1、1空间向量与立体几何【知识要点】1空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：abba；加法结合律：(abc)a (bc)；分配律：( )a a a； (ab) a b(2)空间向量的基本定理：共线(平行) 向量定理：对空间两个向量 a，b(b0) ，ab 的充要条件是存在实数，使得 a b共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数 ， ，使得 c a b空间向量分解定理：如果三个向量 a，b，c
2、 不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组 1， 2， 3，使得 p 1a 2b 3c(3)空间向量的数量积运算：空间向量的数量积的定义：ab|a| bcosa，b ；空间向量的数量积的性质：ae|acos a，e；ab ab0；|a|2a a；|ab| a|b空间向量的数量积的运算律：(a)b (ab)；交换律：abba；分配律：(ab)c ac bc(4)空间向量运算的坐标表示：空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量 i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底 i，j ，k ，由空间向量分解定理，对于
3、空间任一向量 a，存在惟一数组( a1，a 2，a 3)，使aa 1ia 2ja 3k，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量 a 的坐标，即a( a1， a2，a 3)空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3 b3)；ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3)；a( a1， a2， a3)；a ba 1b1a 2b2a 3b3空间向量平行和垂直的条件：ab(b0) a b a1 b1，a 2 b2，a 3 b3(R) ；ab ab0 a1b1a 2b2a 3b30向量的夹
4、角与向量长度的坐标计算公式：设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则 ;|,| 23211 b2;|,cos 2321321babab在空间直角坐标系中，点 A(a1，a 2，a 3)，B(b 1，b 2，b 3)，则 A，B 两点间的距离是.)()(| 221AB2空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：如图，l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，对空间任意一点 O，点P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使得 ，其中向量 a 叫做直线的方向向tOAP量由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定如果直线
5、l平面 ，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量由此可知，给定一点 A 及一个向量 a，那么经过点 A 以向量 a 为法向量的平面惟一确定(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线 l，m 的方向向量分别是 a，b，平面 ， 的法向量分别是 u，v，则lm ab akb，k R ；lm ab ab0；l au au0；l au aku，kR； uv uk v，kR ； u v uv0(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： 异 面 直 线 所 成 的 角 ： 设 a， b 是 两 条 异 面 直 线 ， 过 空 间 任 意 一 点 O 作 直 线a a，
6、 b b，则 a与 b所夹的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角设异面直线 a 与 b 的方向向量分别是 v1，v 2，a 与 b 的夹角为 ，显然 则,20(|,cos| 2121vv直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角设直线 a 的方向向量是 u，平面 的法向量是 v，直线 a 与平面 的夹角为 ，显然3，则2,0|,cos| vu二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角记作 l 在二面角的棱上任取一点 O，在两个半平面内分别作射线 OAl，OBl，则AOB 叫做二面角 l 的平面角利用向量求二面角的平面角有两种方法：
7、方法一：如图，若 AB，CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角 l 的大小就是向量 的夹角的大小CDAB与方法二：如图，m 1，m 2 分别是二面角的两个半平面 ， 的法向量，则m 1，m 2与该二面角的大小相等或互补(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题【复习要求】1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直4理解直线的方向向量与平面的法向量5能用向量语言表述线
8、线、线面、面面的垂直、平行关系6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题【例题分析】例 1 如图，在长方体 OAEBO 1A1E1B1 中，OA3，OB4，OO 12，点 P 在棱AA1 上，且 AP2PA 1，点 S 在棱 BB1 上，且 B1S2SB，点 Q，R 分别是 O1B1，AE 的中点，求证：PQ RS4【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数 k，使得 .RSkPQ解：如图建立空间直角坐标系，则 O(0，0，0)，A(3 ，0，0) ，B(0，4，0)，O1(0，0 ，2) ， A1(3，0，2)，B 1(0，4，2) ，E(3，4，0)AP2PA 1， ),3()2
9、,(32P )34,(P同理可得：Q(0，2，2)，R (3，2，0)， ),40(S,),(S，又 R PQ，P/PQRS 【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可2、本体还可采用综合法证明，连接 PR，QS ，证明 PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明例 2 已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N，E，F 分别是棱A1D1，A 1B1，D 1C1，B 1C1 的中点，求证：平面 AMN平面 EFBD【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行解法一：设正方体
10、的棱长为 4，如图建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(4，0，0) ，M(2，0，4) ，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E(0 ，2，4)，F(2，4，4)取 MN 的中点 K，EF 的中点 G，BD 的中点 O，则 O(2，2，0)，K(3，1，4) ，G(1，3 ，4) (2，2，0)， (2 ，2，0) ， (1，1，4)， (1，1，4)，FAG5 ， ，MN/EF，AK/OG ，MNEFOGAKMN平面 EFBD，AK平面 EFBD，平面 AMN平面 EFBD解法二：设平面 AMN 的法向量是 a(a 1，a 2，a 3)，平面 EFBD 的法向量是b(b 1，b
