1、1等差数列一等差数列知识点：知识点 1、等差数列的定义: 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识点 2、等差数列的判定方法:定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nadan1 na等差中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j22n知识点 3、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j等差数列的通项公式:如果等差
2、数列 的首项是 ，公差是 ，则等差数列的通项为n1该公式整理后是关于 n 的一次函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jdan)(1知识点 4、等差数列的前 n 项和: 2)(nS dnaS2)1(1对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识点 5、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j等差中项 :如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j即： 或aAbAabbaAb2在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前
3、一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识点 6、等差数列的性质:等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第 项， 是等差数列的第 项，nanma且 ，公差为 ，则有nmddman)( 对于等差数列 ，若 ，则 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jqpqmn也就是： 23121nnna若数列 是等差数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ，S*NkkSk2成等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j如下图所示：kS23 k kkS SkSk aaaa3 232k 3121
4、S31 10、等差数列的前 项和的性质： 若项数为 ，则 ，且n*n21nna， 若项数为 ，则 ，且 ，Sd偶 奇 1naS奇偶 *2121nnS nSa奇 偶（其中 ， ） 1n奇偶 奇 nSa偶二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）21、.等差数列 an的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ )A . -1 B . 1 C .-2 D. 22在数列a n中，a 1=2，2a n+1=2an+1，则 a101 的值为 （ ）A49 B50 C51 D523等差数列 1，1，3，89 的项数是（ ）A92 B47 C46 D454、已知等差数列
5、中， 的值是( )na12497,16aa则( )A 15 B 30 C 31 D 645. 首项为 24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是 （ ）A.d B.d3 C. d3 D. d388386、.在数列 中， ，且对任意大于 1 的正整数 ，点 在直 na1n),(1na03yx上，则 =_.7、在等差数列 an中，a 53，a 62，则 a4a 5a 10 8、等差数列 的前 项和为 ，若 （ ）nS则3,1S（A）12 （B）10 （C）8 （D）69、设数列 的首项 ，则 _. n )Nn( ,71 且 满 足 1721a10、已知a n为等差数列， a3
6、 + a8 = 22，a 6 = 7，则 a5 = _11、已知数列的通项 an= -5n+2,则其前 n 项和为 Sn= . 12、设 为等差数列 的前 n 项和， 14， ，则 .S4307109S题型二、等差数列性质1、已知a n为等差数列，a 2+a8=12,则 a5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）Sn73S4aA B C D873、 若等差数列 中， 则na3710148,a7_.4、记等差数列 的前 n项和为 ，若 ， ，则该数列的公差 d=（ ）n20A7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列 中，已知 ， ，
7、，则 n 为（ ）na1a53n（A）48 （B）49 （C）50 （D）516.、等差数列a n中，a 1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设 Sn是等差数列 的前 n 项和，若 （ ）5935,则A1 B1 C 2 D 18、已知等差数列a n满足 1 2 3 1010 则有( )A 1 1010 B 2 1000 C 3 990 D 5151 9、如果 ， ， 为各项都大于零的等差数列，公差 ，则( )a28ad（A） （B） （C） + + （D ） =8451451a8451a845310、若一个等差数
8、列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）（A）13 项 （B）12 项 （C）11 项 （D）10 项题型三、等差数列前 n 项和1、等差数列 中，已知 ， ，则其前 项和na12310aap 98nnaq nnS2、等差数列 的前 n 项和为 （ ）,42A. B. C. D. 373432n7321n3、已知等差数列 满足 ，则 （ ）na09321aaA. B. C. D. 来源: 学科网 ZXXK091a091 50a4、在等差数列 中， ， ，n 78,52321 nn 1nS则 。5、等差数列 的前 n 项和为 ，若 （ ）n
9、nS246,0,S则 等 于A12 B18 C24 D426、若等差数列共有 项 ，且奇数项的和为 44，偶数项的和为 33，12*N则项数为 （ ）A. 5 B. 7 C. 9 D. 117、 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 nanS396S789a8、 若两个等差数列 和 的前 项和分别是 ，已知 ，则 等于（ nbnT，3nS5ab） 723278214题型四、等差数列综合题精选1、等差数列 的前 n 项和记为 Sn.已知a .50,3210a（）求通项 ； （）若 Sn=242，求 n.2、已知数列 是一个等差数列，且 ， 。na21a5（1）求 的通项 ；（2）求 前 n
