得到答案。本题根据本报第 234 期第二版“思考题解答”
17、一栏中的例题改编而成。2.解：从题目可知，前 30 分钟行完总路程的一半，后 20 分钟没有把另一半行完，比总路程的一半少 2 千米。换句话说，后 20 分钟比前 30 分钟少行了 2000 米。为什么会少行呢？原因有两方面：（1）后 20 分钟比前 30 分钟少行10 分钟；（2）后 20 分钟比前 30 分钟每分钟多行 50 米。这样，容易推知前 30 分钟里每 10 分钟所行的路程是2050+2000=3000（米） 。前 30 分钟每分钟行 300010=300（米）总路程为300302=18000 （米）答：县城到乡办厂之间的总路程为 18 千米。说明：解本题的关键是：（1）通过比较
18、，知道这个人前 30 分钟比后 20 分钟多行多少路程；（2 ）找出前 30 分钟比后 20 分钟多行 2000 米的原因是什么。详见本报 209 期抓住矛盾找原因一文。3.解法一：设大长方体左（右）面面积为 X 平方分米，则大长方体表面积为 10X。切成 12 个小长方体后，新增加的表面积为（3X+2 2X）2=14X12 个小长方体表面积之和为10X+14X=600X=25V=2510=250（立方分米）解法二：把大长方体的表面积看作“1” ，则切成 12 个小长方体后，V=2552=250（立方分米）答：这个大长方体的体积为 250 立方分米。说明：这道题比较简单，只要明白把一个几何体切
19、成两部分后， “新增加的表面积等于切面面积的 2 倍”这个关系，不过，在计算新增加表面积时，稍不留心就会弄错。本题根据本报第 226 期第一版“教你思考”栏中的例题改编的。又因为 10 包+25 本+35 本11 包所以 1 包60 本（14+11）60=1500（本）解法二：（列方程解）则有 7X=14Y+35 （1）5X=11Y-35 （2）（1）-（2） ，得 ZX3Y70 （3）（1）+（2） ，得 12X=25Y （4）（3）6 ，得 12X=18Y+420 （5）比较（4） 、 （5）两式，有25Y=18Y+420解得 Y=6012X=2560=1500（本）答：这批书共有 150
20、0 本。说明：这道题目里的数量关系其实很容易看出，解法一几乎是心算出结果的。所以，不能把问题想得很复杂。解法二比较容易想到，但设“未知数”也很有讲究，如果设这批书有 X 本，变形就比较麻烦了。四、问答题1.答：保证一定获胜的对策是：（1）先取 1 粒钮扣，这时还剩 1991 粒钮扣。 （2）下面轮到对方取，如果对方取n 粒（1n 4） ，自己就取“ 5-n”粒，经过 398 个轮回后，又取出 3985=1990（粒）钮扣，还剩 1 粒钮扣，这 1 粒必定留给对方取。说明：本题只是把本报 233 期“奥林匹克学校”栏对策问题的“例 1”改掉一个字“胜”改为“输” 。一字之差，对策就要改变。我们知
21、道，解对策问题有一个基本思路：把失败（输）的可能留给对手。本题中，谁取到最后一粒钮扣谁就算输，因而，要想获胜，就必须抢到第 1991 粒。想到这一点，就容易找到保证获胜的对策了。2.答：剪去的小正方形边长应为 4 厘米。说明：要回答这道题，可以先到一个表来比较一下。通过比较，容易知道剪去的小正方形边长是几厘米时，做成的纸盒容积最大。从上面表中一下子可以看出结果。还可以设被剪去的小正方形边长（纸盒的高）为 h，那么，纸盒底面边长为 24-2h。它的容积为因为 24-2h+24-2h+4h=48（定数） ，根据数学之友 （7 ）第 23 页所介绍的结论，当 24-2h=4h 时， （24-2h）（
22、24-2h）4h 乘积最大。也就是说，当 h=4 时，V 最大。3.答：（1）应选甲铁皮料。（2）剪法如图 17。说明：题中要求选一块铁皮料适合做“成套”的铁皮制品，这就要求所选的铁皮料中包含的（a） （b）两种毛坯同样多；又因为不能浪费材料，所以，只要算一算（数一数甲、乙两块材料中各有多少小正方形） ，看甲（或乙）材料中小正方形的总数能不能被（10+7=17）整除。在回答第（2）个问题时，可以把（ a） （b）两块毛坯拼成图 18，再根据上面所算出的结果，从中心处向四个方向剪开，就得到 4 个图 18 的形状。仔细观察图 17，容易发现图中的对称美，这种美也能启发你找到剪裁铁皮的方法。4.答：可以把“1”改为“0 ”，也可以把“4”改为“3 ”，还可以把“1”改为“9” ，把“2 ”改为“1” 。说明：本题有四种符合要求的答案，就看你考虑问题是不是全面了。因为 225=259，所以要修改后的数能被225 整除，就是既能被 25 整除，又能被 9 整除。被 25 整除不成问题，末两位数 75 不必修改，只要看前面三个数字。有 2+1+4+7+5=19=18+1=27-8，不难排出上面四种答案。5.答：（1）把 9 块中的三块各分为两部分：说明：这个分糖的问题很有趣。先得算一算，9 块糖平分给 4 个孩子，
