1、圆与直线知识点圆的方程：（1）标准方程：22()()xaybr（圆心为 A(a,b),半径为 r）（2）圆的一般方程： 0FEyDx（ 042FED）圆心（- 2D，-E）半径4212点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离 d与 r在大小关系判断直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，dr 为相交，d0 为相交，0 为相交，0 为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系选择题1圆 的切线方程中有一个是 （ ）1)3()(22yxAxy0
2、Bxy 0 Cx0 Dy02若直线 与直线 互相垂直，那么 的值等于 （ ）a2aA1 B C D13323 设 直 线 过 点 其 斜 率 为 1， 且 与 圆 相 切 ， 则 的 值 为 （ ）(0,)2xy 42224平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与 垂直，且交 于点 ，则动点 的轨迹ABAlBC是 （ ）A一条直线 B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支5参数方程 （ 为参数）所表示的曲线是 （ ）2tancotxyA圆 B直线 C两条射线 D线段6如果直线 的斜率分别为二次方程 的两个根，那么 与 的夹角为（ ）12,l 2410x1l2A B C D34687已知 ，
3、，若 ，则2(,)|9,0Mxyxy(,)|NxybMNb（ ）A B 32,(32,)C D( 8一束光线从点 出发，经 x 轴反射到圆 上的最短路径是(1,) 22:()(3)1Cxy（ ）A4 B 5 C D3169若直线 始终平分圆 的周长，则 20(,)axbya2480xy12ab的最小值为 （ ）A1 B 5 C D 3210已知平面区域 由以 、 、 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无D3,1A2,1,3 D穷多个点 可使目标函数 取得最小值，则 （ ）yx, myxzA B C D4211、设 ， ，则 M 与 N、 与 的大小020121,MN20201199,
4、PQPQ关系为 ( )A. B.,PQ,MNC. D.12、已知两圆相交于点 ，两圆圆心都在直线 上，则 的值等于 (1,3)(,1)ABm和 点 :0lxyccmA-1 B2 C3 D013、三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为 ( )A.15 B.30 C.36 D.以上都不对14、设 ，则直线 与圆 的位置关系为 （ ）0m2()10xym2xymA.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切15、已知向量 若 与 的夹角为 ，则直线cos,in,(3cos,in),60与圆 的位置关系是（ ） A相1:cosin02lxy221:)(Cxy交但不过圆心 B相交过圆心
5、C相切 D相离16、已知圆 和点 ,若点 在圆上且 的面积为 ,则22:(3)(5)36O(,)ABCB25满足条件的点 的个数是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.417、若圆 始终平分圆 的周长,则实数 应满221:()()1Cxayb222:(1)()4xyba,足的关系是 ( )A B 03205baC Db3218、在平面内,与点 距离为 1, 与点 距离为 2 的直线共有 ( )2,(),(A.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条填空题1、直线 2xy4=0 上有一点 P，它与两定点 A(4，1)，B(3，4) 的距离之差最大，则 P 点坐标是_ 2、设不等式 对一切满
