1、1两个基本原理一、教学目标1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力二、教材分析1.重点：加法原理，乘法原理。 解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同三、活动设计1.活动：思考，讨论，对比，练习2.教具：多媒体课件四、教学过程正1新课导入随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一
2、章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键2新课我们先看下面两个问题(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板书：图因为一天中乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2 种走法，乘轮船有 3 种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4 十 2 十 3=9种不同的走法一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有
3、m2种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 Nm 1十 m2十 十 mn种不同的方法(2) 我们再看下面的问题：由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？板书：图这里，从 A 村到 B 村有 3 种不同的走法，按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后，再从 B 村到 C 村又有 2 种不同的走法因此，从 A 村经 B 村去 C 村共有 3X2=6 种不同的走法一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种
4、不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 Nm 1 m2mn种不同的方法例 1 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书21）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从 6 本书中任取一本，有 6 种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从 5 本书中任取一本，有 5 种方法根据加法原理，得到不同的取法的种数是 6 十 5=11答：从书架 L 任取一本书，有 11 种不同的取法（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成
5、：第一步取一本数学书，有 6 种方法；第二步取一本语文书，有 5 种方法根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N6X530答：从书架上取数学书与语文书各一本，有 30 种不同的方法练习： 一同学有 4 枚明朝不同古币和 6 枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例 2(1)由数字 l，2，3，4，5 可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字 l，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字 0，l，2，3，4，5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的
6、数字，从 5 个数字中任选一个数字，共有 5 种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有 5 种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有 5 种选法根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125答：可以组成 125 个三位数 练习：1、从甲地到乙地有 2 条陆路可走，从乙地到丙地有 3 条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2一名儿童做加法游戏在一个红口袋中装着 2O 张分别标有数 1、2、19、20 的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口
7、袋中装着 10 张分别标有数1、2、9、1O 的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3题 2 的变形4由 09 这 10 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习练习1 （口答）一件工作可以用两种方法完成有 5 人会用第一种方法完成，另有 4 人会用第二种方法完成选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2在读书活动中，一个学生要从 2 本科技书、 2 本政治书、 3 本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？3乘积（a1+a2+a
8、3） （b1+b2+b3+b4） （c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？34从甲地到乙地有 2 条路可通，从乙地到丙地有 3 条路可通；从甲地到丁地有 4 条路可通，从丁地到丙地有 2 条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 4 个小球，所有这些小球的颜色互不相同（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？作业：（略）排列【复习基本原理】1.加法原理 做一件事，完成它可以有 n 类办法，第一类办法中有 m1 种不同的方法，第二办法中有 m2 种不同的方法 ，第 n 办法中有
9、 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法.2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一 步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法， ，做第 n 步有 mn 种不同的方法， .那么完成这件事共有N=m1m2m3mn种不同的方法.3.两个原理的区别：【练习 1】1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？2.由数字 1、2、3 可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.【基本概念】1. 什么叫排列？从 n 个不同元素中，任取 m( )个元素（这里的被取元素各不相同）nm按照 一定的顺序 排成一列，
10、叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列 2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.4. 什么叫一个排列？【例题与练习】1. 由数字 1、2、3、4 可以组成多少个无重复数字的三位数？42.已知 a、b、c、d 四个元素，写出每次取出 3 个元素的所有排列；写出每次取出 4 个元素的所有排列.【排列数】1. 定义：从 n 个不同元素中，任取 m( )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素nm中取出 m 元素的排列数，用符号 表示.p用符号表示上述各题中的排列数.2. 排列数公式： =n(n-1)(n-2)(n-m+1)np；
11、 ； ； 1n2 3np4np； 计算： = ； = ； = 25p45 215；【课后检测】1. 写出： 从五个元素 a、b、c、d、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列； 由 1、2、3、4 组成的无重复数字的所有 3 位数. 由 0、1、2、3 组成的无重复数字的所有 3 位数.2. 计算： 310p36p284p7128p排 列课题：排列的简单应用(1)目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题 过程：一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）1排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；2排列数的定义，排列数的计算公式
12、 5或 （其中 mn m,nZ）)1()2(1mnnAm )!(nA3全排列、阶乘的意义；规定 0!=14 “分类” 、 “分步”思想在排列问题中的应用二、新授：例 1： 7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7 个元素的全排列 50407A 7 位同学站成两排（前 3 后 4） ，共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：76543217！5040 7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的 6 个元素的全排列 =7206 7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端
13、有 种；第二步 余下的 5 名2A同学进行全排列有 种 则共有 =240 种排列方法5A25 7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有 种方法；第二步 从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列25（全排列）有 种方法 所以一共有 2400 种排列方法A25A解法二：（排除法）若甲站在排头有 种方法；若乙站在排尾有 种方法；6 6A若甲站在排头且乙站在排尾则有 种方法所以甲不能站在排头，乙不能排5在排尾的排法共有 =2400 种7A625小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“
14、直接法”或“排除法” ，对某些特殊元素可以优先考虑例 2 ： 7 位同学站成一排甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素（同学）一起进行全排列有 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 种方6A 2A法所以这样的排法一共有 1440 种62甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有 720 种536甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素
