1、1导数文科大题1. 知函数 ， . （1）求函数 的单调区间； （2）若关于 的方程 有实数根，求实数 的取值范围.答案解析22. 已知 , (1)若 ,求函数 在点 处的切线方程; (2)若函数 在 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 , 是自然对数的底数);求当实数a 等于多少时 ,可以使函数 取得最小值为 3.解:(1) 时, ,(x) , (1)=3, , 数 在点 处的切线方程为 , (2)函数 在 上是增函数, 3(x) ,在 上恒成立, 即 ,在 上恒成立, 令 ,当且仅当 时,取等号, , 的取值范围为(3) ,(x) , 当 时, 在 上单调递减, ,计算得出 (
2、舍去 ); 当 且 时,即 , 在 上单调递减,在 上单调递增, ,计算得出 ,满足条件; 当 ,且 时,即 , 在 上单调递减,计算得出 (舍去 ); 综上,存在实数 ,使得当 时, 有最小值 3.解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程. (2)函数 在 上是增函数,得到 f(x) ,在 上4恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案, (3) ,求出函数的导数,讨论 , , 的情况,从而得出答案3. 已知函数 , (1)分别求函数 与 在区间 上的极值; (2)求证:对任意 , 解:(1) , 令 ,计算得出: , ,计算得出: 或 ,故 在 和 上单调递减, 在 上递增, 在 上有极
3、小值 ,无极大值; , ,则 , 故 在 上递增,在 上递减, 在 上有极大值, ,无极小值; (2)由(1)知,当 时, , , 故 ; 当 时, , 令 ,则 , 5故 在 上递增,在 上递减, , ; 综上,对任意 ,解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得 及单调区间及极值; 4. 已知函数 ,其中 , 为自然数的底数.(1)当 时,讨论函数 的单调性;(2)当 时,求证:对任意的 , .解:(1)当 时, ,则 ,故 则 在 R 上单调递减.(2)当 时, ,要证明对任意的 , .则只需要证明对任意的 , .设 ,看作以 a 为变量的一次函数,要使 ,则 ,即 ,恒
4、成立, 恒成立,对于,令 ,则 ,6设 时, ,即 ., ,在 上, , 单调递增,在 上, ,单调递减,则当 时,函数 取得最大值,故式成立,综上对任意的 , .解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.(2)对任意的 , 转化为证明对任意的 ,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可.5. 已知函数 (1)当 时,求函数 在 处的切线方程; (2)求 在区间 上的最小值.解:(1)设切线的斜率为 k. 因为 ,所以 ,所以 ,所以所求的切线方程为 ,即(2)根据题意得 , 令 ,可得7若 ,则 , 当 时, ,则 在 上单调递增. 所以若 ,则 , 当
5、 时, ,则 在 上单调递减.所以若 ,则 , 所以 , 随 x 的变化情况如下表: x 1 20 - 0 + 0-e 极小值 0所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为所以 在 上的最小值为综上所述:当 时, ; 当 时, ; 当 时,解析(1)设切线的斜率为 k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程.(2)通过 ,可得 .通过 , ,判断函数的单调性求出函数的最值.6. 已知函数 。（I ）求 f(x)的单调区间；8（II）若对任意 x1 ，e ，使得 g(x)x 2（a2）x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（ III）设 F（x） ，曲线 yF（x）上是否总存在两点 P，Q ，
6、使得POQ 是以 O（O 为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在 y 轴上？请说明理由。解：（） 当 、 时， 在区间 、 上单调递减. 当 时， 在区间 上单调递增. 3 分 （）由 ，得 ，且等号不能同时取得， ， 对任意 ，使得 恒成立， 对 恒成立，即 ( ) 令 ，求导得， ， 5 分 ， 在 上为增函数， ， 7 分 （）由条件， ， 假设曲线 上总存在两点 满足： 是以 为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在 轴上，则 只能在 轴两侧. 不妨设 ，则 9 ， （）， 是否存在 两点满足条件就等价于不等式（）在 时是否有解9 分 若 时， ，化简得 ，对 此不等式恒
7、成立，故总存在符合要求的两点P、Q； 11 分 若 时，（）不等式化为 ，若 ,此不等式显然对 恒成立，故总存在符合要求的两点 P、Q； 若 a0 时，有 （）， 设 ，则 ， 显然， 当 时， ，即 在 上为增函数， 的值域为 ，即 ， 当 时，不等式（）总有解故对 总存在符合要求的两点P、Q. 13 分 综上所述，曲线 上总存在两点 ，使得 是以 为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在 轴上 .14 分7. 已知函数 为常数).() 若 a=-2,求函数 f(x)的单调区间；( )若当 时, 恒成立,求实数 a 的取值范围.10解：( )a=-2 时,；时,时,f(x)0,函数 f(x)的单调递减区间是(0,1,单调递增区间为()由已知条件得：；且等号不能同时取；令 ；在1,e上为增函数；
