1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。(1)已知集合 123A, , , 2|9Bx,则 AB(A) 0, , , , , (B) 10, , , , (C ) 123, , (D) 12,(2)设复数 z 满足 i3,则 z=(A) 1i(B) 2(C) i(D ) 32i(3) 函数 =sn()yx的部分图像如图所示,则(A) 2i6( B) 2sin()3yx(C) sin(+)yx(D ) i+(4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为(A
2、) 12(B) 3(C ) (D) (5) 设 F 为抛物线 C: y2=4x 的焦点,曲线 y= kx(k0)与 C 交于点 P,PFx 轴,则 k=(A) 2(B )1 (C ) (D)2(6) 圆 x2+y22x8y+13=0 的圆心到直线 ax+y1=0 的距离为 1,则 a=(A) 43(B) (C) 3(D )2(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A)20(B )24(C)28(D )32(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为(A)
3、710(B ) 58(C ) 3( D) 10(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图执行该程序框图,若输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=(A)7 (B)12 (C) 17 (D)34(10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx的定义域和值域相同的是(A)y=x(B)y =lgx(C)y =2x(D) 1yx(11) 函数 ()cos26()f的最大值为(A)4(B)5 (C) 6 (D )7(12) 已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)=f(2-x),若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为(x 1,y1) ,(
4、x 2,y2), (x m,ym) ,则 1=i(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m二填空题:共 4 小题,每小题 5 分.(13) 已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 ab,则 m=_. (14) 若 x,y 满足约束条件103xy,则 z=x-2y 的最小值为_(15)ABC 的内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c,若 4os5A, cs13C,a=1,则b=_.(16)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数
5、字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是_.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 12 分)等差数列 na中, 3457,6a(I)求 的通项公式;(II)设 nb= ,求数列 nb的前 10 项和,其中x 表示不超过 x 的最大整数,如0.9=0,2.6=2(18)(本小题满分 12 分)某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:(I)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于
6、基本保费” 。求 P(A)的估计值;(II)记 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160”.求 P(B)的估计值;(III)求续保人本年度的平均保费估计值.(19) (本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别在 AD,CD 上,AE =CF,EF 交 BD于点 H,将 DEFA沿 EF 折到 EFA的位置.(I)证明: C;(II)若 55,6,24BD,求五棱锥 ABCFD体积.(20) (本小题满分 12 分)已知函数 ()1ln(1)fxxa.(I)当 4a时,求曲线 yf在 ,()f处的切线方程;
7、(II)若当 ,x时, ()0x ,求 a的取值范围.(21) (本小题满分 12 分)已知 A 是椭圆 E:2143xy的左顶点,斜率为 0k 的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MN.(I)当 时,求 AMN的面积(II)当 2 A时,证明: 32k.请考生在第 2224 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,且 DE=DG,过 D 点作DF CE,垂足为 F. ()证明:B,C,G,F 四点共圆;()若 AB=1,E 为
8、 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为2(+6)=5xy.()以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;()直线 l 的参数方程是cosinxt,y=(t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点, 10=,求 l 的斜率.(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 1()2fxx=-+,M 为不等式 ()2fx的解集 . ()求 M;()证明:当 a,b 时, 1ab+.2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案第卷一
