1、数列基础知识点和方法归纳11. 等差数列的定义与性质定义： 1nad（ 为常数）， 1nad等差中项： xAy， ， 成等差数列 2Axy前 n项和 112nnSad性质： na是等差数列（1）若 mpq，则 mnpqaa；（2）数列 仍为等差数列， 232nnnSS， ， 仍为等差数列，公差为1212,n；dn（3）若三个成等差数列，可设为 ad， ，（4）若 nab， 是等差数列，且前 n项和分别为 nST， ，则 21maSb（5） n为等差数列 2nSab（ ， 为常数，是关于 n的常数项为 0 的二次函数）S的最值可求二次函数 n的最值；或者求出 a中的正、负分界项，即：当 10ad
2、， ，解不等式组 10na可得 nS达到最大值时的 n值. 当 1， ，由 10na可得 nS达到最小值时的 值. (6)项数为偶数 的等差数列 n， 有2 ),)()()( 111212 为 中 间 两 项 nnnn aaaaS， .d奇偶 1nS偶奇（7）项数为奇数 的等差数列 na， 有2，)()(12为 中 间 项nnaS， .n偶奇 1S偶奇数列基础知识点和方法归纳22. 等比数列的定义与性质定义： 1naq（ 为常数， 0q）， 1naq.等比中项： xGy、 、 成等比数列 2Gxy，或 xy.前 n项和： 1()nnaqS（要注意！）性质： na是等比数列（1）若 mpq，则
3、mnpqa（2） 232nnSS， ， 仍为等比数列,公比为 .nq注意：由 求 a时应注意什么？1时， 1；2n时， 1nnS.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列 na， 12125naa，求 na（2）叠乘法如：数列 na中， 113na， ，求 na（3）等差型递推公式由 110()nafa， ，求 n，用迭加法数列基础知识点和方法归纳3练习数列 na中， 1132na， ，求 na（ 132n）（4）等比型递推公式 1nacd（ 、 为常数， 010cd， ， ）可转化为等比数列，设 1nnnaxxacx令 (1)cxd， 1c， 1nc是首项为 1， 为公比的等比数
4、列 11nna， 11nndac（5）倒数法如： 112nnaa， ，求 n附：公式法、利用 、累加法、累乘法 .构造等差或等比 或1(2)nSnna 1nnapq、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法1()nnapf)4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： na是公差为 d的等差数列，求 1nka（2）错位相减法若 n为等差数列， nb为等比数列，求数列 nb（差比数列）前 n项和，可由 nSq，求 nS，其中 q为 b的公比. 数列基础知识点和方法归纳4如： 23114nnSxx nx x 21nnxx
5、1x时， 21nnS， 时， 1232n nS（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 1212nnnSaa相加 1211nnnnSaaa练习已知 2()xf，则111(1)2(3)(4)ffff(附：a.用倒序相加法求数列的前 n 项和如果一个数列a n，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是“ 倒序相加法 ”。b.用公式法求数列的前 n 项
6、和对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前 n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。d.用错位相减法求数列的前 n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，a n成等差数列，b n成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。e.用迭加法求数列的前 n 项和迭加法主要应用于数列a n满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。f.用分组求和法求数列的前 n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，数列基础知识点和方法归纳5可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前 n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。
