1、- 1 -最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版 类型 1 )(1nfan解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法) 求解。1f变式 1.1:（2004，全国 I，个理 22本小题满分 14 分）已知数列 ，且 a2k=a2k1 +(1) K, a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,.1an中（I）求 a3, a5；（II）求 an的通项公式 .解： ，kk)(12k321，即kkk312 kkka)1(312， )(3a235)(a kkk)(2将以上 k 个式子相加，得 1)()13()1()(1)( 2212 kkkk将 代入，得 ，a312kka。)()(12
2、k经检验 也适合，1a)(1)2312121为 偶 数为 奇 数nannn类型 2 nnf)(1解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。1fan例 3:已知 ， ，求 。31an21na解： 123)(13)( an 3475618n。变式 2.1:（2004，全国 I,理 15）已知数列 an，满足 a1=1， (n2) ，1321 )(n aa则a n的通项 _n12解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得nn ana31 )(- 2 -当 时， ，即 ，又 ，2nnna1 na)1(12，将以上 n 个式子相乘，得an13421, 2!na)(类型 3 （其中 p，q
3、均为常数， ）。qpnn )01(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为)(1tatnnt等比数列求解。变式 3.1:（2006，重庆,文,14 ）在数列 中，若 ，则该数列的通项 _ na11,23(1)nana321na变式 3.2:（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分）已知数列 满足*11,().nN（I）求数列 的通项公式；（II）若数列 bn滿足 证明：数列n 124(),nbbbbn是等差数列；（）证明： *1231. .2naaN（I）解： 是以 为首项，2 为公比的*12(),naN1(),nnn1a等比数列 头htp:/w.x
4、jkygcom126t:/.j 即 .n *.aN（II）证法一： 1214().nnkkk 12(.)4.nnkk 12(.),nnbb1211.()().n nbbb，得 即11(),n()0,n220n，得 即 20nn21是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j *21(),nbbNnb证法二：同证法一，得 令 得1n,.b设 下面用数学归纳法证明 2(),dR()nd（1）当 时，等式成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （2）假设当 时， 那么,n2k(1),kd()(1).kkbd这就是说，当 时，等式也成立 头htp:/w.xjkygcom
5、126t:/.j 根据（1）和（2），可知 对任何 都成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ()nb*nN是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,nbd- 3 -（III）证明： 121,2,.()kkkan1231.2naa112 .,2,.(2)3.2kkkkka n12 231 11. .)(),3n nna*231.().nnN变式 3.3:递推式： 。解法：只需构造数列 ，消去 带来的差异fpann1 nbf类型 4 （其中 p，q 均为常数， ）。 （或)01)(qp,其中 p，q, r 均为常数） 。1nnaprq解法：一般地，要先在原递
6、推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中1nqqann1 nb），得： 再待定系数法解决。nqabbqpnn11变式 4.1:（2006，全国 I,理 22,本小题满分 12 分）设数列 的前 项的和 ，na14233nnSa,A（）求首项 与通项 ；（）设 ， ，证明：1nnTS,132niT解：（I）当 时， ；32411aS1a当 时， ，即 ，利用2n )32(11 nnnnnna nna241（其中 p，q 均为常数， ）。 （或 ,其中p1 0)(qpnprqp，q, r 均为常数）的方法，解之得： nna24()将 代入得 nna24Sn= (4n2 n) 2n+1 + =
7、 (2n+11)(2 n+12) = (2n+11)(2 n1) 43 13 23 13 23- 4 -Tn= = = ( )2nSn 32 2n(2n+1 1)(2n 1) 32 12n 1 12n+1 1所以, = ) = ( ) 0 ， a na n1 =5 (n2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 a1=3 时，a 3=13，a 15=73 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a1， a3，a 15 不成等比数列a 13;当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a 1=2， a n=5n3 头htp:/w.xjk
8、ygcom126t:/.j 变式: (05,江西,文,已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 SnS n2 =3 求数列,3,),()21S且an的通项公式.解： ， ，两边同乘以 ，可得12nnaS)3()131ann n)(- 7 -令111 )2(3)(3)()1( nnnna nab)(2b 1)(nn 223)(b21)(4)1()2(13 222 nnnnb )3()213nb又 ， ， ，1Sa5312S)(11ab5)(22a。)()4)(3251nbnn.,)21(34,)2()1()( 1为 偶 数为 奇 数nannnn类型 7 bapnn1 )0(、ap解法：这种类型一
