1、高二数学双曲线知识点及例题一 知识点1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点 F1、F 2 的距离差的绝对值是常数（小于 |F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F2|叫焦距。2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e（e1 ）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数 e 叫双曲线的离心率。3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在 x 轴上的：xaybab20()，（2）焦点在 y 轴上的：yaxbab10()，（3）当 ab 时，x 2y 2a 2 或 y2x 2a 2 叫等轴双曲线。注：c
2、2 a2b 24. 双曲线的几何性质：（ ） 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 ， 的 几 何 性 质 ：1102xxaybab()xF12AO1范 围 ： ， 或xa对称性：图形关于 x 轴、y 轴，原点都对称。顶点：A 1（-a ，0 ），A 2（a，0）线段 A1A2 叫双曲线的实轴，且|A 1A2|2a；线段 B1B2 叫双曲线的虚轴，且|B 1B2|2b。4离 心 率 ： eca()e 越大，双曲线的开口就越开阔。 5渐 近 线 ： ybx=62准 线 方 程 ： ac5若双曲线的渐近线方程为： xaby则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2byax【典型例题】
3、例 1. 选择题。1212.若 方 程 表 示 双 曲 线 ， 则 的 取 值 范 围 是 （ ）xmymAB. .21或CDR且202.abaxbyc时 ， 方 程 表 示 双 曲 线 的 是 （ ）A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件322. sinicos设 是 第 二 象 限 角 ， 方 程 表 示 的 曲 线 是 （ ）xyA. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 y 轴上的椭圆C. 焦点在 y 轴上的双曲线 D. 焦点在 x 轴上的双曲线4169 32 12 12.双 曲 线 上 有 一 点 ， 、 是 双 曲 线 的 焦
4、点 ， 且 ，PFFP 则F 1PF2 的面积为（ ）ABCD.3393例 2. 已 知 ： 双 曲 线 经 过 两 点 ， ， ， ， 求 双 曲 线 的 标 准 方 程PP123495例 3. 已知 B（-5，0），C（5，0）是ABC 的两个顶点，且，求顶点 A 的轨迹方程。sinsin3例 4. （1）求与椭圆 的双曲线的xy294152有 公 共 焦 点 ， 并 且 离 心 率 为标准方程。（2）求与双曲线 的双曲xyM2 91 有 共 同 渐 近 线 ， 且 经 过 点 ，线的标准方程。例 5. 已 知 双 曲 线 方 程 xy241（1）过点 M（1，1）的直线交双曲线于 A、B
5、 两点，若 M 为 AB 的中点，求直线 AB 的方程；（2）是否存在直线 l，使点 为直线 l 被双曲线截得的弦的中点，N12，若存在求出直线 l 的方程，若不存在说明理由。例六： 1. 若 表示焦点在 y 轴上的双曲线，那么它的半焦距 cxky221的取值范围是（ ）A. B. （0，2） C. D. （1，2）1， 2， 2. 双曲线的两条渐近线的夹角为 60，则双曲线的离心率为（ ）A. 2 或 B. 2 C. D. 333. 圆 C1： 和圆 C2： ，动圆 M 同时与圆 C1 及xy312xy392圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。例题答案例一：解：1. 把所给方程与双
6、曲线的标准方程对照易知：2+m 与 m+1 应同号即可。201201m或或m12或2 02.若 表 示 双 曲 线 ， 则 一 定 有 ；axbycab若 当 时 ， 表 示 双 曲 线当 时 ， 表 示 直 线0选 A30. sincos是 第 二 象 限 角 ， ，sinco0原 方 程 化 为 ： xy221sicosi易知：x 2 的系数为负，y 2 的系数为正方程表示焦点在 y 轴上的双曲线4. 由双曲线方程知：a4，b3，c 5设 ， ， 则 ，PFmnFc12 1280由 余 弦 定 理 ： ( 32cmn)os02n36、SmnFP12601239si例二：解：设所求双曲线方程
7、为 Ax2By 21，（AB0）依 题 意 ： 938165916ABA所 求 双 曲 线 方 程 为 ： yx29例三：分析：在ABC 中由正弦定理可把 转化为 ，结sinsinBCA35bca35合图形可知顶点 A 的轨迹是以 B、C 为两焦点，实轴长为 6 的双曲线的左支。yx-3解：在ABC 中，|BC| 10由 正 弦 定 理 ： sinsinBCA35可 化 为 ： A6顶点 A 的轨迹是以 B、C 为两个焦点，实轴长为 6 的双曲线的左支又c 5，a 3， b4顶 点 的 轨 迹 方 程 为Axyx29163()注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键；（
8、2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程；（3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。例四：解：（1）由椭圆方程知：abc25， ，焦 点 ， ， ，F1200设 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ： xayb21由 已 知 条 件 得 ： cacb1121215所 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ： xy241（2）解法一： M921， 在 第 四 象 限又 双 曲 线 的 渐 近 线 为xyyx9423将 点 的 横 坐 标 代 入 2双曲线的焦点必在 x 轴上设 双 曲 线 方 程 为 ： ayb21babb23918222所 求 双 曲 线 标 准 方 程 为 ：
9、xy218解法二： 所 求 双 曲 线 与 已 知 双 曲 线 有 共 同 的 渐 近 线 yx23设 所 求 双 曲 线 方 程 为 ： xy2940()又 所 求 双 曲 线 过 点 ，M2192142，所 求 双 曲 线 方 程 为 ： xy281例五：解：（1）设 AB 的方程为：y1k（x1）x42， 消 去1424602kkxk设 ， ， ， ， 则 ，AxyByMxy121212kk1221224， 即又 4412462 2kkk将 代 入 10所 求 直 线 的 方 程 为 ：ABxy0（1）另解法：设 ， ， ， ， 则 ，xyMy121212ABxy、 在 双 曲 线 上4
10、xy1224121201211212： xxyy又 ，y24112x当 x1x 2 时，直线 AB 与双曲线没有交点。yxkAB1212， 那 么 ，直 线 的 方 程 为 ：ABy0双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 x2又 ， 直 线 与 双 曲 线 有 两 个 交 点12xyAB0即 为 的 方 程（2）假设过 的直线 l 交双曲线于 C（x 3，y 3），D （x 4，y 4）两点N12，则xy32431432034343434： xxyy依 题 意 ， 又 ，4 1yxkCD341双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 yx212， 直 线 与 双 曲 线 没 有 公 共 点l使 点 ， 为 弦 的 中 点 的 直 线 不 存 在N例六：1. 答案：A2. 答案：A3. 分析：解决本题的关键是寻找动点 M 满足的条件，对于两圆相切，自然找圆心距与半径的关系。 xC1O23yAB解：设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B，根据两圆外切的充要条件知：CABCBMA121221132即动点 M 与两定点 C1、C 2 的距离的差是 2根据双曲线定义，动点 M 的轨迹是双曲线左支（点 M 与 C2 的距离大于与C1 的距离）这里 acb1382， ，设 M（x，y）轨迹方程为 yx2810()
