1、不等式与线性规划考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题1四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2bx c 0(a0) ，再求相应一元二次方程 ax2bxc0(a0) 的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法变形 0(0(1 时，a f(x)ag(x)f( x)g(x)；当 0ag
2、(x)f(x)1 时，log af(x)logag(x)f(x)g( x)且 f(x)0，g( x)0；当 0logag(x)f (x)0，g(x)0.2五个重要不等式(1)|a|0，a 20(aR)(2)a2b 22ab(a、bR)(3) (a0，b0)a b2 ab(4)ab( )2(a，bR)a b2(5) (a0，b0)a2 b22 a b2 ab 2aba b3二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域； 根据线性目标函数的几何意义确定最优解；求出目标函数的最大
3、值或者最小值4两个常用结论(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是Error!(2)ax2bxc0 的x|x12解集为_(2)已知函数 f(x)( x2)( axb) 为偶函数，且在(0，)单调递增，则 f(2x)0 的解集为_思维启迪 (1)利用换元思想，设 10xt ，先解 f(t)0.(2)利用 f(x)是偶函数求 b，再解 f(2x)0.答案 (1)x| x4解析 (1)由已知条件 00.f(2x)0 即 ax(x4)0，解得 x4.思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点， “三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法(1) 不等式 0 的解集为_
4、x 12x 1(2)已知 p：x 0R，mx 10，q：xR ，x 2mx10.若 pq 为真命题，则实数 m 的20取值范围是_答案 (1)( ， 1 (2)(2,0)12解析 (1)原不等式等价于(x 1)(2 x1)0 ，且 1.x3 y4 m3 n4所以 ( )2(当且仅当 ，即 m ，n2 时，取等号) 所以 ，即m3n4 m3 n42 m3 n4 12 32 m3n4 14mn3，所以 mn 的最大值为 3.(2)2x 2(xa) 2a2x a 2x a2 2a4 2a，2x a 2x a由题意可知 42a7，得 a ，32即实数 a 的最小值为 .32热点三 简单的线性规划问题例
5、 3 (2013湖北)某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/ 辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为_元思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题答案 36 800解析 设租 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆时，租金为 z 元，则 z1 600x2 400y ，且 x， y 满足Error!画出可行域如图，直线 y x 过点23 z2 400A(5,12)时纵截距最小，所以 zmin51 6002 40012
6、36 800，故租金最少为 36 800 元思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数(1)已知实数 x，y 满足约束条件Error!，则 w 的最小值是_y 1x(2)(2013北京)设关于 x，y 的不等式组 Error!表示的平面区域内存在点 P(x0，y 0)，满足x02y 02，求得 m 的取值范围是_答案 (1)1 (2) ( ， 23)解析 (1)画出可
7、行域，如图所示w 表示可行域内的点(x，y) 与定点 P(0，1)连线的斜率，观察图形可知 PA 的斜率最小y 1x为 1. 1 00 1(2)当 m0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y 0)满足 x02y 02，因此 m ； ln(x 2 1)ln(y21)；1x2 1 1y2 1sin xsin y; x 3y3.答案 解析 因为 0y.采用赋值法判断，中，当 x1，y0 时， 0，数形结合知，满足Error!即可，解得 1a .所以 a 的取值范围是 1a .32 32押题精练1为了迎接 2015 年 3 月 8 日的到来，某商场举行了促
8、销活动，经测算某产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 P3 ，已知生产该产品还需投入成本2x 1(102P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4 )万元/万件，则促销费用投入20P_万元时，厂家的利润最大？答案 1解析 设该产品的利润为 y 万元，由题意知，该产品售价为 2( )万元，所以 y2(10 2PP)P102Px16 x (x0)，所以 y17 ( x1)17210 2PP 4x 1 4x 113(当且仅当 x1，即 x1 时取等号)，所以促销费用投入 1 万元时，4x 1x 1 4x 1厂家的利润最大2若点 P(x，y) 满足线性约束条件Er
9、ror!点 A(3， )，O 为坐标原点，则 的最大值为3 OA OP _答案 6解析 由题意，知 (3， )， ( x，y)，则 3x y.OA 3 OP OA OP 3令 z3x y，3如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线 y x z 经过点 B 时，z 取得最大值333由Error! 解得Error!即 B(1， )，故 z 的最大值为 31 6.3 3 3即 的最大值为 6.OA OP 3如果关于 x 的不等式 f(x)lg x(x0)；(x2 14)sin x 2(xk，k Z)；1sin xx 212|x|(xR)； 1(xR)1x2 1答案 解析 应用基本不等式：x，y0，
10、 (当且仅当 xy 时取等号)逐个分析，注意基本不x y2 xy等式的应用条件及取等号的条件当 x0 时，x 2 2x x，14 12所以 lg lg x( x0)，故不正确；(x2 14)运用基本不等式时需保证“一正、二定、三相等” ，而当 xk，kZ 时，sin x 的正负不定，故 不正确；由基本不等式可知，正确；当 x0 时，有 1，故不正确1x2 13(2013重庆改编)关于 x 的不等式 x22ax8a 20)的解集为(x 1，x 2)，且 x2x 115，则 a_.答案 52解析 由 x22ax 8a 20，所以不等式的解集为(2a,4a) ，即x24a，x 12a，由 x2x 1
11、15，得 4a(2a) 15，解得 a .524(2014重庆改编)若 log4(3a4b)log 2 ，则 ab 的最小值是_ab答案 74 3解析 由题意得Error!所以Error!又 log4(3a4b)log 2 ，ab所以 log4(3a4b)log 4ab，所以 3a4bab，故 1.4a 3b所以 ab(ab)( )7 4a 3b 3ab 4ba72 74 ，3ab4ba 3当且仅当 时取等号3ab 4ba5已知变量 x，y 满足约束条件Error!，则 zx2y 1 的最大值为_答案 8解析 约束条件Error!所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过 A(1,4)时取得最大
12、值，故 zx2y 1 的最大值为 12418.6已知 f(x)是 R 上的减函数， A(3，1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式| f(1ln x)|1 的解集是_答案 ( ，e 2)1e解析 |f(1ln x)|1 ，1f (1ln x)1，f(3)f(1 ln x)f(0)，又f(x )在 R 上为减函数，01ln x3，1ln x2， xe2.1e7若 x，y 满足条件Error!且 z2x3y 的最大值是 5，则实数 a 的值为_答案 1解析 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线 z2x3y 过点 A(a，a)时，z2x 3y 取得最大值 5，所以 52a3a，解得 a1.
