1、第 1 章 函数与极限习题解答1第 1 章 函数与极限习题解答1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解 不一定. 例如, 当 x0 时, (x)2x, (x)3x 都是无穷小, 但 , 不是32)(lim0x)(无穷小. 2. 函数 yxcos x 在(, )内是否有界？这个函数是否为当 x 时的无穷大？为什么？解 函数 yxcos x 在(, )内无界 .这是因为M 0, 在( , )内总能找到这样的 x, 使得| y(x)|M. 例如y(2k)2k cos2k2k (k0, 1, 2, ), 当 k 充分大时, 就有| y(2k )|M. 当 x 时, 函数 yxcos x 不
2、是无穷大. 这是因为M0, 找不到这样一个时刻 N, 使对一切大于 N 的 x, 都有|y(x )|M. 例如(k0, 1, 2, ), 0)2cos()2()( kk对任何大的 N, 当 k 充分大时, 总有 , 但|y(x)|0M. x3. 证明: 函数 在区间 (0, 1上无界, 但这函数不是当 x0+时的无穷大. xy1sin证明 函数 在区间(0, 1 上无界. 这是因为iM0, 在 (0, 1中总可以找到点 xk, 使 y(xk)M. 例如当(k0, 1, 2, )21时, 有, )(kxy当 k 充分大时, y (xk)M.当 x0+ 时, 函数 不是无穷大. 这是因为xy1si
3、nM0, 对所有的 0, 总可以找到这样的点 xk, 使 0xk, 但 y(xk)M. 例如可取(k0, 1, 2, ), k2当 k 充分大时, x k, 但 y(xk)2ksin2k0M.4. 计算下列极限:(1) ;12limxx第 1 章 函数与极限习题解答2解 . 21lim12li xxx(2) ;3li24x解 (分子次数低于分母次数, 极限为零)01li或 . 012lim3li 4324xxx(3) ;)1(lim3x解 . 12lim)1)(2li)1)(3li 12 xxxx(4) ;xsinl20解 (当 x0 时, x 2 是无穷小, 而 是有界变量). 1ilmxs
4、in(5) .xarctnli解 (当 x时, 是无穷小, 而 arctan x 是有界变量). 0arctn1litli x1(6) ;xcotm0解 . 1coslimsnlicosinltli 000 xxxx(7) ;i2co1l0解法 1 . 22000s1coslimlilinxxx解法 2 . inlmsilsi2colxxx(8) (x 为不等于零的常数).nnli解 . xnnn2silsi2lm第 1 章 函数与极限习题解答3(9) ;xx10)2(lim解 . 210210)(lim)(lili exxxx (10) ;x2)1(解 . 2)1(lilimexx5. 利用
5、极限存在准则证明: (1) ;1lin证明 因为 , 而 且 , 由极限存在准则 I, . n11limn1)(lin1limn(2) ; 2lim22n证明 因为 2222 1 1nn而 , , linlim所以 1 21li 22 n(3) . 1m0x证明 因为 , 所以 . 又因为 , 根据夹逼准则, x1x1lim)1(li00xx有 . 1li0x6. 无穷小概念题 (1) 当 x0 时 2xx 2 与 x2x3 相比 哪一个是高阶无穷小？解 因为 , 0limli03所以当 x0 时 x 2x3 是高阶无穷小 , 即 x2x3o(2xx2). (2) 当 x1 时 无穷小 1x
6、和()1x 3, () 是否同阶？是否等价？)1(解 ()因为 , 3lim)(lili 212131 xxxx所以当 x1 时, 1x 和 1x3 是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小 . () 因为 , )(li2)(lim11xx所以当 x1 时, 1x 和 是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 第 1 章 函数与极限习题解答47. 利用等价无穷小的性质 求下列极限: 解 (1) . 23lim2tanli00xx(2) . nxx 1li)(sil00(3) . 3300si(1)tanicolilsxxx 22001coslimliincosxx(4)因为， (x0)，it(s)223
