1、cb aD CA B第一章 勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为 3cm和 4cm的直角ABC，量 AB的长；一个直角边为 5和 12的直角ABC，量 AB的长发现 32+42与 52的关系，5 2+122和 132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c的平方。 （即：a 2+b2c 2）1如图，直角ABC 的主要性质是：C=90， （用几何语言表示）两锐角之间的关系： ；若 D为斜边中点，则斜边中线 ；若B=30，则B 的对边和斜边： ；（给出证明）三边之间的关系： 。知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例 1
2、。已知：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。 求证：a 2b 2=c2。证明：例 2。已知：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。求证：a 2b 2=c2。证明：知识点四：勾股定理简单应用在 RtABC 中，C=90(1)已知：a=6, b=8，求 c(2)已知：b=5，c=13，求 abbbbccccaaaa bbbbaa ccaaAC BDABAB知识点五：勾股定理逆定理如果三角形的三边长为 ，满足 ，那么，这个三角形是直角三角形cba, 22cb利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：先找出最大边（如 c）计算 与 ，并验证是否相等。2c2
3、ab若 = ，则ABC 是直角三角形。若 ，则ABC 不是直角三角形。221.下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt的是（ ）A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为 ,则这个三角形是( )abc2)(2A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形3.已知 ,则由此 为三边的三角形是 三角形.0)1(862zyx zyx,知识点六：勾股数（1）满足 的三个正整数，称为勾股数22cba（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如 3、4、5 是勾股数，6
4、、8、10 也是勾股数（3）常见的勾股数有：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；11、60、61；9、40、411.设 、 、 是直角三角形的三边,则 、 、 不可能的是（ ）.abcabcA.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,151. 若线段 a，b，c 组成 Rt，则它们的比可以是（ ）A.234 B.346 C.51213 D.467知识点七：确定最短路线1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm,有一只甲虫从 A出发，沿表面爬到 ，最近距离是多少？C2.如图,一圆柱高 8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点
5、A爬到点 B处吃食,要爬行的最短路程（ 取 3）是 .知识点八：逆定理判断垂直1在 ABC中，已知 AB2 BC2 CA2，则 ABC的形状是( )A锐角三角形；B直角三角形；C钝角三角形；D无法确定2如图，正方形网格中的 ABC，若小方格边长为 1，则 ABC是( )A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上答案都不对A BCD A B C D ABC5米 3米 知识点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰
6、好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米.3.一根直立的桅杆原长 25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的 5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1米，当他们把绳子的下端拉开 5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:7,8,9;12,9,15;m 2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n均为正整数,m n); , , .其中能2a12组
7、成直角三角形的三边长的是( )A.; B.; C.; D.2已知一个 Rt的两边长分别为 3和 4，则第三边长的平方是（ ）A.25 B.14 C.7 D.7或 253.三角形的三边长为 ,则这个三角形是( )abcba2)(2A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.4.ABC 的三边为 a、b、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a边的对角是直角 B.b 边的对角是直角C.c边的对角是直角 D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）6、7、8，8、15、17，7、24、25，12、35、37，9、40、41
8、A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a 2+b2-c2)=0，则ABC是 ( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.如图， = =90， =5， =8， =11，则 的长为 （ CBABCDA）A、10 B、11 C、12 D、139.如图、山坡 的高 =5 ，水平距离 =12 ，若在山坡上每隔 0.65 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )mmmA、19 棵 B、20 棵
9、C、21 棵 D、22 棵10.RtABC 中， =90， 、 所对的边分别是 、 、 ，若 =2，则 + + 的值是 （ abc2ab2c）A、6 B、8 C、10 D、411.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）、9，12，15 B、 ，1， C、0.2，0.3，0.4 D、40，41，945312.已知，一轮船以 16海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以 12海里/时的速度同时从港口 A出发向东南方向航行，离开港口 2小时后，则两船相距（ ）A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里二、填空题1.在 RtABC 中，C=90，若 a=5，b=1
10、2，则 c=_；若 a=15，c=25，则 b=_；若c=61，b=60，则 a=_；若 ab=34，c=10 则 SRtABC =_2.现有长度分别为 2 、3 、4 、5 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cmcm cm3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 4.如图中字母所代表的正方形的面积： = = AB4025A B81255.在 ABC中， C90，若 a5， b12，则 c 6.ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S ABC = 。7.在RtABC中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是
11、。8.在ABC 中，AC=17 cm，BC= 10 cm，AB=9 cm，这是一个_三角形（按角分） 。9.已知一个三角形的三边长分别是 12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 。三、简答题1.判断正误，并指出为什么？（1）ABC 的两边为 3和 4，求第三边解：由于三角形的两边为 3和 4，所以它的第三边 c为 5。（2）若已知ABC 为直角三角形，则第三边为 52.在ABC中，BC=m 2-n2，AC=2mn，AB=m 2+n2(mn)。求证：ABC是直角三角形。3.求斜边长 17厘米，一条直角边长 15厘米的直角三角形的面积(画图求解)4.已知一艘轮船以 16 的速度离开港口
12、向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以 12 的速度向东南/kmh /kmh方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？(画图求解)5.如图，一根旗杆在离地面 9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12米处，旗杆折断之前有多高？12米 9米3m4m20m6.如图，在四边形 ABCD中，BAD = ，DBC = ，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求 CD； 9090家庭作业：一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a、b、c 是ABC 的三边，则 a2b 2c 2； B.若 a、b、c 是 RtABC 的三边，则 a2b 2c 2；C.若 a、b、c 是 RtABC 的
