1、1不等式专题练习题一、知识内容不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解证不等式的基础；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（教材中称为基本不等式，通常称均值不等式）及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用；线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用二、核心思想方法解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念、性质涉及到求函数最大（小）值，实数大小比较，求参数的取值范围等；不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点；均值不等式的证明最
2、终是利用了配方法，使用该不等式的核心方法则是整体思想方法，就是对哪两个正数使用定理，例如下面练习题的第 5 题是对 使2,ab用不等式，而不是对 使用不等式；线性规划的核心方法是数形结合和转化的思想方法，在具体转化上涉及到,ab面积、截距（目标函数为二元一次多项式） 、距离（目标函数含二元二次多项式） 、斜率（目标函数为分式）等几何意义，分别如下面练习题的第 9、22、23、24 题三、高考命题趋势本专题的高考命题热点可从以下两个方面去把握：1以客观题形式命题：不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历 年高考的重点考查内
3、容，考查方式多变，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题中主要以选择、填空形式出现，且设问也是灵活多变， 每年高考必有一题四个注意问题：（1）命题者有时把线性规划问题和均值不等式结合在一起，提高了难度，例如下面练习题的第 8、28 题 （2）线性规划的约束条件中含有参数的，例如下面练习题的第 7、9 题 （3）均值不等式的凑定值技巧，一是关注消元，而是关注整体代入思想方法，分别如下面练习题的第 17、18 题 （4）克服思维定势，有些题目很象是利用基本不等式的，其实只是解出未知数代入化2简的，如下面练习题的第 20 题2以解答题
4、形式命题：不等式证明与解法是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高均值不等式在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高线性规划问题也可以用实际问题进行考查，考查优化思想在解决问题的广泛应用，体现数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识但是，考虑到线性规划应用题毕竟知识较为单一，所以在高考中出现的频率不高考虑到不等式与函数、导数、解析几何的综合题中，不等式仅是其中的一个工具，所以本专题的选的解答题主要侧重于不等式的证明与解法练习题1 （山东省临沂市高三
5、教学质量检测考试）集合 ， ，则 （ ）20Ax1Bx()RACB（A） （B） （C） （D）x12x12 （安徽省安庆市高三 3 月模拟考试（二模） ）下列命题中错误的是（ ）A命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”2560x2x2x2560xB若 ，则“ ”是 成立的充要条件,yRy2yC已知命题 p 和 q，若 q 为假命题，则例题 p 与 q 中必一真一假D对命题 p： ，使得 ，则 则x210x:,xR210x3 （广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）设条件 ： ，条件 :q()20x，则条件 p是条件q的 （ ）A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充
6、分也不必要条件 4 （湖南省长、望、浏、宁高三 3 月一模联考）设 ，则“ ”是“ ”的 （ ,xyR2xy且 24xy）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件35 （山东省青岛市 3 月高三统一质量检测）已知 ,且 ,则 的最小值为（ ）0ab24ab1A B C D 144126 （广东省六校高三第二次联考试题）若函数 在 处有最小值，则 ( )1(),(2)fxxnnA B C4 D312137 （山东省临沂市高三教学质量检测考试）实数 满足 若目标函数 取得最大值 4，则实,xy1,(),0ayzxy数 的值为（ ）a（A）4 （B）3 （C）2 （
7、D） 328 （广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）设实数 ,xy满足 205y，则2xyu的取值范围是 （ ）.A 52, .B 102,3 C 510,23 D 1,4 9 （广州市普通高中毕业班综合测试）在平面直角坐标系中，若不等式组 表示的平面区域的面积为20xyt4，则实数 t的值为（ ）A1 B2 C3 D410 （安徽省安庆市高三 3 月模拟考试）已知 满足不等式组 ，则 的最大值与最小值的比值,xy2yxzxy为（ ） A B 2 C D132411 （江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 ab（填写序号） 1ab1ab2ab