6、足 的值均成立，则 的范围为 。21()mx2mx3、已知直线 与圆 ，则 上各点到 的距离的最大值与最小值:40ly:1CxyCl之差为 。4、直线 被圆 截得的弦长为_。12()xty为 参 数 24xy5、已知圆 ，直线 ，以下命题成立的有_。22:(cos)(sin)1Mxy:lkx对任意实数 与 ，直线 和圆 相切；klM对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点；对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切kl对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切6、点 A(3， 3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射，反射光线与圆 相切，2:470Cxy则光线 l 所在直线方
7、程为_ _。7、直线 与圆 交于 、 两点，且 、 关于直线 对xmy2042nyMNyx称，则弦 的长为 。MN8、过圆 内一点 作一弦交圆于 两点,过点 分别作圆的切线 ，两4)1,(ACB、 B、 PCB、切线交于点 ，则点 的轨迹方程为 。P解答题1、设数列 的前 项和 ， ，a、b 是常数且 。na(1)nSab(,2)n 0b（1）证明： 是等差数列；（ 2） 证 明 ： 以 为 坐 标 的 点 ， 落 在 同 一 直 线 上 ， 并 求 直 线 方 程。,1nnP(,)（3）设 ， 是以 为圆心， 为半径的圆 ，求使得点 P1、P 2、P 3 都落在圆,2abC(,)rr(0)r
8、C 外时，r 的取值范围。2、求与圆 外切于点 ，且半径为 的圆的方程52yx)2,1(P523、如图，已知圆心坐标为 的圆 与 轴及直线)1,3(Mx均相切，切点分别为 、 ，另一圆 与圆 、xyABNM轴及直线 均相切，切点分别为 、 。CD（1）求圆 和圆 的方程；N（2）过 点作 的平行线 ，求直线 被圆Bll截得的弦的长度；4、如果实数 、 满足 ，求 的最大值、 的最小值。xy2()3xyx2yx5、已知圆 ，直线 ， 。22:(1)()5Cxy:(21)()740lmxym()R（1）证明：不论 取什么实数，直线 与圆恒交于两点；mO A CBDNxyM（2）求直线被圆 截得的弦
9、长最小时 的方程.Cl6、已知 为原点，定点 ，点 是圆 上一动点。O(4,0)QP24xy（1）求线段 中点的轨迹方程；P（2）设 的平分线交 于 ，求 点的轨迹方程。R7、如图所示，过圆 与 轴正半轴的交点 A 作圆的切线 ， M 为 上任意一点，再过 M 作2:4Oxyll圆的另一切线，切点为 Q，当点 M 在直线 上移动时，求三角形 MAQ 的垂心的轨迹方程。l8、已知圆 ， 是 轴上的动点，QA ，QB 分22:()1MxyQx别切圆 M 于 A，B 两点，求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程。1C圆心为（1， ） ，半径为 1，故此圆必与 y 轴（x=0）相切，选 C.32D由 可
10、解得120AB3C直线和圆相切的条件应用， ,选 C;2,2,0aayx4A过点 A 且垂直于直线 AB 的平面与平面 的交线就是点 C 的轨迹，故是一条直线.QPROMyxQOABP5C原方程 2|xy6A由夹角公式和韦达定理求得7C数形结合法，注意 等价于 29,0xy29(0)xy8A先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 ，问题转化为求点 A 到圆 上的点的最短路径，即CC|149D已知直线过已知圆的圆心（ 2，1） ，即 1ab所以 2()32abab10C由 、 、 的坐标位置知， 所在的区域在第一象限，故 .由3,1A,5B,CABC0,xy得 ，它表示斜率为 .myxzzxm（
11、1）若 ，则要使 取得最小值，必须使 最小，此时需 ，即0yz13ACkm1；（2）若 ，则要使 取得最小值，必须使 最小，此时需 ，即xz 25B2，与 矛盾.综上可知， 1.m011 解：设点 、点 、点 ，则 M、 N 分别表示直线 AB、 AC(1,)A201(,)B201(,)C的斜率，BC 的方程为 ，点 A 在直线的下方， ，即 MN；yxABCK同理，得 。 答案选 B。 仔细体会题中 4个代数式的特点和“数形结合”的好处PQ12 解：由题设得：点 关于直线 对称, ；, 0cy15ABlkmmk线段 的中点 在直线 上， ，答案选 C。AB(31)x23c13 解：设三角形的