13、三边， 90A，则 a2b 2c 2；D.若 a、b、c 是 RtABC 的三边， C，则 a2b 2c 22. ABC 的三条边长分别是 、 、 ，则下列各式成立的是（ ）A B. cba C. D. 22cba3直角三角形中一直角边的长为 9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A121 B120 C90 D不能确定4斜边的边长为 cm17，一条直角边长为 cm8的直角三角形的面积是 5假如有一个三角形是直角三角形，那么三边 a、 b、 c之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边 a、 b、 满足 22，那么这个三角形是 三角形，其中 b边是 边， b边所对的角
14、是 6一个三角形三边之比是 6:0，则按角分类它是 三角形7如图，已知 ABC中， 9， 15BA， C，以直角边 BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是 8 一长方形的一边长为 cm3，面积为 2c，那么它的一条对角线长是 二、综合发展:1如图，一个高 4、宽 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长2.一个三角形三条边的长分别为 cm15， 20， c5，这个三角形最长边上的高是多少？3如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽 4m，高 3m，长 20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.4如图，有一只小鸟在一棵高 13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该
15、树 12m，高 8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以 2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？DABCACB勾股定理综合二1如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8。现将直角边 AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE重合，则 CD等于 2已知，如图长方形 ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此长方形折叠，使点 B与 D重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ） cm23已知：将正长方形纸片 ABCD折叠两次，第一次折痕为 AC，第二次折痕为 AE，且点 D落在 F处.若长方形长为 4，宽为 3，求 DE.4
16、已知：如图， ABC中， C90， AD是角平分线， CD15， BD25求 AC的长分类讨论思想1 在 Rt ABC中，已知两边长为 3、4，则第三边的长为 2在 Rt ABC中，已知两边长为 5、12，则第三边的长为 3等腰三角形的两边长为 10和 12，则周长为_，底边上的高是_，面积是_。4.一个直角三角形，有两边长分别为 6和 8，下列说法正确的是（ ）A. 第三边一定为 10 B. 三角形的周长为 25 C. 三角形的面积为 48 D. 第三边可能为 10确定三角形形状1已知 a、b、c 是ABC 的三边，且 a2c2b 2c2a 4b 4，试判断三角形的形状2. 在ABC 中，B
17、C=1997，AC=1998，AB 2=1997+1998，则ABC 是否为直角三角形？为什么？3.若ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则ABC 为 三角形（填锐角、直角或钝角）4.已知三角形的三边分别是 n-2，n，n+2，当 n是多少时，三角形是一个直角三角形？AC D B A D B C B A C D 第 14题 图 E1 题A B C D E F ABEFDC第 2 题最短距离问题1.如图，A、B 两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为 AC=10千米，BD=30 千米，且 CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B
18、 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3万，请你在河流 CD上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？2.如图，一个牧童在小河的南 4km的 A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西 8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？3.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC=6，BD=8，点 E、F 分别是边 AB、BC 的中点，点 P在 AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 4.如图，在直角ABC 中，AB=4 ，BAC=45，BAC 的平分线交 BC于点 D，M、N 分别是 AD和 AB上的动点
19、，则BM+MN的最小值是（ ）5.如图，在正方形 ABCD的边 AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形 的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形 ABCD的边长为 1，那么第 n个正方形的面积为 ABC D L5米 3米 DCBA综合练习三一、选择题1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm，另一直角边长为 6 cm，则它的斜边长（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm3. 已知一个 Rt的两边长分别为 3和 4，则第三
20、边长的平方是（ ） （A）25 （B）14 （C）7 （D）7 或 254. 等腰三角形的腰长为 10,底长为 12,则其底边上的高为( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）645. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 7152407152041572052041(A)(B)(C)()6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.7. 如图小方格都是边长为 1的正方形,则四边形 ABCD的面积是 ( )（A） 25 （B
21、） 12.5 （C） 9 （D） 8.58. 三角形的三边长为 abcba2)(2,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.9.ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知C=90，AC=30 米，AB=50 米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮 a元计算，那么共需要资金（ ）.（A）50 a元 （B）600 元 （C）1200 a元 （D）1500 a元10.如图，ABCD 于 B，ABD 和BCE 都是等腰直角三角形，如果 CD=17，BE=5，那么 AC的长为（ ）.（A）12 （B）7 （C）5 （D）13（
22、第 10题） （第 11题） （第 14题）EABCDA B D C E 二、填空题11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米.12. 在直角三角形 ABC中，斜边 =2，则 22ABC=_.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在ABC 中，C=90，BC=3，AC=4.以斜边 AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是_.（第 15题） （第 16题） （第 17题）15. 如图，校园内有两棵树，相距 12米，一棵树高 13米，另一棵树高 8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米.16. 如图
23、， ABC中， C=90， AB垂直平分线交 BC于 D若 BC=8， AD=5，则 AC等于_.17. 如图，四边形 ABD是正方形， AE垂直于 B，且 AE=3， B=4，阴影部分的面积是_.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A，B，C，D 的面积之和为_cm 2.三、解答题19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是 30肘尺（肘尺是古代的长度单位） ，另外一棵高 20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是 16，底边上的高是 4.求这个三角形各边的长.ABCD第18题图7cm