9、般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知)()1(1 yxnapynxa递推式比较，解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列。yxyxnp变式:（2006，山东,文,22,本小题满分 14 分）已知数列 中， 在直线 y=x 上，其中 n=1,2,3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j na112na、 点 （ 、 ）()令 是 等 比 数 列 ；求 证 数 列 bb,31()求数列 的 通 项 ；n()设 的前 n 项和,是否存在实数 ，使得数列 为等差数分 别 为 数 列、 nTS、nabnST列？若存在，试求出 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若不存在
10、,则说明理由 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解：（I）由已知得 1,n331, ,442a又 ,nnba21ba11211()2.nnnnn a是以 为首项，以 为公比的等比数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nb34（II）由（I）知， 133(),4nn nb- 8 -131,2nna213,2a3221,a将以上各式相加得：1 1213()(),n n1 1()33()().222nn na.na（III ）解法一：存在 ，使数列 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nST12123()()nnnSa n 1()(1)23
11、2nn223() 3.nn12 131()134().22nnn nnTb 数列 是等差数列的充要条件是 、 是常数nS ,(nSTAB)即 2,nTABn又 133()2nn nS231()2n当且仅当 ，即 时，数列 为等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 102ST解法二：存在 ，使数列 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由（I）、（II）知，n 2nab(1)22nST()nn TST又3n12 131()31342()2nn nnb 当且仅当 时，数列 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 13()2n nST
12、nST类型 8 rnnpa10,(n解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。qpann1变式:（05 江西,理）已知数列 :,且 满 足的 各 项 都 是 正 数na .),4(21,0 Nnann（1）证明 （2）求数列;,1Nan 的通项公式 an.n- 9 -解：用数学归纳法并结合函数 的单调性证明：)4(21)xxf（1）方法一 用数学归纳法证明：1当 n=1 时， ，命,23)4(21,00aa210a题正确.2假设 n=k 时有 则.1ka)4(21)4(2, kkkakn 时1112()kk11().kaa而 .0,0.0 ka又 时命题正确.2)(4
13、2)(21 kkkk an由 1、2知，对一切 nN 时有 1n方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时， ；,23)4(2,100aa210a2假设 n=k 时有 成立， 令 ， 在0，2 上单调递增，k )4(xxf(f所以由假设有： 即),()(1fffk ),24(1)211 kkkk也即当 n=k+1 时 成立，所以对一切2a,1aNn有（2）解法一： 所以 4)2()4(1 nnn a 2)()(nna,n bbbbab 212121 1)(,2 则令又 bn=1，所以 ,)( nnnn即解法二： ,2)(421 na21)(nna由（I）知， ，两边取以 2 为底的对数，0na
14、 )(loglog2na令 ,则 或nb)(log2nb1nna211变式:（06 山东理）已知 a1=2，点( an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1）证明数列lg(1+a n)是等比数列；（2）设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn 及数列a n的通项；（3）记 bn= ，求b n数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n 3解：（）由已知 ， ，两边取21na21()nna1an对数得 ，即 是公比为 2 的等比数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1lg(
15、)lg()nnlg()nlg()n- 10 -（）由（）知 （*）11lg()2lg()naa1122lg3nn 123na=12()nT+023-2n-1+-由（*）式得 13n（） ， ，210nna1(2)nna11()2nnaa，又 ，1nnnnb1()nnb12nSb+12311( )naaa+12()na，又 ， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1213,3n na2nnS23nT3nST类型 9 )()(1nhgafn解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。qpann1例：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。,13an解：取倒数： 是等差数列，11nnnan3)(1n 3)(2a变式:（2006，江西,理,22,本大题满分 14 分）已知数列a n满足：a 1 ，且 an32n13a2nN2 （ ， ） （1）求数列a n的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n，不等式 a1a2an2n！解：（1）将条件变为：1 ，因此1 为一个等比数列，其首项为nan3a（ ） na1 ，公比 ，从而 1 ，据此得 an （n 1）1a3n 3（2）证：据 1得，a 1a2an 为证 a1a2an2n！2n133！（ ） （ ） （ ）