12、另外两边长为 x,y,则；注意“=”号，等于 11的边可以多于一条。01xy点 应在如右图所示区域内：(,)x当 x=1 时，y=11；当 x=2 时，y=10,11；当 x=3 时，y=9,10,11；当x=4 时，y=8,9,10,11；当 x=5 时，y=7,8,9,10,11。以上共有 15 个，x,y 对调又有 15 个。再加(6，6） ，(7，7） ，(8 ，8） ，(9 ，9） ，(10，10） 、(11， 11） ，共 36 个，答案选 C。14 解：圆心 到直线的距离为 ，圆半径 。(0,)12mdr ，1()02mdr直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选 C。 15 解：
13、 ，06(cossin)1cos()cs6232|n圆心 到直线 的距离 ，(cos,in)Cl rd21|)cos(|直线与圆相离，答案选 D。 复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式16 解:由题设得： ， ， 点 到直线 的距离 , 5AB52ABCSABd直线 的方程为 ,与直线 平行且距离为 1 的直线为034yx 12:4307lxy得：圆心 到直线 的的距离 ,到直线 的距离为 ,(,)O1l16dr2lr圆 与直线 相切；与直线 相交, 满足条件的点 的个数是 3，答案选 C1l2C17 解：公共弦所在的直线 方程为： ，l222()()-4()()-1=0xyxayb即
14、： ，0)()(2aybxa圆 始终平分圆 的周长， 圆 的圆心 在直线 上,1C22C1,l，即 ，答案选 B。105ba18 解：直线 与点 距离为 1，所以直线 是以 A 为圆心 1 为半径的圆的切线，l),(Al同理直线 也是以 B 为圆心 2 为半径的圆的切线，即两圆的公切线， 两圆相交，公切线有 2 条，答案选 B。53想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？填空题 1 解：A 关于 l 的对称点 A，AB 与直线 l 的交点即为所求的 P 点。得 P(5，6） 。想一想，为什么， A B与直线 l的交点即为所求的 P点？如果 A、 B两点在直线的同一边，情况又如何？2 解：原
15、不等式变换为 ，2(1)()0xmx设： ， ，按题意得： 。()f2)(2)0,()ff即： 。2307313 解： 圆心 到直线的距离= ， 直线与圆相离，1,C42r上各点到 的距离的最大值与最小值之差= = 。l4 解：直线方程消去参数 得： ，圆心到直线的距离 ，弦长的一半为t10xy12d，得弦长为 。2214()45 解：圆心坐标为 cos,inM，所以命题成立。22isisin()111kkd r （ ） 仔细体会命题的区别。6 解：光线 l 所在的直线与圆 关于 x 轴对称的圆 相切。圆心 坐标为 ，半径 ，CC2,1r直线过点 A(3，3) ，设 的方程为： ，即：l3()
16、ykx30kxy圆心 到直线 的距离 ，Cl21kd251KBA BP APC解得： 或 ，得直线 的方程： 或 。43kl430xy430xy7 解：由直线 与直线 垂直 ，由圆心在直线 上 ，2myx0y2m2n圆方程为 ，圆心为 ，圆心到直线的距离 ，2(1)()61,1d弦 的长=MN4rd8 解：设 ,根据题设条件，线段 为点 对应圆上的切点弦，0()PxyBCP直线 的方程为 , 点在 上， ,BC0yxA40yx即 的轨迹方程为： 。 注意掌握切点弦的证明方法。1、设数列 的前 项和 ， ，a、b 是常数且 。na(1)nSab(,2)n 0b（1）证明： 是等差数列；（ 2）
17、证 明 ： 以 为 坐 标 的 点 ， 落 在 同 一 直 线 上 ， 并 求 直 线 方 程。,1nnP(,)（3）设 ， 是以 为圆心， 为半径的圆 ，求使得点 P1、P 2、P 3 都落在圆,2abC(,)rr(0)rC 外时，r 的取值范围。1 解：（1）证明：由题设得 ；当 n2 时，1aS，1()(1)()2()nnSbabanb。2a所以 是以 为首项， 为公差的等差数列。证毕；n（2）证明： ，对于 n2，0b11(1)(1)2nPnSabanbka以 为 坐 标 的 点 ， 落 在 过 点 ， 斜率为 的同 一 直 线 上 ，,nP(,) 1,Pa21此直线方程为： ，即 。
18、1()2yxa0y（3）解：当 时，得 ，都落在圆 C 外的条件是,ab123,0,、 、2222(1)()(3)rr2()754810r由不等式，得 r1由不等式，得 r 或 r +5由不等式，得 r4 或 r4+6再注意到 r0， 1 4 = + 4+626使 P1、P 2、P 3 都落在圆 C 外时，r 的取值范围是(0 ，1)(1, )(4+ ,+)。2562、求与圆 外切于点 ，且半径为 的圆的方程5yx),1(2 解一：设所求圆的圆心为 ，则 ，),(baC222(1)()(5)b （ ） 63ba所求圆的方程为 。 注：因为两圆心及切点共线得（1）式06322yx解二：设所求圆的
