1、1空间向量与立体几何习题一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点.若=a， =b， =c，则下列向量中与 相等的向量是1BA1D1A. a+ b+c B. a+ b+c22C. a b+c D. a b+c112.下列等式中，使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是A. B.OAO23 OCBAOM5132C. D.0 03.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，点 E、F 分别是AB、AD 的中点，则 等于DCEFA. B. C. D.414143434.若 ， ， 与 的夹角为 ，则
2、的值为)2,(a),(bab06A.17 或-1 B.-17 或 1 C.-1 D.15.设 ， ， ，则线段 的中点 到点 的),1(OA)8,23(B),(OCABPC距离为A. B. C. D.2354534536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A B C D7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9正方体 圆锥 三棱台 正四棱锥俯视图 正(主)视图 侧(左)视图23222B.10C.D. 28.如图，ABCD- A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是A.BD 平面 CB1D1B.AC1BDC.AC1平面 CB1D1D.异面直线 A
3、D 与 CB1 所成的角为 609.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB =BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D所成角的正弦值为A. B. C. D.63525010.ABC 的三个顶点分别是 ， ， ，则 AC 边上的高)2,1(A),65(B)1,3(CBD 长为A.5 B. C.4 D.412二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）11.设 ， ，且 ，则 .)3,(xa),2(ybba/xy12.已知向量 ， ， 且 ，则 =_.100429013.在直角坐标系 中，设 A（-2，3） ，B（3，-2） ，沿 轴把直角坐标平面折xOy x成大小为 的
4、二面角后，这时 ，则 的大小为 1214.如图，PABCD 是正四棱锥，是正方体，其中1ABCD，则 到平面 PAD2,61B3的距离为 .三、解答题（共 80 分）15.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 PA 的长为 2，且 PA 与 AB、AD 的夹角都等于 600， 是 PC 的中M点，设 cbaAPDAB,（1）试用 表示出向量 ；cBM（2）求 的长16.（本小题满分 14 分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视
5、图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结 ，证明： 面 EFG.BC17.（本小题满分 12 分）如图，在四面体 中， ，点ABCDADB，224侧侧侧侧侧侧624GEFCBDCA BDMPD CBA4侧侧侧侧侧侧侧侧侧 12 1121ED CBAP分别是 的中点求证：EF， ABD，（1）直线 面 ；/C（2）平面 面 18.（本小题满分 14 分）如图，已知点 P 在正方体 的对角线DCBA上，PDA=60.D（1）求 DP 与 所成角的大小；（2）求 DP 与平面 所成角的大小.DA19.（本小题满分 14 分）已知一四棱锥 PABC
6、D 的三视图如下，E 是侧棱 PC上的动点（1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE？证明你的结论;（3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 DAEB 的大小20.（本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥 ，底面 为菱形，PABCD平面 ， ， 分别是 的中点PABCD60AEF， ，（1）证明： ；EP（2）若 为 上的动点， 与平面 所成最大角的正切值为 ，求二HHPA62面角 的余弦值AF PB E CDFAD CBA PD CBA5练习题参考答案一、选择题1. =c+ (a+b)= a+ b+c，故选 A.)(211 BCABM21212. 1
7、),(zyxRzyxOCyxOCA 、 MBAM0、.)( 、 yBxyx ,1故选 D.、CAM3. , ,的 中 点分 别 是 DFE, BDEFDEF21,21/ 、 40cos,cos21 BBC故选 B.4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D10.由于 ，所以 ,故选4,cosACBA 52ADBA二、填空题11.9 12.313.作 ACx 轴于 C，BDx 轴于 D，则 DBCAB cos6)180cos(,0,2,5,3 ABDA 00022 22 2, .1cos),60()1( () 、 AC14.以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系BAx1DyA1z设
