1、1平面向量一、平面向量的基本概念：1.向量：既有大小又有方向的量叫做_.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。向量可以用_来表示.向量的符号表示_.2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_） ，记作_.3.零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作_.4.单位向量：_.5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作_规定：_.注意：理解好共线（平行）向量。6.相等向量：_.例：下列说法正确的是_有向线段就是向量，向量就是有向线段； 则 ；,cbaa,/cba/若 ，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点；所
2、有的单位向量都相等；二、向量的线性运算：（一）向量的加法：1.向量的加法的运算法则：_、_和_.（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_；“首是首，尾是尾，首尾相连”例 1.已知 AB=8，AC=5，则 BC 的取值范围_例 2.化简下列向量（1） （2）PMQN )()()( MBPACQBP（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；是以 ， 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：ba例 1.（09 山东）设 P 是三角形 ABC 所在平面内一点， ，则BPAC2A. B. C. D. 0B
3、PA0CA0PB0C例 2.（13 四川）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ，则.AD_（3）多边形法则2.向量的加法运算律：交换律与结合律（二）向量的减法：2减法是加法的逆运算，A. （终点向量减始点向量）PBAOBA在平行四边形中，已知以 、 为邻边的平行四边形中， 分别为平行四边形的两条对角线，当abba,时，此时平行四边形是矩形。ba例 1.已知 ，且 ，则 =_8,6ba例 2.设点 M 是 BC 的中点，点 A 在线段 BC 外，BC=16， ，则ACBA_M向量的加减运算：例 1.（08 辽宁）已知 、 是平面内的三个点，直线 上有一点 ，满足Er
4、ror!+2Error!=0，则、OBError!=_A.2Error!-Error! B.Error!+2Error! C. Error! Error! D. Error!+ Error!321312例 2.(15 课标全国 I）设 D 是三角形 ABC 所在平面内一点， ，则_CDB3A. B.ACBAD341A41C. D. 3例 3.（12 全国）在 中， 边上的高为 ,Error!=a, Error!=b,a b=0, ,则BC2,1baError!=_例 4.（10 全国）在 中，点 在边 上， 平分 ，若Error!=a, ACDAABError!=b, ，则Error! =_2
5、,1ba例 5.在 中，设 为边 的中点, 为边 的中点,若Error!= Error!+ Error!，则BBEDmn+ =_mn例 6.（15 北京理）在 中，点 满足 ，若 ，则ACNM, NCBA,2ACyBxM_yx例 7.（13 江苏）设 、 分别是 的边 、 上的点，若 ，若DEBEA32,1Error!= Error!+ Error!( , 为实数)，则 + =_121212例 8.（12 东北四市一摸）在 中，设 为边 的中点，内角 的对边 ，若ACPCB,cba,Error!+ Error!+ Error!=0，则 的形状为_cabB3(三）实数与向量的积：1.定义：实数
6、与非零向量 的乘积 是一个向量，它的长度是_.它的方向是a_.当 时，_02.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。3.运算律：设 、 是任意向量， 是实数，则实数与向量的积适合以下运算：b,4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理）如果 ，则 ；若 ， ，则存在唯一的实数 ，使得 .a/ba/0ba若 、 是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数 ，使b ,_.若 ， 不共线， ，则在有意义的前提下，2121,eea 21,ba/ 21例 1.（15 课标全国 II）设向量若 、 是两个不平行的向量，向量 与 平行，则abba2_例 2.（09 湖南
7、）对于非零向量 ,“ 0”是“ /”的_A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件例 3.（12 四川）设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是|abAab Bab C a2 b D a b 且| a| b|5.单位向量给定一个向量 ，与 同方向且长度为 1 的向量叫做 的单位向量，即_ 重要结论：已知 ， 为定点， 为平面内任意一点.COPError!+Error!+Error!=0 _ _.若Error!= Error!+Error!+Error!，则 为 _31ABC若Error!=Error!+ （Error!+Error!）
8、 ， ，则 点的轨迹_.),0(P若Error!=Error!+ _, ,则 点的轨迹通过 的内心ABC若_,则 点的轨迹是 的外心P若_,则 点的轨迹是 的垂心4例 1.（10 湖北）在 中，点 满足Error!+Error!+Error!= 0，若存在实数 ，使得Error!+Error!=ABCMmError!，则 =_.m例 2.在 中，重心为 G，若 ，则0sin3sin3sin2 GCBA _cosB例 3.在 中，重心为 G，若 ，则ABC0Cba_A三、平面向量的基本定理(一）平面向量基本定理内容：如果 、 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有