19、圆心为 ，由条件知),( 1(,2)(,)33OPCa，所求圆的方程为 。63ba )(22yx仔细体会解法 2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。3、如图，已知圆心坐标为 的圆 与 轴及直线)1,3(M均相切，切点分别为 、 ，另一圆 与圆 、xyABNM轴及直线 均相切，切点分别为 、 。CD（1）求圆 和圆 的方程；N（2）过 点作 的平行线 ，求直线 被圆Bll截得的弦的长度；3 解：（1）由于圆 与 的两边相切，故 到 及 的距离均为圆 的半径，则 在OAOABM的角平分线上，同理， 也在 的角平分线上，即 三点共线，且 为 的角
20、平分线，M、 N的坐标为 ， 到 轴的距离为 1，即：圆 的半径为 1，)1,3(xM圆 的方程为 ；)(22yx设圆 的半径为 ，由 ，得： ,NrCRtAMtNCA:即 ， ， 圆 的方程为： ；32O9)3()(22yx（2）由对称性可知，所求弦长等于过 点的 的平行线被圆 截得的弦长，N此弦所在直线方程为 ，即 ，)3(xy 03yx圆心 到该直线的距离 ，则弦长=N21d 32dr注：也可求得 点坐标 ，得过 点 的平行线 的方程 ，再根据圆心B23,BMNl 03yx到直线 的距离等于 ，求得答案 ；还可以直接求 点或 点到直线的距离，进而求得弦长l AB4、如果实数 、 满足 ，
21、求 的最大值、 的最小值。xy2()3xyx2yx4 解：（1）问题可转化为求圆 上点到原点的连线的斜率 的最大值。2 yk设过原点的直线方程为 ，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。k得： ， ，2031k3max3y（2） 满足 ，,xy2()y2cosinO A CBDNxyM2423cosin415sin()xy。 min15注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于 x,y的二元函数转化为关于角 的一元函数，从而方便求解的技巧。5、已知圆 ，直线 ， 。22:()()Cxy:(21)()740lmxym()R（1）证明：不论 取什么实数，直线 与圆恒交于两点；（2）求直线
22、被圆 截得的弦长最小时 的方程.5 解：（1）解法 1： 的方程 ，l(4)(7)0xy()R即 恒过定点270,3,1yl3,1A圆心坐标为 ，半径 ， ，(,)C5rCr点 在圆 内，从而直线 恒与圆 相交于两点。Al解法 2：圆心到直线 的距离 ，l2|3|6md 0265)34(22md，所以直线 恒与圆 相交于两点。rd5l（2）弦长最小时， ， ， ，lC13Aklk14代入 ，得 的方程为 。(1)()740mxyl250xy注意掌握以下几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（2）直线与圆恒有公共点 直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线；（3）过圆内一点，最长的弦为
23、直径，最短的弦为垂直于直径的弦。6、已知 为原点，定点 ，点 是圆 上一动点。O(4,0)QP2xy（1）求线段 中点的轨迹方程；P（2）设 的平分线交 于 ，求 点的轨迹方程。R6 解：（1）设 中点 ，则 ，代入圆的方程得 。(,)Mxy(4,)2()1xy（2）设 ，其中 ， ，由 ，(,)Rxy0,Pmn14OPQ，代入圆方程 并化简得：342myn24xy。当 y=0 时，即 在 轴上时，241639x(0)Px的平分线无意义。POQ（1）本题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系；（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质，转化为比例关系利用夹角相等。7、如图所示，过圆 与 轴正半轴的交点 A 作圆的切线 ， M 为 上任意一点，再过 M 作2:4xyll圆的另一切线，切点为 Q，当点 M 在直线 上移动时，求三角形 MAQ 的垂心的轨迹方程。l7 解：设 边上的高为 边上的高为 ，连接1(,)yA， B， COQ， ， QP RO
