1、1不等式常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的 12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查：不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指
2、数、对数、可能还会出现导数相结合命题；证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）（3）不等式大小比较常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法
3、 ；8图象法。（4）不等式求函数最值技巧一：凑项例：已知 ，求函数 的最大值。5x1425yx技巧二：凑系数例. 当 时，求 的最大值。(8)技巧三： 分离例. 求 的值域。2710xyx2技巧四：换元例. 求 的值域。2710()xyx技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。 ）()afx例：求函数 的值域。254xy技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 ）例：（1）已知 ，且 ，求 的最小值。0,xy19xyxy（2）若 且 ，求 的最小值R,21(3)已知 且 ，求 的最小值yxba
4、ybxayx技巧七、利用 转换式子1cossin22技巧八、已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值.y 22 1 y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab 。a 2 b 22同时还应化简 中 y2 前面的系数为 ， x x x1 y 212 1 y 2 2下面将 x， 分别看成两个因式：x 即 x x 34 1 y 2 2 342技巧九：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y 的最小值.1ab这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。例：1.已知 a0，b0 ，a
5、b(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧十：取平方例、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W 的最值.3x 2y（5）证明不等式常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。基本不等式最值求法的题型3基础题型一：指数类最值的求法1. 已知 ，求 的最小值。3abab变式 1.已知 ，求 的最小值。29变式 2.已知 ，求 的最小值。xy13xy变式 3.已知 ，求 的最小值。24变式 4.已知点 在直线 上，求 的最小值。(,)xy1x139xy基础题型二：对数类最值的求法2. 已知 ，且 ，求 的最大值。0,xy24xy22loglxy变式
6、1.已知 ，且 ，求 的最小值。113变式 2.已知点 是圆 在第一象限内的任一点，求 的最大值。(,)xy26y 33loglxy能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）1. 已知 ,求 的最小值。2x1()2fx变式 1.已知 ,求 的最小值。343x变式 2.已知 ,求 的最大值。1x()1f能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）1. 已知 ,且 ，求 的最小值。0xy2xyxy2. 变式 1.已知 ,且 ，求 的最小值。032变式 2.已知 ,且 ，求 的最大值。xyxy1xy能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）1. 已知 ,且
7、 ，求 的最大值。0xy21xy2xy变式 1.已知 ,且 ，求 的最大值。231变式 2.已知 ,且 ，求 的最小值。abab2ab能力题型四：对勾函数及其应用4【对勾函数】 ，由 得顶点的横坐标为 。1yxx1x,由 得顶点的横坐标为 。byax ba,由 得顶点的横坐标为 。(1)bxa(1)x1bxa例 1.求 的值域。2,4y 变式 1.求 的值域。(1)x变式 2.求 的值域。32,y 例 2.求 的值域。4()1x变式 1.求 的值域。2(3)yx 变式 2.求 的值域。(2)1x 例 3.求 的值域。4sin(0)yx 变式 1.求 的值域。i()s1x 变式 2.求 的值域。
8、2co(0)yx 基本不等式例题例 1. 已知 , 且 ，求 的最小值及相应的 值.例 2. 的最小值为_。例 3已知 ， ， 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是（ ）例 4函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，则5的最小值为_例 5. 若 ，则 的最小值是（ ）例 6下列各函数中，最小值为 2 的是( )A B. C. D.例 7（1）已知 ，求函数 的最大值.54x1425yx（2）求函数 的最小值求 的最大值.12y24yx练习. 设 ，则 的最大值为例 8.已知 , ，且 . 求 的最大值及相应的 的值例 9 若 x，y 是正数，则 的最小值是22)1()(xyx练习：已知实
9、数 x，y 满足 x+y1=0 ，则 x2+y2 的最小值例 10.若实数 a、b 满足 a+b=2，是 3a+3b 的最小值是基本不等式证明例 已知 a，b 为正数，求证： ab 例实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为 8 ，问 x y 分别为多少时用料最省？2m6基 本 不 等 式 应 用一基本不等式1.（1）若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取Rba, ab22Rba,2baba“=”）2. (1)若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取“=” ）*, *,(3)若 ，则 (当且仅
10、当 时取“=” ）*,Rba2baba3.若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）;若 ，则 (当且仅当 时取0x1x1x0x12x1x“=”）若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）2-2即 或 ba3.若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）0ababba若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）2-2即 或 ba4.若 ，则 （当且仅当 时取 “=”）Rba,)(bba注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等
11、式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）y x12x 2 1x解：（1）y3x 2 2 值域为 ，+）12x 2 6 6（2）当 x0 时，y x 2 2；1x当 x0 时， yx = （ x ）2 =21x 1x值域为（，22，+）解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知 ，求函数 的最大值。54x1425yx解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑0 1(42)5xA42x项，5,4xx14235yx217当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。154xx1xmaxy评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的