8、3412 （山东青岛高三期末检测） 已知点 在直线 上，则 的最小值为 (,)Amn20xy24mn13 (江苏省泰州市高三年级第一次模拟)已知正实数 满足 ，则 的最小值,z1()xyz1()xyz为_14 （湖南省长、望、浏、宁高三 3 月一模联考）若实数 满足 ，则 的最大,abc11,22ababcac值是 15 (江苏省南京市高三第一次模拟考试)已知 ，若实数 满足 ，则2()log()fx,mn()23ffn的最小值是 mn16 （山东省胜利油田一中高三下学期第一次调研考试）已知 ，则 的最小值为 0,lg28lg2xyxy13xy17 （江苏省启东中学高三第一次模拟考试）若正实数
9、 满足： ，则 的最大值为 ,abc320abcacb18 （浙江省宁波市高三“十校”联考） 设 ，则 最小值为 20, 4xyxy1xy19 （上海华师大一附中高三联合调研考试数学试卷）若2136logaM, 4,7,则 M的取值范围是_20 （安徽省安庆市高三 3 月模拟考试）已知 ，则 4510xy2xy21 （苏北四市高三年级二轮模拟考试）知 的三边长 a,b,c 成等差数列,且 ,则实数 b 的取值ABC2284abc范围是_22 （江苏省启东中学高三第一次模拟考试）实数 满足， ，则 的最小值,xy0,1,2yxy63zxy为 23(湖北省黄冈中学模拟考试) 若实数 x，y 满足
10、则 的取值范围是_430,17.xy2xy524 （山东省青岛市 3 月高三统一质量检测）设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最小值,xy312xy1yzx为 25 （广东省六校高三第二次联考试题）已知 则 的最小值是 ,0xyyxy26 （浙江省名校新高考研究联盟第一次联考）若不等式 对任意非零实数 恒成立，则22()a,xy实数 的最小值为 a27 （北京朝阳区高三期末考试） 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间 （年数， ）的关系为 则当每台机器运转 年时，年平yxN2185yx均利润最大，最大值是 万元28 （广东省六校高三第二
11、次联考试题数学理题）如果直线 与 轴正半轴，12:20,:840lxylxyx轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数 zab的最大值为 8，求 ab的y最小值29 （江苏省启东中学高三第二次模拟考试）已知 222:610,:40()pxqxm（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；px（2）若 为 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围qm30 （江苏省南京市高三第二次模拟考试）已知 ，求证： 0,1ab1492ab31 （江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）设命题 ：方程 表示双曲线，命题 ：圆p67xyq与圆 相交若“ 且 ”为真命题，求实数 的取值范围22(1)9
12、xy22()(1)6xayqa32 （山东省青岛市高三期末检测数学理科）已知函数 的定义域为 ，解关于 的不等式21yaxRx220xa33 （江苏盐城市高三年级第二次模拟考试数学试题）设 ， ， 均为正数，且 1a23123am6求证： 12319.2aam34（山东省聊城市水城中学高三下学期第二次模拟考试）已知函数 2()log(|1|2|fxxa）（）当 时，求函数 的定义域；7()fx（）若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围x3Ra练习题答案：1B 2C 3B4A 5C 6D 7C 8B 9B 10B 11 12 13 14422log315 164 17 184 19 32l
13、og, (或 3log18,等 202 2173 (6,7223 23 241 254 261 275，80,28解：设 为封闭区域中的任意点， 满足约束条件084 ,xy，作出可行域可知目标函数的,Pxy,Pxy最优解为 把 代入 得最大值 8，解得 (1,4)B(,)(0,)Zabab由基本不等式得： （当且仅当 时，等号成立） ，故 的最小值为 424ab229解：（1）由 得， ，所以 为真命题时， 的取值范围是 610x28xpx2,8(2) ,若 为 成立的充分不必要条件，则 是 的真子集，:2,qxmpq2,8,2m所以 解得0,8.630证明： 因为 ，所以 ，,01ab(21
14、)()4ab而 ，所以结论成立14()(2()42 52931解：若 真，即方程 表示双曲线，则 ，解得 若 真，即圆p2167xya(6)70a67aq与圆 相交，则 解得 2219xy2224,35若“ 且 ”为真命题，则 假 真， 则 ，即 ，pqpq6735a或 6a7所以符合条件的实数 的取值范围是 a356a32解：因为函数 的定义域为 ，所以 恒成立21yxR210ax当 时， 恒成立,满足题意， 当 时，为满足 必有 且 ，解得 0a10a240a1a综上可知： 的取值范围是 原不等式可化为 011xa当 时，不等式的解集为 或 ；当 时， 不等式的解集为 ；02axa212x当 时，不等式的解集为 或 11x33证明： 1231123()()()aaaa，又 ，所以原不等式成立3 1231123()()9AA 123am34解：（）由题设知： ，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：7x，或 ，或 解得函数 的定义域为 127x21217x()fx(,4)(3,)（）不等式 即 ， 时，恒有 ， 不等式()3fx8xaR121)2x解集是 R， 的取值范围是 128xa3,5,a(,-5