8、平面 PAD 的法向量是 ，(,)mx6， ，取 得 ，(0,2)(1,2)ADP02,0zyx1z(2,01)m， 到平面 PAD 的距离 .1,B1B165BAd三、解答题15.解：（1） 是 PC 的中点，M)(21)(21ABPDBPCMcbacb21)(2（2） ,1,cbaPADB、 160cos2,0,60, baA),(21cbaM、 23)(14)(2414 22 cbcB.626、B16.解：（1）如图（2）所求多面体体积 V长 方 体 正 三 棱 锥 14623284(cm)3（3）证明：在长方体 中，ABCD连结 ，则 AD因为 分别为 ， 中点，EG，所以 ，从而 又
9、 平面 ， EFG所以 面 BC FA BCDEFG717.证明：（1）E,F 分别是 的中点，ABD，EF 是 ABD 的中位线，EFAD，AD 面 ACD，EF 面 ACD，直线 EF面 ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F 是的中点，CFBD又 EFCF=F, BD面 EFC，BD 面 BCD，面 面 .CBD18.解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 ADxyz则 ， 连结 ， (10)A， ， (01)， ， 在平面 中，延长 交 于 BPBH设 ，由已知 ，()(DHm， ， 60D，由 ，可得 cosAA， 21m解得 ，所以 221， ，（1
10、）因为 ，02cosDHC，所以 ，即 与 所成的角为 45， P45（2）平面 的一个法向量是 A(01)DC， ，因为 ，20cos 21DHC，所以 ，可得 与平面 所成的角为 6， PA3019.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为1 的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC=2. 123ABCDABCVSP(2)不论点 E 在何位置，都有 BDAE证明如下：连结 AC，ABCD 是正方形，BDACPC 底面 ABCD 且 平面 BDPCBD又 BD平面 PACACP不论点 E 在何位置，都有 AE 平面 PAC A BCDPxyzH8zyxED
11、CBAP不论点 E 在何位置，都有 BDAE(3)解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DGAE 于 G，连结 BGCD=CB,EC=EC， ，ED=EBRtECtBAD=AB， EDAEBA，BGEA 为二面角 DEAB 的平面角GBBCDE ，ADBC ，ADDE在 R ADE 中 = =BGAE23在DGB 中，由余弦定理得 21cos2BGD = ，二面角 DAE B 的大小为 .DGB233解法 2：以点 C 为坐标原点，CD 所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则 ,从而(1,0)(,)(0,1)()ABE0(,1)DEAB设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为(,
12、)(,)mabcnc由法向量的性质可得： ，0,ab0,abc令 ，则 ，1,c1, (1)(1,)mn设二面角 DAEB 的平面角为 ，则cos2| ，二面角 DAEB 的大小为 .232320.（1）证明：由四边形 为菱形， ，可得 为正三角AC60ACABC形因为 为 的中点，所以 EBCE又 ，因此 AD因为 平面 ， 平面 ，所以 PBDPE而 平面 ， 平面 且 ，PAA所以 平面 又 平面 ，9所以 AEPD（2）解：设 ， 为 上任意一点，连接 2BHPAHE，由（1）知 平面 ，A则 为 与平面 所成的角在 中， ，Rt 3所以当 最短时， 最大，AE即当 时， 最大HPD此
13、时 ，6tan2AH因此 又 ，所以 ，2A45D所以 P解法一：因为 平面 ， 平面 ，BCPAC所以平面 平面 A过 作 于 ，则 平面 ，EOEO过 作 于 ，连接 ，则 为二面角 的平面角，SFSEF在 中， ， ，Rt 3sin02 3cos02A又 是 的中点，在 中， ，FPCRtSO in45又 ，在 中，239048SEOtES，15cos304即所求二面角的余弦值为 5解法二：由（1）知 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的AEDP， ， A空间直角坐标系，又 分别为 的中点，所以F， BC，(0)(310)(3)(02)AB， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，212P， ， ， ， ， ， ， ，所以 3(30)AEF， ， ， ， ， PB E C DFAyzx10设平面 的一法向量为 ，AEF11()xyz， ，m则 因此0，m11302xyz， 取 ，则 ，1z()， ，因为 ， ， ，所以 平面 ，BDACPACBDAFC故 为平面 的一法向量F又 ，所以 (30)， ， 2315cosBA， m因为二面角 为锐角，所以所求二面角的余弦值为 EAFC5
