1、专题六 数列1.（15 北京理科）设 是等差数列. 下列结论中正确的是naA若 ，则 B若 ，则120230130a120aC若 ，则 D若 ，则a1a 3【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法2.（15 北京理科）已知数列 满足： ， ，且na*1N136a 121836nnna， ，12n， ， 记集合 *|nMaN（）若 ，写出集合 的所有元素；16（）若集合 存在一个元素是 3 的倍数，证明： 的所有元素都是 3 的倍数；M（）求集合 的元素个数的最大值【答案】 （1） ， （2）证明见解析， （3 ）86,4【解析】试题分析：（）由 ，可知 则1a2341,12,a；（
2、）因为集合 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 是 36,124MMka的倍数，用数学归纳法证明对任意 ， 是 3 的倍数，当 时，则 M 中的nknk所有元素都是 3 的倍数，如果 时，因为 或 ，所以1k12ka36ka是 3 的倍数，于是 是 3 的倍数，类似可得， 都是 3 的倍数，12kaa 1,.从而对任意 ， 是 3 的倍数，因此 的所有元素都是 3 的倍数.第二步集合nnM存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 是 3 的倍数，由已知Mka，用数学归纳法证明对任意 ， 是 3 的倍数；第三步12186nnna， ， nkna由于 中的元素都不超过 36， 中的元素个数最多除
3、了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶数，由 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍na数，由定义可知， 和 除以 9 的余数一样，分 中有 3 的倍数和 中没有 3的1na2nana倍数两种情况，研究集合 M中的元素个数，最后得出结论集合 的元素个数的最大值M为 8.试题解析：（）由已知 可知：121836nnna， ，12346,aM（）因为集合 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 是 3 的倍数，由已知ka，可用用数学归纳法证明对任意 ， 是 3 的倍数，当121836nnna， ， nn时，则 M 中的所有元素都是 3 的倍数，如果 时，因为 或k 1k12
4、ka，所以 是 3 的倍数，于是 是 3 的倍数，类似可得，12a12ka1a都是 3 的倍数，从而对任意 ， 是 3 的倍数，因此 的所有元1,.k nnM素都是 3 的倍数.（）由于 中的元素都不超过 36，由 ，易得 ，类似可得M16a26a，其次 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个6na数必定为偶数，由 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍数，另外，M 中na的数除以 9 的余数,由定义可知， 和 除以 9 的余数一样，1na2考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.3.（15 北京文科）已知等差数列 满足 ， na
5、120432a（）求 的通项公式；na（）设等比数列 满足 ， ，问： 与数列 的第几项相等？nb237b6bn【答案】 （1） ；（2） 与数列 的第 63项相等.4(1)a【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将转化成 和 d，解方程得到 和 d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；1234,a1a1a第二问，先利用第一问的结论得到 和 的值，再利用等比数列的通项公式，将 和2b3 2b转化为 和 q，解出 和 q 的值，得到 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，3
6、b116解出 n 的值，即项数.试题解析：（）设等差数列 的公差为 d.na因为 ，所以 .432ad又因为 ，所以 ，故 .101014所以 .42(1)2nan(1,)（）设等比数列 的公比为 .bq因为 ， ，238b376a所以 ， .q14所以 .662由 ，得 .28n3所以 与数列 的第 63项相等.6ba考点：等差数列、等比数列的通项公式.4.（15 年广东理科）在等差数列 na中，若 2576543aa，则 82a= 【答案】 10【解析】因为 na是等差数列，所以 3746285，3456752a即 5a， 28510a，故应填入 10【考点定位】本题考查等差数列的性质及简
7、单运算，属于容易题5.（15 年广东理科）数列 n满足 121 24nn , *N.(1) 求 3a的值；(2) 求数列 n前 项和 nT；(3) 令 1ba， 11223n na，证明：数列 nb的前 项和 nS满足 l2【答案】 （1） 4；（2）1n；（3）见解析（3 ）依题由 12112nn naba 知 1b， 122a，【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前 n项和、不等式放缩等知识，属于中高档题6.（15 年广东文科）若三个正数 a， b， c成等比数列，其中 526a，526c，则 b 【答案】 1【解析】试题分析：因为三个正数 a， b， c成等比数列，所以
8、 25621bac，因为 0b，所以 1，所以答案应填： 1考点：等比中项7.(15 年广东文科) 设数列 na的前 项和为 nS， 已知 1a，23a， 54，且当 2n时， 21458nS1求 的值；证明： 1nna为等比数列；3求数列 na的通项公式【答案】 （1） 78；（2）证明见解析；（3） 12nna考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.8.（15 年安徽理科）设 ， 是曲线 在点 处的切线与 x 轴交点的*nNnx231nyx(2)，横坐标，（1）求数列 的通项公式；nx（2）记 ，证明 .211T 14nT9.（15 年安徽文科）已知数列
9、na中， 1， 21na（ ） ，则数列 na的前9 项和等于 。【答案】27考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前 n 项和.10.（15 年安徽文科）已知数列 na是递增的等比数列，且 14239,8.a（1）求数列 na的通项公式；（2）设 nS为数列 n的前 n 项和， 1nbS，求数列 nb的前 n 项和 T。【答案】 （1） 12na（2） 1n 121nn.学优高考网考点：1.等比数列的性质；2.裂项相消法求和.11.（ 15 年福建理科）若 ,ab 是函数 20,fxpq 的两个不同的零点，且 ,2ab 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的
10、值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】试题分析：由韦达定理得 abp， q，则 0,ab，当 ,2a适当排序后成等比数列时， 2必为等比中项，故 4abq， a当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当 是等差中项时， 2，解得 1， 4b；当 a是等差中项时， 8a，解得 4， 1，综上所述， 5p，所以 q9，选D考点：等差中项和等比中项12.（ 15 年福建文科）若 ,ab 是函数 20,fxpq 的两个不同的零点，且 ,2ab 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于_【答案】9考点：等差中项和等比中项13.（ 15 年福建文科）等差数列 na中， 24， 715a（）求数列 na的通项公式；（）设 2b，求 12310bb的值【答案】 （） n；（） 【解析】试题分析：（）利用基本量法可求得 1,ad，进而求 na的通项公式；（）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题 2b，故可采取分组求和法求其前 10 项和试题解析：（I ）设等差数列 na的公差为 d
