1、1 k02 2 m m 1 ma mb k0a b第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答 一 、 （35 分 ） 如 图 ， 质 量 分 别 为 ma 、 mb 的 小 球 a 、 b 放 置 在 光 滑 绝 缘 水 平 面 上 ， 两 球 之 间 用 一 原 长 为 l0 、劲度 系 数 为 k0 的 绝 缘 轻 弹 簧 连 接 。（1） t 0 时 ， 弹 簧 处 于 原 长 ， 小 球 a 有 一 沿 两 球 连 线 向 右 的 初 速 度 v0 ， 小 球 b 静 止 。 若 运 动 过 程 中 弹簧 始 终 处 于 弹 性 形 变 范 围 内 ， 求 两 球 在 任 一 时
2、刻 t(t 0) 的速度。（ 2） 若 让 两 小 球 带 等 量 同 号 电 荷 ， 系 统 平 衡 时 弹 簧 长 度 为 L0 ， 记 静 电 力 常 量 为 K 。 求 小 球 所 带 电 荷 量和 两 球 与 弹 簧 构 成 的 系 统 做 微 振 动 的 频 率 （极 化 电 荷 的 影 响 可 忽 略 ） 。参 考 解 答 ：（1）如图， t 时刻弹簧的伸长量为u l l0有d 2u dt2式中 k0u ma mb ma mb为两小球的约化质量。由式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f 2 最后一步利用了式。t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为u Asin t
3、 B cost 式中 A 、B 为待定常量。t 0 时，弹簧处于原长，即u(0) B 0将 B 0 代入式得a 相对于b 的速度为u Asin t v dra drb du A cost adt dt dtt 0 时有k0 (L l )K 0 0L va (0) v0 0 A 由式得va v0 cost 系统在运动过程中动量守恒小 球 a 相 对 于 地 面 的 速 度 为ma v0 ma va mbvb va va vb 由式可得， t 时刻小球 a 和小球b 的速度分别为 m (m m )k mv 1 b cos a a b 0 t a v m m m m m 0 a a b (m m )
4、k a bmv 1 cos b a b 0 t a v m m m m 0 a b a b（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为 q ，系统平衡时有q2K 2 k0 (L0 l0 ) 0由式得设 t 时 刻 弹 簧 的 长 度 为 L （见 图 II） ，有q L0 d 2 L q2dt2 k0 (L l0 ) K L2 图 II令 x L L0 为 t 时 刻 弹 簧 相 对 平 衡 时 弹 簧 长 度 L0 的 伸 长 量 ， 式 可 改 写 为d 2 x q2 x 2 dt2 k0 x k0 (L0 l0 ) K L2 1 L 系统做微振动时有0 0 x因而 x 2 x x 2 1 L 1
5、 2L O L 0 0 0 L0123L 2l0 0 0 L 0k 1 3L 2l m m 2 0 0 a b k 0 a bL m m0L30 L0利用上式，式可写为d 2 x q2 q2 x 2 dt2 k0 (L0 l0 ) K L2 k0 2K L3 x O L x 2 0 0 0 略去 O L ，并利用或式，式可写为 0 d 2 x q2 3L 2l k 2K x 0 0 k x 0dt2 0由式知， 3L 0 2l0 0 ，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f 最后一步利用了式。评分参考：第（1）问 24 分，式各 2 分；第（2）问 11 分，式各 2分，式 1 分