10、项和 的最大值。nnS3、设 为等差数列， 为数列 的前 项和，已知 ，nanSna7， 为数列 的前 项和，求 。751STnT44、已知 是等差数列， ， ； 也是等差数列， ，na21a83nb4a2b。4321bb（1）求数列 的通项公式及前 项和 的公式；nS（2）数列 与 是否有相同的项？ 若有，在 100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。n5、设等差数列a n的首项 a1及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.()若 a11=0,S14=98,求数列a n的通项公式；()若 a16，a 110，S 1477，求所有可能的数列a n的通项公式 .6、已知二次函数 的图像经过
11、坐标原点，其导函数为 ，数列 的前 n 项和为()yfx()62fxa，点 均在函数 的图像上。 () 求数列 的通项公式；nS(,)nN()yfxna()设 , 是数列 的前 n 项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数 m；1a3bnTb20nmTN五、等差数列习题精选1、等差数列 的前三项依次为 ， ， ，则它的第 5 项为（ ）nax1224xA、 B、 C、5 D、4 5x2、设等差数列 中， ,则 的值等于（ ）n7,594a14A、11 B、22 C、29 D、123、设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，na1235a12380a则 ( )1213A B C D00590754
12、、若等差数列 的公差 ，则 （ ）nad（A） （B） 5362 5362a（C） （D） 与 的大小不确定5、 已知 满足，对一切自然数 均有 ，且 恒成立，则实数 的取值nan1na2n范围是（ ） 00036、等差数列 为 （ ）dadan 成 等 比 数 列 ， 则若公 差中 ， 5211 ,5(A) 3 (B) 2 (C) (D) 2 或27、在等差数列 中， ，则na)(,qpaqpqpaA、 B、 C、0 D、qp)( pq8、设数列 是单调递增的等差数列，前三项和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是nA、1 B、2 C、4 D、89、已知 为等差数列， 135246,9a
13、a，则 20a等于（ ）A. -1 B. 1 C. 3 D.710、已知 na为等差数列，且 72 41, 30,则公差 dA. 2 B. C. D.211、在等差数列 n中， 28a,则 其前 9 项的和 S9 等于 （ ） A18 B 27 C 36 D 912、设等差数列 n的前 项和为 nS，若 3， 6，则 78a（ ）A63 B45 C36 D2713、在等差数列 中， ， ，na,1521321 nnaa 15nS则 。14、数列 是等差数列，它的前 项和可以表示为 （ ）nA. B. CBASn2 BASn2C. D. 0a0a小结1、等差中项：若 成等差数列，则 A 叫做 与
14、 的等差中项，且,aAbab2abA2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为 ） ；偶数个数成等差，可设为，,2addd,（公差为 2 ）33a3、当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，011()nadnan且斜率为公差 ；若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若d06公差 ，则为常数列。0d4、当 时,则有 ，特别地，当 时，则有mnpqqpnmaa2mnp.2na5、若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、nbnknbk、 ，也成等差数列，而 成等比数列；*(,)pnqN232,nSSna等差数列参考答案题型一：计算求
15、值题号 1 2 3 4 5 6 7答案 B D C A D 3n2 -49题号 8 9 10 11 12 13 14答案 C 153 15 -(5n2+n)/2 54题型二、等差数列的性质1、C 2、D 3、12（a 3+a7-a10+a11-a4=8+4=a7=12）4、C 5、C 6、B 7、A 8、C 9、B10、A题型三、等差数列前 n 项和1、5n(p+q) 2、B 3、C 4、n=10 5、24 76、S 奇 /S 偶 =n/n-1=4/3, n=47、45 8、D （a 5/b5=S9/T9）题型四：等差数列综合题精选1、解：（）由 得方程组,0,3,)1(20adnn4 分 解
16、得 所以 .5019,3da .1d.102na（）由 得方程,2)(nnSS10 分 解得 .42 ).(21舍 去或 n2、解：（）设 的公差为 ，由已知条件，得 ，nad145ad解出 ， 所以 132()n（） ()4nS2所以 时， 取到最大值 nS3、解：设等差数列 的公差为 ，则 addnaSn121 ， ，751 即 ,0512d, 5731d解得 ， 。 ，1a 12121ndnaSn ， 数列 是等差数列，其首项为 ，公差为 ，2nSn 。 Tn4924、解：（1）设a n的公差为 d1，b n的公差为 d2 由 a3=a1+2d1得 82ad131所以 ，所以 a2=10
17、, a1+a2+a3=3068)(a依题意，得 解得 ，所以 bn=3+3(n-1)=3n30d24b1db2.)(nnS（2）设 an=bm,则 8n-6=3m, 既 ，要是式对非零自然数 m、n 成立，只需8)m(m+2=8k, ,所以 m=8k-2 ， NkNk代入得，n=3k, ,所以 a3k=b8k-2=24k-6,对一切 都成立。k所以，数列 与 有无数个相同的项。nab令 24k-6100,得 又 ，所以 k=1,2,3,4.即 100 以内有 4 个相同项。,125385、解：（）由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0，故解得 d=2,a 1
18、=20.因此，a n的通项公式是 an=222n,n=1,2,3（）由 得 即6,07146,03112,03a由+得7d11。即 d 。由+得 13d1 即 d73于是 d ，又 dZ, 故 d=1，将代入得 10a 112.3又 a1Z,故 a1=11 或 a1=12.所以，所有可能的数列a n的通项公式是 an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,6、解：（）设这二次函数 f(x) ax2+bx (a 0) ,则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x 2,得a=3 , b= 2, 所以 f(x) 3x2 2x.又因为点 均在函数 的图像上，所以 3n 2 2n.(,)nSN()yfxnS当 n 2 时 ， an Sn Sn 1（ 3n2 2n） 6n 5.)1(32n（当 n 1 时，a 1 S1 312 2 61 5， 所以，a n 6n 5 （ ）N（）由（）得知 ，1nb)(6()16n故 Tn （1 ）.i12 51.)37)( n2因此，要使 （ 1 ） （ ）成立的 m,必须且仅须满足 ，即 m 10，6n20mN0所以满足要求的最小正整数 m 为 10题型五、精选练习题号 1 2 3 4 5 6 7答案 D C B B A B C题号 8 9 10 11 12 13 14答案 B B B A B 10 B
