1、理科数学试卷 第 1 页（共 5 页）2016 年普通高等学校招生全统一考试理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 24 题，共 150 分第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是imz)1()3( m（A） （ ， ） （B ） （ ， ） （C） （ ， ） （D） （ ， ）313（2 ） 已知集合 ， ，则,2Zxx，0)2( BA（A） （B ） （C） （D）1,13, ,210（3 ） 已知向量 ， 且 ，则),(ma)3(bba)(
2、m（A） （B ） （C） （D）8668（4 ） 圆 的圆心到直线 的距离为 1，则0122yx 01yxa（A） （B ） （C） （D）344332（5 ） 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A）24（B）18（C ）12（D）9（6 ） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C ）28 （D ）32（7 ） 若将函数 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图xy2sin12像的对称轴为（A） （B）)(62Zkx )(62Zk
3、x4 4423理科数学试卷 第 2 页（共 5 页）（C ） （D）)(12Zkx )(12Zkx（8 ） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 ， ,依次输入的 为 2，2 ，5，则输出的x2nas（A）7 （B）12 （C）17 （D）34（9 ） 若 ，则53)4cos(2sin（A） （B ） （C） （D）27151257（10 ）以从区间 随机抽取 个数 ，构成 个数对,0n2nnyx， ,2121，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 个，),()(,21yxyx， m则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（A） （B ）
4、（C） （D）mn4nnm4n2（11 ）已知 是双曲线 ： 的左, 右焦点，点 在 上， 与 轴垂直，21,FE12byaxME1Fx，则 的离心率为3sin12M（A） （B ） （C） （D）232（12 ）已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为)(Rxf)()(xffxy1)(xfy，则),(),(,21myyx iii1)(（A） （B） （C） （D）0 m2m4第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。否是0,sknk输入 nx,输出 s开始
5、结束输入 a1xs理科数学试卷 第 3 页（共 5 页）（13） 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 ABC , cba, 1,35cos,4saCAb（14） 是两个平面， 是两条直线，有下列四个命题：,nm,如果 ， ， ，那么 /如果 ， ，那么 /如果 ， ，那么 /如果 ， ， ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等nm/mn其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号）（15） 有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：
6、“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 （16） 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 bkxy2lnxy 2lnxyb三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）为等差数列 的前 项和，且 记 ，其中 表示不超过 的nSna28,17Sannablgxx最大整数，如 ， .09.lg（）求 ；1,b（）求数列 的前 1000 项和.n（18） （本小题满分 12 分）某险种的基本保费为 （单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的a保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 012345保 费 a
7、85. a5.1a7.2设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 012345理科数学试卷 第 4 页（共 5 页）概 率 30.15.20.10.5.（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值（19） （本小题满分 12 分）如图，菱形 的对角线 与ABCD交于点 ， ， ，点O56分别在 上，FE,， 交 于点 .将4AEBH沿 折到 的位置，D F.10O（）证明： 平面 ；ABCD（）求二面角 的正弦值（20） （本小题满分 12 分）已知
8、是椭圆 ： 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在AE132ytx )0(kEMA,N上， .NM（）当 ， 时，求 的面积；4tAMN（）当 时，求 的取值范围.2k（21） （本小题满分 12 分）（）讨论函数 的单调性，并证明当 时， ；xef2)(0x02)(xeOHDFAB CED理科数学试卷 第 5 页（共 5 页）（）证明：当 时，函数 有最小值设 的最小值为)1,0a )0()(2xaexg )(xg，求函数 的值域)(h(h请考生在第（22）（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，在正方