6、，式各 2 分。二 、 （35 分） 双 星 系 统 是 一 类 重 要 的 天 文 观 测 对 象 。 假 设 某 两 星 体 均 可 视 为 质 点 ， 其 质 量 分 别 为 M 和m ，一起围绕它们的质心做圆周运动，构成一双星系统，观测到该系统的转动周期为T 0 。在某一时刻，M 星 突 然 发 生 爆 炸 而 失 去 质 量 M 。 假 设 爆 炸 是 瞬 时 的 、 相 对 于 M 星 是 各 向 同 性 的 ， 因 而 爆 炸 后 M星的残余体 M (M M M ) 星的瞬间速度与爆炸前瞬间 M 星的速度相同，且爆炸过程和抛射物质M 都对 m 星没有影响。已知引力常量为 G ，不
7、考虑相对论效应。（1）求爆炸前 M 星和m 星之间的距离 r0 ；（2）若爆炸后 M 星和m 星仍然做周期运动，求该运动的周期 T1 ；（3）若爆炸后 M 星和m 星最终能永远分开，求 M 、m 和M 三者应满足的条件。参考解答：（1）两 体 系 统 的 相 对 运 动 相 当 于 质 量 为 Mm M m 的质点在固定力场中的运动，其运动方程是 2GM 0 r v2 GM1 0 G2M 2 2GM 0r v2 r2v2 0 0 0 2 2 2 2Mm r GMm r 其 中 r 是 两 星 体 间 的 相 对 位 矢 。 式 可 化 为M m r3r G(M m) r r3由式可知，双星系统
8、的相对运动可视为质点在质量为 M m 的固定等效引力源的引力场中的运动。爆炸前为圆周运动，其运动方程是G(M m) 2 2r2 T r0 由式解得0 0 G(M m)T 2 1/3r 0 0（2）爆炸前， m 星相对于 M 星的速度大小是42 v 2r0 2 G(M m)T 2 1/30 2G(M m) 1/3 0 T T 42 T0 0 0 方向与两星体连线垂直。爆炸后，等效引力源的质量变为M M m M m M 相 对 运 动 轨 道 从 圆 变 成 了 椭 圆 、 抛 物 线 或 双 曲 线 。 由 爆 炸 刚 刚 完 成 时 （取 为 初 始 时 刻 ） 两 星 体 的 位 置 和 运
9、动 状 态 可 知 ， 两 星 体 初 始 距 离 为 r0 ， 初 始 相 对 速 度 的 大 小 为 v0 ， 其 方 向 与 两 星 体 连 线 垂 直 ， 所 以 初 始 位 置必 定 是 椭 圆 、 抛 物 线 或 双 曲 线 的 顶 点 。 对 于 椭 圆 轨 道 ， 它 是 长 轴 的 一 个 端 点 。设椭圆轨道长轴的另一个端点与等效引力源的距离为 r 1 ，在 r 1 处的速度（最小速度）为v min （理由见式 ） ， 由 角 动 量 守 恒 和 机 械 能 守 恒 得r1v1 r0v0 和v2 GM v2 GM 1 0 2 r1 2 r0由 式 得 r1 满 足 方 程
10、2GM v r 2GM r r v 0 由式解得 r00 1 1 0 0r1 a3 GMG(M m)r02r r v20 (GM r v2 GM) 0 0 r2GM r v2 0 0 2GM r v2 00 0 0 0另一解r 0 可在式右端根号前取减号得到。由式可知r1 r0 利 用 方 程 和 韦 达 定 理 （ 或 由 式 ） ， 椭 圆 的 半 长 轴 是r r GM G(M m)T 2 1/3 M m Ma 0 1 2 2GM r v2 r0 0 4 M m 2M要使运行轨道为椭圆，应有由式得0 0 0 a 据开普勒第三定律得M m 2M 0 T1 2 将式代入式得解法（二）爆炸前，
11、设 M 星与m 星之间的相对运动的速度为 v相对0 ，有v相对 0 爆炸后瞬间， m 星的速度没有改变， M M 星与爆炸前的速度相等，设 M M 星与m 星之间的相对运动的速度为v 相对 ，有v相 对 v相 对 0 爆炸后质心系的总动能为E 1 (M M )m v2 质心系总能量为k 2 M m M 相对E E G(M M )m r0对于椭圆轨道运动有E G(M M )m 2 A式中T1 (M m)(M m M )2(M m 2M )3 T0k0G(M m)r30G(M m M )A3由开普勒第三定律有A M m M r M m 2M 0T0 2 由式有T1 2 有 (M m)(M m M