12、系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1. 当 时，求 的最大值。(82)y解析：由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即()8x(82)yx可。当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时， 的最大值为 8。(2)yx评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设 ，求函数 的最大值。30)3(4y解： 2x0x 2932)3(2xxx当且仅当 即 时等号成立。,323,4技巧三： 分离例 3. 求 的值域。2710()xyx解析一：本题看似无法
13、运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当 ,即 时, （当且仅当 x1 时取“”号）。421)59yx（技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(+05=ttty t）当 ,即 t= 时, （当 t=2 即 x1 时取“”号）。49yt评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求()(0,AymgxB最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。()af
14、x例：求函数 的值域。254xy解：令 ，则2()t254xy221(2)4tx8因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。10,ttt1t2,因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。y, 52y所以，所求函数的值域为 。5,2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1） （2） (3)231,(0)xy1,3yx12sin,(0,)iyx2已知 ，求函数 的最大值.；3 ，求函数 的最大值.0(1)0x(3条件求最值1.若实数满足 ，则 的最小值是 .2baba分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，ba
15、3解： 都是正数， ba3和 ba362ba当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是11baba36变式：若 ，求 的最小值.并求 x,y 的值44logl2xy1xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。2：已知 ，且 ，求 的最小值。0,xy91xy错解： ，且 ， 故 , 199212xyxyxy min12xy。错因：解法中两次连用基本不等式，在 等号成立条件是 ，在 等号成立29xy条件是 即 ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出19xyx等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否
16、有误的一种方法。正解： ，0,1xy19106yxxyx当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 。9y 4,2min16xy9变式： （1）若 且 ，求 的最小值Ryx, 12yxyx(2)已知 且 ，求 的最小值baba技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值.y 22 1 y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab 。a 2 b 22同时还应化简 中 y2 前面的系数为 ， x x x1 y 212 1 y 2 2下面将 x， 分别看成两个因式：x 即 x x 34 1 y 2 2 342技巧八：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数
17、y 的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a ， ab b30 2bb 1 30 2bb 1 2 b 2 30bb 1由 a0 得，0b15令 tb+1，1 t16，ab 2（t ）34t 2 8 2t 2 34t 31t 16t 16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。118法二：由已知得：30a
18、ba2b a2b2 30ab22 ab 2 ab令 u 则 u22 u300， 5 u3ab 2 2 2 3 ，ab18，y ab 2118点评：本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不ab）（ R,等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间的关系，由此想到0）（ R, ab与不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范围.ab2）（ ab变式：1.已知 a0，b0 ，ab( ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x，y 为正实数，3x 2y10，求函数 W 的最值.3x 2y解法一：若利用算术平均
19、与平方平均之间的不等关系， ，本题很简单a b2 a 2 b 22 23x 2y 2 23x 2y 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W 23x2y 2 102 10( )2( )2 10(3x 2y)203x 2y 3x 2y 3x 2y10 W 220 5变式: 求函数 的最大值。152()yxx解析：注意到 与 的和为定值。12()4(2)4(1)(52)8y xx又 ，所以0y当且仅当 = ，即 时取等号。 故 。x52x3maxy评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件
20、。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用二：利用基本不等式证明不等式1已知 为两两不相等的实数，求证：cba, cabcba221）正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c) 8abc例 6：已知 a、b、c ，且 。求证：R118c分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。1aa解： a、b、c ， 。 。同理 ，R1bc2abc12acb。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得12。当且仅当 时取等号。128bcababA13abc应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。0,xy91xyxym解：令 ，,0,k91.k091yxk。 ，103216,16应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若 ，则 的大小关系是 .)2lg(),l(g2,lg, baRbaQbaPba RQP,分析： 10（2Qpl)l