9、. 选择题(1) 【答案】D (2) 【答案】C (3) 【答案】A (4) 【答案】A(5)【答案】D (6) 【答案】A (7) 【答案】C (8) 【答案】B(9)【答案】C (10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B二填空题(13)【答案】 (14)【答案】 (15) 【答案】 (16) 【答案】1 和 365213三、解答题(17)(本小题满分 12 分)【答案】 () ;()24.235na【解析】试题分析:() 根据等差数列的性质求 , ,从而求得 ;()根据已知条件求 ,再求数列1adnanb的前 10 项和.nb试题解析:()设数列 的公差为 d,由题意有
10、 ,解得 ,na11254,3d12,5ad所以 的通项公式为 .na235()由()知 ,nb当 n=1,2,3 时, ;231,15nb当 n=4,5 时, ;2当 n=6,7,8 时, ;34,3n当 n=9,10 时, ,2345,4nb所以数列 的前 10 项和为 .nb12342考点:等茶数列的性质,数列的求和.【结束】(18)(本小题满分 12 分)【答案】 ()由 求 P(A)的估计值;()由 求 P(B)的估计值;(III)根据平均值得计6052302算公式求解.【解析】试题分析:试题解析:()事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内险次数小于 2
11、的频率为,605.2故 P(A)的估计值为 0.55.()事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由是给数据知,一年内出险次数大于 1 且小于4 的频率为 ,30.2故 P(B)的估计值为 0.3.()由题所求分布列为:保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05调查 200 名续保人的平均保费为,0.85.30.2510.51.750.32.10925aaaa因此,续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a.考点:样本的频率、平均值的计算.【结束】(19) (本小题满分 12 分)【答案】 (
12、)详见解析;() .694【解析】试题分析:()证 再证 ()证明 再证 平面 最后呢五/.ACEF/.HD.OHD.ABC棱锥 ABCEFD体积.试题解析:(I)由已知得, ,.ABDC又由 得 ,故/EF由此得 ,所以 .,EFHH(II)由 得/AC1.4OD由 得5,6B24.BAO所以 13.H于是 故222()19, OH.D由(I)知 ,又 ,ACD,B所以 平面 于是,BH.AO又由 ,所以, 平面D.ABC又由 得EFACDO9.2五边形 的面积B196683.24S所以五棱锥 EF体积 .V考点:空间中的线面关系判断,几何体的体积.【结束】(20) (本小题满分 12 分)
13、【答案】 () ;() .20.xy,2【解析】试题分析:()先求定义域,再求 , , ,由直线方程得点斜式可求曲线 在()fx1f()f ()yfx处的切线方程为 ()构造新函数 ,对实数 分类讨论,用(1,)f20.xy(1)lnaxgxa导数法求解.试题解析:(I) 的定义域为 .当 时,()f(,)4a, 曲线 在 处的1()1ln4(1),(ln3fxxfx()2,(1)0.ff()yfx1,()f切线方程为 20.y(II)当 时, 等价于(,)x()fx()l0.1ax令 ,则1lnag,221()() ,()0()xxx g(i)当 , 时, ,故 在 上单a,2110ax()
14、0,()gx(1,)x调递增,因此 ;()0gx(ii)当 时,令 得2,21 2(1),1()1xaxa由 和 得 ,故当 时, , 在 单调递减,因此 .222,x()0g()x2(1,)()0gx综上, 的取值范围是 ,.考点:导数的几何意义,函数的单调性.【结束】(21) (本小题满分 12 分)【答案】 () ;() .14932,【解析】试题分析:()先求直线 的方程,再求点 的纵坐标,最后求 的面积;()设AMAMN, ,将直线 的方程与椭圆方程组成方程组,消去 ,用 表示 ,从而表示 ,同理1,Mxy yk1x|A用 表示 ,再由 求 .k|AN2Nk试题解析:()设 ,则由题
15、意知 .1(,)xy10y由已知及椭圆的对称性知,直线 的倾斜角为 ,AM4又 ,因此直线 的方程为 .(2,0)A2yx将 代入 得 ,2xy2143xy270y解得 或 ,所以 .01因此 的面积 .AMN21479AMNS(2)将直线 的方程 代入 得()0ykx213xy.22(34)161kx由 得 ,故 .12k21(34)kx 221|34kAMkx由题设,直线 的方程为 ,故同理可得 .AN()yk2|N由 得 ,即 .2|M22343324680k设 ,则 是 的零点, ,32()468fttk()ft22()13(1)0fttt所以 在 单调递增,又 ,0,)15,6f因此
16、 在 有唯一的零点,且零点 在 内,所以 .()ftk(32)2k考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.【结束】请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲【答案】 ()详见解析;() .12【解析】试题分析:()证 再证 四点共圆;( )证明 四边,DGFCB,GF,RtBCGtF形 的面积 是 面积 的 2 倍.BCFSGS试题解析:(I)因为 ,所以E,D则有 ,DFEGGDFECBB所以 由此可得,由此 所以 四点共圆.018,C,F(II)由 四点共圆, 知 ,连结 ,,B
17、GFCBGB由 为 斜边 的中点,知 ,故RtD,RtCtFG因此四边形 的面积 是 面积 的 2 倍,即SGBS12.2GCBS考点:三角形相似、全等,四点共圆【结束】(23) (本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程【答案】 () ;() .21cos0153【解析】试题分析:(I)利用 , 可得 C 的极坐标方程;(II)先将直线 的参数方程化为22xycosl普通方程,再利用弦长公式可得 的斜率l试题解析:(I)由 可得 的极坐标方程cos,in21cos0.(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线 的极坐标方程为l()R由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得,AB12, C21cos0.