7、tansi()(x0)， (x0),3221x11ix所以 . 3320 02sintalimlim()(i)x x8. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1) ， x1， x2；23xy解 . 因为函数在 x2 和 x1 处无定义, 所以 x2 和 x1)(是函数的间断点. 因为 , 所以 x2 是函数的第二类间断点; 231lim2xyx因为 , 所以 x1 是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. )(1在 x1 处, 令 y2, 则函数在 x1 处成为连续的. (2) , xk, (k0, 1, 2, )；
8、tan2解 函数在点 xk(kZ)和 (kZ)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. x因 (k0), 故 xk(k0)是第二类间断点; xkxtanlim因为 , (kZ), 所以 x0 和 (kZ) 是第一类间断点1tli0x 0tanli2kx 2 且是可去间断点. 令 y|x01, 则函数在 x0 处成为连续的; 第 1 章 函数与极限习题解答5令 时, y 0, 则函数在 处成为连续的. 2kx 2kx(3) x0；,1cos解 因为函数 在 x0 处无定义, 所以 x0 是函数 的间断点. 又因y2 xy1cos2为 不存在, 所以 x0 是函数的第二类间断点. xx1cosli
9、m20(4) ， x 1。 3y解 因为 , 所以 x1 是函数的第一0)(lim)(li11fxx 2)3(lim)(li11xxf类间断点，跳跃间断点。 9. 讨论函数 的连续性, 若有间断点, 判别其类型. xfnn2li)(解 . 1| 0| 1lim)(2xxfn在分段点 x1 处, 因为 , ,所以 x1 为1)(lim)(lixfx lim)(li1xf函数的第一类间断点，跳跃间断点。 在分段点 x1 处, 因为 , , 所以 x1 为函数li)(li11fxx )(li)(li11fxx的第一类间断点，跳跃间断点。10.求下列极限: 解(1) 001(1)(1)limlixxx
10、001limli(1)xx. 2(2) 1154(54)(54)lilixxxx. 1lim()x214545lim1 xx(3) )( )(lili 22222 xxxx 第 1 章 函数与极限习题解答6.1)(2lim)(2limxxx(4) . exx212)1(li)1(li(5) . 3tan3120cot20 2)t(lim)tan3(limxxx (6) . 因为161232()()6x， ，exx36)(li 26lix所以 . 21lim(7) 20tansiliixx2202(1tansi)(1sin)li si)(ta(1ti)snx xxx。220(tai)(ilims
11、1tsn)xxx 2200tat(cos)1limliminx x11. 设函数 应当如何选择数 a, 使得 f(x)成为在( , )内的 )(xaexf连续函数？ 解 要使函数 f(x)在(, ) 内连续, 只须 f(x)在 x0 处连续, 即只须. afx 0(limli00因为 , , 所以只须取 a1.1li)(lixef axxf)(lim)li0012. 证明题(1) 证明方程 x53x1 至少有一个根介于 1 和 2 之间.证明 设 f(x)x53x1, 则 f(x)是闭区间1, 2上的连续函数. 因为 f(1)3, f(2)25, f(1)f(2)0, b0, 至少有一个正根,
12、 并且它不超过 ab.证明 设 f(x)asin xbx, 则 f(x)是0, ab上的连续函数. f(0)b, f(ab)a sin (ab)b(ab)asin(ab)10. 若 f(ab)0, 则说明 xab 就是方程 xasinxb 的一个不超过 ab 的根; 若 f(ab)0, 则 f(0)f(ab)0, 由零点定理, 至少存在一点 (0, ab), 使 f()0, 这说明 x 也是方程 x=asinxb 的一个不超过 ab 的根. 总之, 方程 xasinxb 至少有一个正根, 并且它不超过 ab. (3)若 f(x)在a, b上连续, a x1x2 xnb, 则在 x1, xn上至少有一点 , 使.nff)( )(21证明 显然 f(x)在x 1, xn上也连续 . 设 M 和 m 分别是 f(x)在 x1, xn上的最大值和最小值. 因为 xix1, xn(1 in), 所以有 mf(xi)M, 从而有 , nffm)(2. nxfx)( )(1由介值定理推论, 在x 1, xn上至少有一点 使. fff n)( )()(2
