1、一、导数与单调性（一）含参数函数的单调性1.已知函数 f(x)= 21x a x+(a1) lnx，讨论函数 ()fx的单调性, 求出其单调区间。解： ()f的定义域为 (0,).2 1()1)axxx1=xa 12,f a令 得 :(1) 0)(;0)(0 xffa时 ，即若单 调 递 减在单 调 递 增在此 时 1,x(2) 时 ，即若 若 1a即 2时，2()xf0, 故 ()fx在 0,)单调递增.若 01，令 得 x0,试判断 在定义域内的单调性 ;()fx（2 ）若 在 上的最小值为 ,求 a 的值;()fx1,e32（3 ）若 在 上恒成立 ,求 a 的取值范围2f【答案】 （1
2、） 在 上是单调递增函数；（2 ） ；（3） .x0, a=-e1a【解析】试题分析：（1）由题意知 的定义域为 ,求导数知 , 在fx00fxfx上是单调递增函数；0,（2 ）讨论 ； ； 等几种情况，通过研究函数的单调性、1ae1,a确定最小值，建立方程求解.（3 ）由已知得到 ， 3xln令 .23 216 ,1 3, xgxlhglnxhx通过讨论函数的单调性明确 得解. 1gx试题解析：（1）由题意知 的定义域为 ,且 ,f021f (x)=+ a0x , 故 在 上是单调递增函数 4 分0fxfx0,（2 ）由（1 ）可知, .2=a若 ,则 ,即 在 上恒成立, 此时 在 上为增
3、函数, axfx1efx1e (舍去) 6 分min3=f()-a-2f若 ,则 ,即 在 上恒成立, 此时 在 上为减函数, e0xfxefxe (舍去) 8 分minf()1-a=-f若 令 得 ,eafx,当 时, 在 上为减函数; 1x0,f1a当 时, , 在 上为增函数, efxe .综上所述, 10 分min3=(-a)l+=a-2fxa=-e（3 ） .又 ， 2, x30xln令 .23 216 ,1 , xgxlnhglhx 时, 在 上是减函数.10, xx, ,即 在 上也是减函数. 2hx,g1,x,当 时, 在 上恒成立 14 分 g1a2 f5 （本小题满分 13
4、 分） ()2lnfxx（1 ）求 的单调区间和极值()fx（2 ）若 及 不等式 恒成立，求实数 的范围.1,2t 2()fxtmm【解析】试题分析：（1） ，应用 “表解法” ，讨论 ， ，211()02fxxx()f的对应关系，即得.()fx单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值是 ，无极大值.1(0,)21(,)22ln（2 ）由（1 ）可知 在 上单调递增fx,从而 对 恒成立，解 ，即得所求.0tm1,t104m试题解析：（1） 2()02xfxx列表如下： x1(0,)21(,)()f0fxA极小值 2lnA所以， 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值是 ，无极大值.(
5、)fx1(0,)21(,)22ln（2 ）由（1 ）可知 在 上单调递增()fx,所以 即 对 恒成立min21tff210tm1,2t所以 ，解得 .104546 （本小题满分 14 分）已知函数 xxfln)(（1）求曲线 在点 处的切线方程；)(xfy2,（2）求函数 的极值；（3）对 恒成立，求实数 b的取值范围(0,)(xfxb【答案】 （1） ；（2）函数 的极小值为 , 无极大值；0ln2y)(xfy0)1(f（3） .eb【解析】试题分析：（1）先求出 ，再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即可得出曲)2(f线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可；（2）令导数大于 0 解出函数的增区间；令导数小于 0，解出函数 的减区间，然后由极值判断规则确)(xfy )(xfy