9、形 中， 分别在边 上（不与端点ABCDGE,DCA,重合） ，且 ,过 点作 ,垂足为 .EFF（）证明： 四点共圆；（）若 ， 为 的中点，求四边形 的面积.1ABB（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的方程为 .xOyC25)6(2yx（）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程；C（）直线 的参数方程是 （ 为参数） ， 与 交于 两点， ，求l,sincotytlBA,10的斜率.l（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， 为不等式 的解集.21)(xxf M2)(xf（）求 ；M
10、（）证明：当 时， .ba, ab1FEBCDAG理科数学试卷 第 6 页（共 5 页）2016 年全国卷高考数学（理科）答案一.选择题：（1 ） A （2）C （3 ）D （4 ）A （5）B （6 ）C（7 ） B （8）C （9 ）D （10）C （11）A （12）C二、填空题(13) (14) （15）1 和 3 （16）213 1ln2三.解答题（17 ） （本题满分 12 分）（）设 的公差为 ，据已知有 ，学.科.网解得nad7218d1.d所以 的通项公式为 .na1110lg0,lg,lg2.bb（）因为, ,2,10,3.nn所以数列 的前 项和为nb9203189.（1
11、8 ） （本题满分 12 分）（）设 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费” ，则事件 发生当且仅当一年内出险A A次数大于 1，故 ()0.2.105.P（）设 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 ”，则事件 发生当且仅当一B 60%B年内出险次数大于 3，故 ().B又 ，故()(PA)(0.153| .PAB因此所求概率为 3.1（）记续保人本年度的保费为 ，则 的分布列为X理科数学试卷 第 7 页（共 5 页）X0.85a1.25a1.75a2P0.3.0.2.0.10.50.85.152.15.75.2.123EXaaa因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
12、 .23（19 ） （本小题满分 12 分）（I）由已知得 ， ，又由 得 ，故 .ACBDAECFD/ACEF因此 ，从而 .由 , 得 .EFHEFH5B6204OBO由 得 .所以 ， ./14O1O 3H于是 ， ，1 22230D故 .又 ，而 ，HEFOH所以 .DABC平 面AB CDDEHOzxyF（II）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 Hxyz， ， ， ， ， ，0,H3,20A,50B3,10,3(,40)AB， .设 是平面 的法向量，则 ，即6,C,1D1,mxyzDmD，所以可以取 .设 是平面 的法向量，则11340xyz4
13、,32,nxyzAC理科数学试卷 第 8 页（共 5 页），即 ，所以可以取 .于是0nACD22603xyz0,31n， .因此二面角 的正1475cos,5mn 295si,mBDAC弦值是 .295（20 ） （本小题满分 12 分）（I）设 ，则由题意知 ，当 时， 的方程为 ， .1,Mxy10y4tE2143xy2,0A由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 .因此直线 的方程为 .AMAMx将 代入 得 .解得 或 ，所以 .2xy2143xy270y127y127y因此 的面积 .AMN49（II）由题意 ， ， .t0k,At将直线 的方程 代入 得 .()yxt213xy
14、t2230tkxtkt由 得 ，故 .213tkx21tk2216tAMtk由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 ，ANyxtk213tN由 得 ，即 .2M23tt32tk当 时上式不成立，3k因此 . 等价于 ，312tt232310kk即 .由此得 ，或 ，解得 .30k30k302k因此 的取值范围是 .2,（21 ） （本小题满分 12 分）（） 的定义域为 .()fx(,)(2,)理科数学试卷 第 9 页（共 5 页）22(1)() 0,()xxxxeef且仅当 时， ，所以 在 单调递增，0()0ff,(,)因此当 时，(,x()1x所以 2),20xee（II） 22(),xa
15、gxfa由（I）知， 单调递增，对任意()f0,1(10,(2)0,ffa因此，存在唯一 使得 即 ，0,2x0()fxa0)gx当 时， 单调递减；0(),fag当 时， 单调递增.x()()xx因此 在 处取得最小值，最小值为()g000 00221)+()1.2xxxeaefe于是 ，由 单调递增0h()x2()() ,xxx所以，由 得0(,2x0021().4xeeeha因为 单调递增，对任意 存在唯一的xe2(,40(,x0(),1afx使得 所以 的值域是(),ha()ha21(,e综上，当 时， 有 ， 的值域是0,1)()gx()ha21(,.4e（22 ） （本小题满分 1
16、0 分）（I）因为 ,所以DFEC,FCD则有 ,EGGBB理科数学试卷 第 10 页（共 5 页）所以 由此可得,DGFCB,DGFCB由此 所以 四点共圆.018,（II）由 四点共圆， 知 ，连结 ，, G由 为 斜边 的中点，知 ,故GRtDFCGFC,RtBtF因此四边形 的面积 是 面积 的 2 倍，即BSBS12.2GCS（23 ） （本小题满分 10 分）（I）由 可得 的极坐标方程cos,inxyC21cos0.（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为l()R由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得,AB12,C21cos0.于是 212,21 12|()4cos4,AB由 得 ，|0235cos,tan83所以 的斜率为 或 .l15（24 ） （本小题满分 10 分）（I）先去掉绝对值，再分 ， 和 三种情况解不等式，即可得 ；（II）采12x12x用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 ， 时， ab1ab