11、 2，b 3)由 ,0,ANa得 取 a31，得 a(2，2，1) ,4231由 0BFDEb得 取 b31，得 b(2，2，1) ,4231ab，平面 AMN平面 EFBD注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试例 3 在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 是棱 A1B1，B 1B 的中点，求异面直线 AM和 CN 所成角的余弦值解法一：设正方体的棱长为 2，如图建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(2，0，0) ，M(2，1，2) ，C (0，2，0)，N(2 ，2，1),10(),0(A设 和 所成的角为 ，则 ,52|cosCNAM异面直线
12、AM 和 CN 所成角的余弦值是 52解法二：取 AB 的中点 P，CC 1 的中点 Q，连接 B1P，B 1Q，PQ ，PC 易证明：B 1PMA ，B 1QNC，PB 1Q 是异面直线 AM 和 CN 所成的角设正方体的棱长为 2，易知 ,6,21 C6 ,522cos11QBPB异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是 【评述】空间两条直线所成的角是不超过 90的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角( 锐角 )例 4 如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 ，求直线 AC1 与a2平
13、面 ABB1A1 所成角的大小【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面 ABB1A1 的法向量求解解法一：如图建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0) ，B(0，a，0)， ),20,(1a取 A1B1 的中点 D，则 ，连接 AD，C 1D)2,3(1aC)2,(则 ),0,(),0(),( 1aAaD,011CABDC 1平面 ABB1A1，C 1AD 是直线 AC1 与平面 ABB1A1 所或的角7),2,0(),2,3(1 aADaAC，3|cos11直线 AC1 与平面 ABB1A1 所
14、成角的大小是 30解法二：如图建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0) ，B(0，a，0)，A 1(0，0， )，a2，从而)2,3(1aC ,3(),2,(),( 11CaB设平面 ABB1A1 的法向量是 a(p，q，r )，由 ,0,B得 取 p1，得 a(1，0，0) ,2arq设直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为 ,20,.3,|,cos|sin11 aC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换例 5 如图，三棱锥 PABC 中，PA底面ABC，AC BC，PA A
15、C 1， ，求二面角 APBC 的平面角的余弦值2B解法一：取 PB 的中点 D，连接 CD，作 AEPB 于 EPAAC1， PAAC，PCBC ，CDPB2EAPB， 向量 和 夹角的大小就是二面角 APBC 的大小EAC8如图建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0)，A(1 ，0，0)，B(0， ，0) ，P(1，0，1)，2由 D 是 PB 的中点，得 D )21,(由 得 E 是 PD 的中点，从而,32ABPE )43,2(E)1,2(),4,1( DC3|,cosEA即二面角 APB C 的平面角的余弦值是 解 法 二 ： 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 A(
16、0， 0， 0)， ， C(0， 1， 0)，),2(BP(0， 0， 1)， ).1,0(),2(),012(),0( CPBAP设平面 PAB 的法向量是 a( a1，a 2，a 3)，平面 PBC 的法向量是 b(b 1，b 2，b 3)由 ,a得 取 a11，得,0213 ).0,(由 得 取 b31，得 b(0，1，1) ,CPBb,231b|,cosa二面角 APB C 为锐二面角，9二面角 APB C 的平面角的余弦值是 3|【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上2、当用法向量的方法求二面
17、角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的例 6 如图，三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PA AB，ABC60，BCA 90，点 D，E 分别在棱 PB，PC 上，且 DEBC()求证：BC 平面 PAC；()当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值；()试问在棱 PC 上是否存在点 E，使得二面角 ADEP 为直二面角?若存在，求出PE EC 的值；若不存在，说明理由解：如图建立空间直角坐标系设 PAa，由已知可得 A(0，0，0)， ).,0(),2
18、30(),21( aPCaB() ),(),(aCP BCAP又BCA 90，BC AC,0BABC平面 PAC()D 为 PB 的中点，DE BC，E 为 PC 的中点 )21,430(),2143, aa由()知，BC 平面 PAC，DE平面 PAC，DAE 是直线 AD 与平面 PAC 所成的角 ),2143,0(),2143,( aAEaAD ,|cosE10即直线 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值是 41()由( )知，DE平面 PAC，DE AE，DEPE，AEP 是二面角 ADE P 的平面角PA底面 ABC，PAAC ，PAC90在棱 PC 上存在一点 E，使得 AEPC
19、，这时，AEP 90，且 342C故存在点 E 使得二面角 ADEP 是直二面角，此时 PEEC 43注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试练习 1-3一、选择题：1在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是 BB1 的中点，则二面角 EA 1D1D 的平面角的正切值是( )(A) (B)2 (C) (D)2 522正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，直线 AD1 与平面 A1ACC1 所成角的大小是( )(A)30 (B)45 (C)60 (D)903已知三棱柱 ABCA 1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A 1 在底面 ABC 内的射影为ABC的中心，
20、则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( )(A) (B) (C) (D)323324如图， ， l， A ，B ，A，B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与 ， 所成的角分别是 和 ，AB 在 ， 内的射影分别是 m 和 n，若 ab，则下列结论正确的是( )(A) ，mn (B) ， mn(C) ，mn (D) ， mn二、填空题：5在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G ，H 分别为 AA1，AB，BB 1，B 1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成角的大小是_6已知正四棱柱的对角线的长为 ，且对角线与底面所成角的余弦值为 ，则该正四63棱柱的体积等于_7如图，正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 12AB ，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余