12、)2 1/ 2T1 (M m 2M )3 T0 （ 3） 根 据 式 ， 当 M (M m)/2 的 时 候 ， 式 不 再 成 立 ， 轨 道 不 再 是 椭 圆 。 所 以 若 M 星 和 m 星 最终 能 永 远 分 开 ， 须 满 足M (M m)/2 由题意知联立式知，还须满足式即为所求的条件。M M M m 评分参考：第（1）问 8 分，式各 2 分；第（2）问 23 分，式各 2 分，式 1 分，式各 2 分；解法（二）式各 2分；式各 3 分；式 2 分，式 3 分，式 2 分，式 3 分；第（3）问 4 分，式各 2 分。三 、 （35 分 ） 熟 练 的 荡 秋 千 的 人
13、 能 够 通 过 在 秋 千 板 上 适 时 站 起 和 蹲 下 使 秋 千 越 荡 越 高 。 一 质 量 为 m 的 人荡一架底板和摆杆均为刚性的秋千，底板和摆杆的质量均可忽略，假定人的质量集中在其质心。人在秋千上每次完全站起时起质心距悬点O 的 距 离 为 l ， 完 全 蹲 下 时 此 距 离 变 为 l d 。实际上，人在秋千上 站 起 和 蹲 下 过 程 都 是 在 一 段 时 间 内 完 成 的 。 作 为 一 个 简 单 的 模 型 ， 假 设 人 在 第 一 个 最 高 点 A 点从完全站立的姿势迅速完全下蹲，然后荡至最低点 B ，A 与 B 的高度差为 h1 ；随后他在 B
14、 点迅速完全站起（且 最 终 径 向 速 度 为 零 ） ， 继 而 随 秋 千 荡 至 第 二 个 最 高 点 C ， 这 一 过 程 中 该 人 质 心 运 动 的 轨 迹 如 图 所 示 。 此后 人 以 同 样 的 方 式 回 荡 ， 重 复 前 述 过 程 ， 荡 向 第 3、 4 等 最 高 点 。 假 设 人 站 起 和 蹲 下 的 过 程 中 ， 人 与 秋 千的 相 互 作 用 力 始 终 与 摆 杆 平 行 。 以 最 低 点 B 为 重 力 势 能 零 点 。（ 1 ） 假 定 在 始 终 完 全 蹲 下 和 始 终 完 全 站 立 过 程 中 没 有 机 械 能 损 失
15、 ， 求 该 人 质 心 在A A B B C 各个阶段的机械能及其变化；（2） 假 定 在 始 终 完 全 蹲 下 和 始 终 完 全 站 立 过 程 中 的 机 械 能 损 失 E 与过程前后高度差的绝对值 h 的 关系 分 别 为E k1mg(h0 h) ， 0 k1 1，始终完全蹲下E k2 mg(h0 h) ， 0 k2 1 ， 始 终 完 全 站 立这里， k1 、k 2 、h 0 和 h0 是常量， g 是重力加速度的大小。求（i）相对于 B 点，第 n 个最高点的高度 hn 与第n 1 个最高点的高度 hn1 之间的关系；（ ii） hn 与 h1 之 间 的 关 系 式 和
16、hn1 hn 与 h1 之 间 的 关系 式 。 参 考 解 答 ：（1）假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中没有机械能损失。将人和秋千作为一个系统。人在 A处位于完全站立状态，此时系统的机械能为U A K A VA 0 mgl(1 cos A ) d mgh1 式中， K A 0 和 VA mgh1 分别是人在 A 处时系统的动能和重力势能， A 是秋千与竖直方向的夹角（以下使用类似记号）如图所示。 人在 A 处完全下蹲，在 A A 过 程 中 系 统 重 力 势 能 减 少 ， （因受到摆底板的限制）动能仍然为零。人在 A 处时系统的机械能为 U A K A VA 0 mg(d l)(1
17、 cos A ) mg l d (h d ) l 1人在 B 仍处位于完全下蹲状态，在 A B 过程中系统机械能守恒。人在 B 处的动能为 K 1 mv2 U 式 中 下 标 1 表 示 秋 千 第 一 次 到 B 处 。 B1 2 B1 A人 在 B 处 突 然 站 立 ， 人 做 功 ， 机 械 能 增 加 。 设 人 站 立 前 后 体 系 的 角 动 量 分 别 为 LB1 和 LB1 ， 在 B B 过程中系统角动量守恒 LB1 mv B1 (l d) m(l d) 2KB1 / m m(l d ) LB1 mlvB1 由此得 人在 B 处的机械能为 vB1 U 1 mv2 mgd
