1、1第（1）次课 授课时间（ ）教学章节 第一章第一、二、三节 学时 2 学时教材和参考书 1.线性代数(第 4 版)同济大学编1. 教学目的：熟练掌握 2 阶,3 阶行列式的计算；掌握逆序数的定义, 并会计算；掌握 阶行列式的定义；n2. 教学重点：逆序数的计算；3.教学难点：逆序数的计算.1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数； n阶行列式的定义2.时间安排：2 学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.2基本内容 备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。设二元线性方程组 2211bxa
2、用消元法,当 时,解得 02121a21212121,abxabx令 ,称为二阶行列式 ,则212121a如果将 D 中第一列的元素 , 换成常数项 , ,则可得到1a21b2另一个行列式,用字母 表示,于是有121abD按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： ,这就是公211ab式（2）中 的表达式的分子。同理将 中第二列的元素 a 12,a 22 换1x成常数项 b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有 2D212baD按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： ,这就是公式121ba（2）中 的表达式的分子。x于是二元方程组的解的公式又可写为3其中 0Dx21 1. 解线性
3、方程组 .1231x同样,在解三元一次方程组 时,要用到“三3231221bxaxa阶行列式”, 这里可采用如下的定 义.二、三阶行列式的定义 设三元线性方程组 3231221bxaxa用消元法解得 定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表32311a记 ,3231aD321321321a 3213213a称为三阶行列式,则 4三阶行列式所表示的 6 项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例 2. 计算三阶行列式 .(-14)2431D例 3. 求解方程 （ ）094212xx或例 4. 解线性方程组 .57342zyx解
4、 先计算系数行列式 573412D069537120再计算 21,5, ,51754021D3154022D5702D得 , ,231x6932y693z第二节 全排列及其逆序数引例：用 1、2、3 三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？一、全排列 把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 个元素的全排列（简称n排列）.可将 个不同元素按 进行编号,则 个不同元素的全排列n1可看成这 个自然数的全排列.n个不同元素的全排列共有 种. !二、逆序及逆序数 逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有一个逆序.通常取从小到大的排列为标准排列
5、,即 的全排列中取n1为标准排列. n)1(23逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数. 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列. 6例 1: 讨论 的全排列. 3,21全排列 123 231 312 132 213 321逆序数 0 2 2 1 1 3奇偶性 偶 奇逆序数的计算：设 为 的一个全排列,则其np21 n)(3逆序数为 .intttt121其中 为排在 前,且比 大的数的个数. itipip例 2：求排列 的逆序数. 5432解： nitttt 15432 .0,1,0(对于逆序数的计算介绍另一种算法)第三节 阶行列
6、式的定义n下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式. 二阶行列式 212121aa.21212121 )(pta其中： 是 的全排列, 是 的逆序数, 是对pt 所有 的全排列求和. ,三阶行列式 32311aD 32131232 aa3213213217其中: 是 的全排列, 是 的逆序数, 是321pt321p对所有 的全排列求和. , .)1(3232311321 1npptaa其中: 是 的全排列, 是 的逆序数,np1, tnp21 是对所有 的全排列求和. ,例 1.计算对角行列式: )24(0431例 2.证明对角行列式（其对角线上的元素是 ,未写出的元素i都为 0）, nn 2
7、121nn 2121证明: 按定义式 nn 32121 nn 21213nn 32121nn 3211n 21例 3.证明下三角行列式8.nnnaaaD212110证明:按定义式得.nnaaD32210 nna433210na 21以上, 阶行列式的定义式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式. 9回顾和小结小结：1. 二三阶行列式的定义； 2. 全排列及其逆序数；3. 阶行列式的定义。n复习思考题或作业题思考题：1.计算三阶行列式 654987321D2.求排列 的逆序数.54321作业题：习题一：第 1（1,3）、2（2,4,6）实施情况及分析1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念,会计算二、三阶行列式；2.对其逆序数等方面的应用有待加强.10
