1、1产SK=+1a=S=+aK产产产aS=0,K1K62017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国 2 卷)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. （）31iA B C D212i2i2i2.设集合 ， 若 ，则 （）,440xm1AA B C D1,3, ,31,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B3 盏 C5
2、 盏 D9 盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A B C D90642365.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（）xy30xyzxyA B C D159196.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还
3、是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （）1aSA2 B3 C4 D59.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所:21xyab0b24xy截得的弦长为 2，则 的离心率为（）A2 B C D32310.已知直三棱柱 中， ， ， ，则1A02A1C异面直线 与 所成角的余弦值为（）1C2A B C D3215105311.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（）x21()xfxae()fxA. B. C. D.113 3e12.已知 是边长为 2
4、的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是（）ABC ()PABCA. B. C. D.2431二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二0.2 0等品件数，则 D14.函数 （ ）的最大值是23sincos4fxx0,215.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 nanS3a41S1nkS16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 若 为 的中FC:28yxCFyF点，则 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721
5、 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（ 12 分） 的内角 的对边分别为 ,已知 ABC,abc2sin()8sinBAC(1)求 (2)若 , 面积为 2,求cos6ac.18.（ 12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：产0.20.320.4.4.1402产产/kg305405056057025O 0.810.460.680.24产产/kg405056057035产O3（1 ） 设两种养殖方法的
6、箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg”,估计 A 的概率；（2 ） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3 ） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）P（ ）2 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82822()(nadbcK19.（12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PD 的中点.o1,90,2ABCDB
7、AC（1 ）证明：直线 平面 PAB/E（2 ）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角 为，求二面角 M-AB-D 的余弦值o45 EAB DPCM420.（ 12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P21xy满足 .2NP(1) 求点 P 的轨迹方程；(2) 设点 Q 在直线 x=-3 上，且 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.1OPQ21.（ 12 分）已知函数 且 .2()ln,fxax()0f（1 ）求 a；（2 ）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .()f 0220(
8、)efx（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为1Ccos4（1 ） M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标1C|6OM2方程；（2 ）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值(2,)32CAB23.选修 4-5：不等式选讲（ 10 分）已知 ，证明：30,2ab（1 ） ；5()4（2 ） 52017 年普通高等学校招生
9、全国统一考试理科数学()试题答案一、选择题1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B二、填空题13. 1.96 14. 1 15. 16. 62n1三、解答题17.解：（1）由题设及 ，故2sin8iABC得sin4-co（ 1）上式两边平方，整理得 27s-3B+15=0解得 cosB=c（ 舍 去 ） ，（2）由 ，故158sin7得 4asin217ABCScc又 2ABCSac， 则由余弦定理及 得622bosa(1c)75364B（ +c）所以 b=218.解：（1 ）记 B 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于 ”， 表示事件 “
10、新养殖法的箱产量不低于 ” 50kgC50kg由题意知 PACPB旧养殖法的箱产量低于 的频率为50kg0.4.3.24.1.25=0.6（ ）故 的估计值为 0.62PB6新养殖法的箱产量不低于 的频率为50kg.68.4.1.085=.6（ ）故 的估计值为 0.66PC因此，事件 A 的概率估计值为 .62.492（2 ）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法 62 38新养殖法 34 66220634815.7019K由于 5.7.故有 的把握认为箱产量与养殖方法有关9%（3 ）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 的直方图面积为50kg
11、，0.4.20.45.30.箱产量低于 的直方图面积为kg0.4.20.4+.6850.故新养殖法箱产量的中位数的估计值为.5-3.kg（ ）19.解：（1 ）取 中点 ，连结 ， PAFEBF因为 为 的中点，所以 , ,由 得 ，又EDAD12E=90BADCBAD2BC所以 四边形 为平行四边形， FBC FCF又 ， ，故PA平 面 EPAB平 面 EPAB 平 面（2 ）7由已知得 ,以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间BDABAB直角坐标系 A-xyz,则则 ， ， ， ，(0)， ， (10)， ， (10)C， ， (13)P， ，, 则
12、13PC， ， AB， ，(x),(x13)BMyzPyz， ， ， ，因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 是底面 ABCD 的法向量，所以(0)n， ， 1，0cos,sin4522z(x1)y即（x-1）+y-z=0又 M 在棱 PC 上，设 ,PC则x,13yz由，得xxyy22=+=1-1(舍 去 )，66zz22所以 M ，从而261-,， 61-,，AM设 是平面 ABM 的法向量，则0,xyzm=0002-26即 xyzAB8所以可取 m=（0，- ，2） .于是6cos105Amn,因此二面角 M-AB-D 的余弦值为 10520.解（1 ）设 P（x,y）,M
13、（x 0,y0）,设 N（x 0,0）, 00,PxyNMy由 得2NM02=,y因为 M（x 0,y0）在 C 上，所以 1xy因此点 P 的轨迹方程为 2（2 ）由题意知 F（-1,0 ）.设 Q（-3 ，t）,P(m,n),则，3,1,3tOQmnOPFmtnA,3,Pmn,t由 得 ，又由（1）知 ，故1A22-tn2+=n3+3m-tn=0所以 ，即 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过0OQPFAFC 的左焦点 F.21.解：（1 ） 的定义域为fx0， +设 ，则 等价于g=a-lnxf=xg,f00gx因为 110， ,故 ,而 1
14、,得aax若 a=1，则 .当 0x 1 时， 单调递减；当 x1 时， 0， 单调gx 0,g gxgx递增. 所以 x=1 是 的极小值点，故1=x综上，a=1（2 ）由（1 ）知 2ln,()2lnfxxfx设 1ln,则 ()hxh9当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在10,2x 0hx1,+2 0hxhx10,2单调递增,+又 ，所以 在 有唯一零点 x0，在 有唯一零点 1，且当21 0, ,0hehhx10,21,+2时， ；当 时， ，当 时， .,xx, , 0hx因为 ，所以 x=x0 是 f(x)的唯一极大值点fh由 0000得 ln2(1),故 =()fxxf
15、x由 得,1 4f因为 x=x0 是 f(x)在（0,1）的最大值点，由 得11,efe12fxfe所以 2-0 f22.解：（1 ）设 P 的极坐标为 ，M 的极坐标为 ，由题设知， 011， 0cos14=，OM由 得 的极坐标方程6PA2Ccos=4 0因此 的直角坐标方程为2C2xyx（2 ）设点 B 的极坐标为 ,由题设知， 0BB,于是OAB 面积cos=， 4OA1in24cosi32in23BSAO当 时，S 取得最大值=-12+310所以OAB 面积的最大值为 2+323.解：（1 ）5656233424ababababab（2 ）因为32232 3+3+244ababababab所以 ，因此 a+b2.3+8ab
