1、第 1 页 共 16 页第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表示实NNZQR数集.（3）集合与元素间的关系对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一.aMaaM（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： | 具有的性质 ，其中 为集合的代表元素.xx图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫
2、做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集( ).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称 记号 意义 性质 示意图子集BA(或 )A 中的任一元素都属于 B(1)A A(2)(3)若 且 ，则BC(4)若 且 ，则AAB A(B)或B A第 2 页 共 16 页真子集A B（或B A），且 B 中至少有一元素不属于A(1) （A 为非空子集）(2)若 且 ，则BCB A集合相等ABA 中的任一元素都属于 B，B中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)（7）已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空A(1)n2n21n21n子集，它有 非
3、空真子集.2【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称 记号 意义 性质 示意图交集 AB且|,xB(1) A(2) (3) ，BBA并集 或|,x(1) (2) A(3) ，BA补集 UA|,xA且(1) ()U(2) (3) ()()UUBA(4) A【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法第 3 页 共 16 页（1）含绝对值的不等式的解法不等式 解集|(0)xa|xa|或|,|(0)axbcc把 看成一个整体，化成 ，axb|xa型不等式来求解|(0)（2）一元二次不等式的解法判别式 24bac000二次函数 2(0)yx的图象O =OL O一元二次方程20()a
4、xbca的根21,24bacx（其中 12)x12bxa无实根2()的解集或1|x2|x2baR20()axbca的解集12|x1.2函数及其表示【知识回顾】1、一次函数 = ( 0)：定义域 ，值域)(xfabR2、反比例函数 = ( 0)：定义域 | 0，值域 y | y0kx3、二次函数 = 2 ( 0)：定义域 ，值域：)(xfca第 4 页 共 16 页当 0 时， | ；当 0 时， | .ayabc42yabc42【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在ABfAx集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么
5、这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对()fx B应法则 ）叫做集合 到 的一个函数，记作 f :fAB函数的三要素：定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；满,ababxbx,ab足 的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数 的集xx(,)abxx合叫做半开半闭区间，分别记做 ， ；满足 的实数 的集合分别,),xa记做 ,)(,ab(注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须 |xa,)abbab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
6、 是整式时，定义域是全体实数()f 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合()f对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 中， tanyx()2kZ零（负）指数幂的底数不能为零若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初()f等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，其复合函数()fx,ab第 5 页 共 16 页的定义域应由不等式 解出()fgx()agxb对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进
7、行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ，()yfxyx2()()0ayxbcy则在 时，由于 为实数，
8、故必须有 ，从而确定函数的值域()0ay, 2()4()0bac或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（
9、6）映射的概念设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个元素，在集合ABfA中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫Bf做集合 到 的映射，记作 :fAB第 6 页 共 16 页给定一个集合 到集合 的映射，且 如果元素 和元素 对应，那么我们把AB,aAbBab元素 叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象ba注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为 f(a).函数与映射的关系函数是特殊的映射，映射是函数的推广。映射与函数概念间的关系可由下表给出：映射 BA
10、f: 函数 ByAxfy,)(集合 A，B 可为任何集合，其元素可以是物，人，数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合 A 中任一元素 ，在集合 B 中a都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个 ，值域中都x有唯一确定的值与之对应对集合 B 中任一元素 ，在集合 A 中不b一定有原像对值域中每一个函数值，在定义域中都有确定的自变量的值与之对应1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数性质定义 图象 判定方法函数的单调性如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函
11、数下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数 ，令 ，若 为增， 为增，则()yfgx()ugx()yfu()gx为增；若 为减， 为减，则 为增；若 为增，()yfgx ()yfu为减，则 为减；若 为减， 为增，则 为减u()yfx()yf()xx（2）打“”函数 的图象与性质0a分别在 、 上为增函数，分别在 、 上为减函数()fx(,a,),0)a(,（3）最大（小）值定义一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：()yfxIM 对于任意的 ，都有 ；xIM
12、存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最大值，记作 00()f ()fxmax()fM一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：yxIm第 8 页 共 16 页 对于任意的 ，都有 ；xI()fxm 存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最小值，记作 00()fxmax()f【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数性质定义 图象 判定方法如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f (x)，那么函数f(x)叫做 奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x
13、，都有f(x)=f (x)，那么函数f(x)叫做 偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 0x(0)f奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反y y在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域； 化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； 画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确
14、记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换第 9 页 共 16 页0,|() ()hyfxyfxh 左 移 个 单 位右 移 个 单 位 0,|() ()kyfxyfxk 上 移 个 单 位下 移 个 单 位伸缩变换01,()()ff 伸缩 01,()()Af f 缩伸对称变换()()xyfyfx 轴 ()()yfxfx 轴 原 点 1 直 线() (|)yyyyfx yfx 去 掉 轴 左 边 图 象保 留 轴 右 边 图 象 ， 并 作 其 关 于 轴 对 称 图 象|()|xfx 保 留 轴 上 方 图 象将 轴 下 方 图
15、象 翻 折 上 去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系例 1（2008 年江西理）定义集合运算： |,ABzxyAB设1,20,AB，则集合 的所有元素之和为（ ）A0； B2； C3； D6解题思路 根据 的定义，让 x在 A中逐一取值，让 y在 B中逐一取值， xy在值就是 AB的元
16、素解析：正确解答本题，必需清楚集合 B中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知 =4,20，故应选择 D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。第 10 页 共 16 页例 2数集 ZnX,)12(与 ZkY,)14(之间的关系是（ ）A Y； B X； C X； D YX解题思路 可有两种思路：一是将 和 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集 与 Y之间必然有关系，如果 A 成立，则 D 就成立，这不可能；同样，B 也不能成立；而如果 D 成
17、立，则 A、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是 C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。考点二：集合的基本运算例 3 设集合 0232xA， 0)5()1(22axxB（1）若 B，求实数 a的值；（2）若 ，求实数 的取值范围若 A，解题思路 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析因为 2,1032xA，（1）由 B知， ，从而得 0)5()142a，即 0342a，解得a或 当 a时， ,xB，满足条件；当 3时， 2042x，满足条件 所以 1或（2）对于集合 B，由 )3(8)5()1(a 因为 AB，所以 当 0，即 a时， ，满足条件； 当 0，即 3时， 2，满足条件；当 ，即 3时， 2,1AB才能满足条件，由根与系数的关系得 75521)(2aa，矛盾 故实数 a的取值范围是 3a【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空，不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.