18、B1 2 B11 l d 3 2 m 2 l g(h1 d ) mgd 人在 C 仍处于完全站立状态，在 B C 过程中系统机械能守恒。人在 C 处时系统的机械能为 UC mgh2 (l d )3由式得 mgl3 (h1 d ) mgd UB1 l d 3h2 d l (h1 d ) 于是 l d 3 UC U A mg l 1 (h1 d ) （2） （ 1） 假 定 在 始 终 完 全 蹲 下 和 始 终 完 全 站 立 过 程 中 有 机 械 能 损 失 。 按 题 给 模 型 ， 人 第 n 第在 B 处 时系 统 的 动 能 为1 mv2 mgh k (mgh mgh ) 2Bn n
19、 1 0 n2g l d (h d )l 1l dl 2g l d (h d )l 1 (1 k1 )mghn k1mgh0 (1 k )mg l d (h d ) k mgh1l n 1 0即 v2 2(1 k )g l d (h d ) 2k gh Bn 1l n 1 0按题给模型，人第 n 次在 B 处时系统的动能为 1 mv2 mg(h d ) k mgh mg(h d ) 2 Bn n1 2 0 n1 (1 k2 )mg(hn1 d ) k2mgh0 即 v2 2(1 k )g(h d) k gh B n 2在第 n 次 B B 过程中，系统角动量守恒，有n1 2 0(l d )mv
20、Bn lmvBn 由式得2(1 k )l2 g(h d) 2k l2 gh2 n1 2 0 2(1 k )(l d )2 g l d (h d ) 2k (l d )2 gh 由式得1 l n 1 01 k l d 3 k l d 2 khn1 d 1 (hn d ) 1 h0 2 h0 1 k2 l 1 k2 l 1 k21 k l d 3 k l d 2 k 1 (hn d ) 1 h0 2 h0 1 k2 l 1 k2 l 1 k2 (hn d ) 式中1 k l d 3 1 1 k2 l k l d 2 k 1 h0 2 h0 1 k2 l 1 k2（ii）由式有hn1 d (hn d
21、 ) (hn1 d ) n111 1 2 (h d) (1 ) n (h d) (1 n即nn(h1 d ) 1 1 nhn1 于是(h1 d ) d 1 hn1 hn n1( 1)(h d) 评分参考：第（1）问 17 分。式各 2 分，式 3 分，式各 2 分；第（2）问 18 分，各 2 分，式各 1 分，式各 2 分。四 、 （35 分 ） 如 图 ， 在 磁 感 应 强 度 大 小 为 B 、 方 向 竖 直 向 上 的 匀 强 磁 场 中 有 一 均 质 刚 性 导 电 的 正 方 形 线框 abcd ， 线 框 质 量 为 m ， 边 长 为 l ， 总 电 阻 为 R 。 线
22、框 可 绕 通 过 ad 边 和 bc 边 中 点 的 光 滑 轴 OO 转动 。P 、 Q 点 是 线 框 引 线 的 两 端 ， OO 轴 和 x 轴 位 于 同 一 水 平 面 内 ， 且 相 互 重 直 ， 不 考 虑 线 框 自 感 。（1）求线框绕OO 轴的转动惯量 J ；（2） t 0 时 ， 线 框 静 止 ， 其 所 在 平 面 与 x 轴 有 一 很 小 的 夹 角 0 ， 此 时 给 线 框 通 以 大 小 为 I 的 恒 定 直 流电 流 ， 方 向 沿 P a b c d Q ， 求 此 后 线 框 所 在 平 面 与 X 轴的夹角 、 线 框 转 动 的 角 速 度
23、 和角 加 速 度 随 时 间 变 化 的 关 系 式 ；（3） t t0 0 时 ， 线 框 平 面 恰 好 逆 时 针 转 至 水 平 ， 此 时 断 开 P 、 Q 与 外 电 路 的 连 接 。 此 后 线 框 如 何 运动？求 P 、Q 间电压 VPQ 随时间变化的关系式；（4）线 框 做 上 述 运 动 一 段 时 间 后 ， 当 其 所 在 平 面 与 X 轴 夹 角 为 3 时 ， 将 P 、 Q 短路，1 4 1 4 线框再转一小角度 后停止，求 与 1 的关系式和 的最小值。参考解答：（1）线框 ab 边和cd 边绕OO 轴的转动惯量 J ab 和 J cd 均为m l 2Jab Jcd 4 2 ml216 n1)