15、放在排头和排尾，有 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 种方法；最后将甲、25A4A乙两个同学“松绑”进行排列有 种方法所以这样的排法一共有2A960 种方法254解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，若丙站在排头或排尾有 2 种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有5种方法960)2(256A解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有 种方法，14A再将其余的 5 个元素进行全排列共有 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑” ，5A所以这样的排法一共有 960 种方
16、法1452小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法” （先捆后松） 例 3： 7 位同学站成一排甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法） 360267A解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有 种方法，此时他们留下六个位5置（就称为“空”吧） ，再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有 种方26A法，所以一共有 种方法36025A甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有 种方法，此时他们留下五个“空” ，再将甲、乙4和丙三个同学分别插入这五个“空”有 种方法，所以一共有 144035A4A35种小结三：对于不相邻问题，常用“插空法” （特殊元素后考虑）
17、 三、小结：1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 某些元素不能在或必须排列在某一位置；7某些元素要求连排（即必须相邻） ；某些元素要求分离（即不能相邻） ；2基本的解题方法： 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法） ； 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法” ； 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法” ； 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列
18、问题的根基四、作业：课课练之“排列 课时 13”排 列课题：排列的简单应用(2)目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解过程：一、复习：1排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；2常见的排队的三种题型：某些元素不能在或必须排列在某一位置优限法；某些元素要求连排（即必须相邻）捆绑法；某些元素要求分离（即不能相邻）插空法3分类、分布思想的应用二、新授：示例一： 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑） 1
19、30859A解法二：（从特殊元素考虑）若选： 若不选： 69A则共有 136080596解法三：（间接法） 136080610A示例二： 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排 ；丙排在后排 ；其余进行全排列 24145A8所以一共有 5760 种方法24A15 不同的五种商品在货架上排成一排，其中 a, b 两种商品必须排在一起，而 c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b 捆在一起与 e 进行排列有 ；2A此时留下三个空，将 c, d 两种商品排进去一共有
20、 ；最后将 a, b“松绑”有23A所以一共有 24 种方法2A2A3 6 张同排连号的电影票，分给 3 名教师与 3 名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有 ；若第一个为学生则有3A3A所以一共有 2 72 种方法3示例三： 由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解： 3545AA 由数字 1， 2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字，并且比 13 000 大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为 1 时，十位必须大于等于 3 有 种方法；31A另一类是首位不为 1，有 种方法所以一共有 个数比 13 4A13A4
21、4000 大解法二：（排除法）比 13 000 小的正整数有 个，所以比 13 000 大的正整数有3114 个5A3示例四： 用 1，3，6，7，8，9 组成无重复数字的四位数，由小到大排列 第 114 个数是多少？ 3 796 是第几个数？解： 因为千位数是 1 的四位数一共有 个，所以第 114 个数的千位数应6035A该是“3” ，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有 个；同理，以124“36”、 “37”、 “38”开头的数也分别有 12 个，所以第 114 个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第 6 个位置上，所以“3 968” 是第 114 个数 由上可知“37
22、”开头的数的前面有 60121284 个，而 3 796 在“37”开头的四位数中排在第 11 个（倒数第二个） ，故 3 796 是第 95 个数示例五： 用 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，其中 能被 25 整除的数有多少个？ 9 十位数字比个位数字大的有多少个？解： 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25，50 两种，末尾为 50 的四位数有 个，末尾为 25 的有 个，所以一共有 21 个24A13A24A13注： 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25，50，75，00 四种情况 用 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，一共有 个因0351为在
23、这 300 个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的” ，所以十位数字比个位数字大的有 个1503A三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性四、作业：“3X”之 排列 练习组 合 课题：组合、组合数的概念目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式过程：一、复习、引入：1复习排列的有关内容：定 义 特 点 相同排列 公 式排 列以上由学生口答2提出问题： 示例 1： 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2： 从甲、乙、
24、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例 1 中不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列” ，而示例 2 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的引出课题：组合问题二、新授：1组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合注：1不同元素 2 “只取不排”无序性 3相同组合：元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题： 从 A、 B、 C、 D 四个景点选出 2 个进行游览；（组合） 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部书记 （排列）2组合数
25、的概念：从 n 个不同元素中取出 m（m n）个元素的所有组合的个数，叫10做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号 表示mnC例如：示例 2 中从 3 个同学选出 2 名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙即有 种组合3C又如：从 A、 B、 C、 D 四个景点选出 2 个进行游览的组合：AB，AC ，AD ， BC，BD ，CD 一共 6 种组合，即： 624C在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关那么又如何计算 呢？mnC3组合数公式的推导提问：从 4 个不同元素 a，b，c ， d 中取出 3 个元素的组合数 是多少呢？34C启
26、发： 由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 34A可以求得，故我们可以考察一下 和 的关系，如下：3CA组 合 排列dcbbcdcbcd aaa,由此可知：每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 ，可以分如下两步： 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元34A素的组合，共有 个； 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有 种方C A法由分步计数原理得： ，所以： 34334AC 推广： 一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 ，可以分如下两mn步： 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 ； 求每一个组合中 m 个元素全排列数 ，根据分布计数原理得： mAmnAC 组合数的公式：!)1()2(1nnCmn