9、一对实数1e2 a，使_,其中 、 是一组基底，记作_._叫做向量 关于基,1e2 a底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。例 1.（14 福建）在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是_)2,3(aA. B. )2,1(),0(1e ,5,1eC. D. 653 )32()2(例 2.（09 安徽）在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，BC 的中点，若 ，则AFEC_（2）平面向量基本定
10、理与向量共线条件的综合应用设 是直线 上两点， 是直线外一点，对于直线上任意一点 ，存在 ，使BA,lOPRt_成立.反之，满足上式的点 在直线 上.l特别地，当 为 的中点时，则_.P,例 1.已知 、 是平面内的三个点，线段 的延长线上有一点 ，满足 3Error!+Error!=0、 BAC则Error!=_A.3Error!-2Error! B.2Error!+3Error! C. Error! Error! D. Error!+ Error!231213例 2.数列 是等差数列，其前 项和为 ，若平面上的三个不共线的向量Error!、 Error!、Error!满足nannSErro
11、r!= Error!+ Error!，且 三点共线，则1206CBA, _206S例 3.已知向量 不共线，且 Error!= ，Error! ，若 三点共线，则实数 应满ji, jmijiDBA, nm,足的条件_A. B. C. D. 1nm1n1n1n5例 4.（07 江西）如图，在 中，设 为边 的中点，过点 的直线交直线 、 于不同两点ABCOBOABC.若Error! = Error!，Error!= Error!，则 + =_ 的最大值为_NM,mnmn例 5.在 中，设 为边 的任意点， 为 中点，Error!= Error!+ Error!，则ABCNAM+ =_.例 6.在
12、 中，设 为边 的中点， 为 中点，Error!= Error!+ Error!，则 + =_.MBC 例 7.如图，在 中，设 为边 的中点， 为 中点，过 任作一条直线 分别交 、ADGADMNAB于 两点，若Error!= Error!，Error!= Error!，试问 是否为定值？CN,xyyx1四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（一）向量的正交分解与向量的直角坐标1.向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直，那么这两个向量互相垂直；2.向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。3.在平面直角坐标系下，分别取与
13、x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任一向量 ，a有且只有一对实数 x,y，使得 .有序数对 叫做 的坐标，记作21ea),(yxa),(yxa注意：（1）每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。（2）符号 有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终),(yx点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。（二）向量的坐标运算1.若 ，则 .),(),(21yxbyxa _ba2.若 ，则Error!=_|Error!|=_BA3.若 ，则Ryx),(_NMO CBABMDG NCA64.若 ，
14、 ,则有_.),(),(21yxbyxaba/5.三角形 ABC 的重心坐标公式为_五、平面向量的数量积：1.平面向量数量积的定义向量 的夹角ba,已知两个非零向量 ，过点 作 ，则 _),叫作向量 的夹角.,ObBaA, (AOba,当_时， 与 垂直，记作_.ab当_时， 与 平行或共线.注意：理解什么是两向量的夹角？以及两向量夹角的范围。向量 的数量积ba,已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则把_叫做向量 的数量积（内积） ，记作ba,_.规定 =0a0向量数量积的几何意义_.2.向量数量积的性质设 是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则ba,ebae cos
15、ae _当 同向时， .当 反向时，b,_bba,_b特别地， a _cos b3.向量的数量积的运算律：注意：向量的数量积无_律，无_律.4.数量积的坐标运算7若 ，则),(),(21yxbyxa _ba若 ，则 _aa若 ，则 的充要条件为_),(),(21yxyx/ ，则 的充要条件为_bab求角问题：若非零向量 ， 是 的夹角，则),(),(21yxyxaba,_cos注意：向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也有两种方式即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法.典型例题（一）向量数量积的几何运算，注意两个向量的夹角，利用平面向量的基本定理选好基底例 1.对任意向量 ，下列关系式
16、中不恒成立的是 _ba,A. B. C. D. ba22ba2baba例 2.已知向量 ，满足 ， ，则向量 的夹角为_c, 2,1cc， 且 与例 3.（11 江西）已知 ，则 的夹角为_2)(ba,例 4.（13 全国）已知两个单位向量 ， 的夹角为 ， ，若60btatc)1(0c则 _t例 5.（13 江西）设 、 为单位向量， 与 的夹角为 ，若 ，则向量 在 方1e21e23121,3eeab向的射影为_例 6.已知向量 ，满足 ， ， 则cba, 0cbabac,)( ,若 _22cba例 7.(14 课标全国）已知 A，B ，C 为圆 O 上的三点，若 ，则 与 的夹角为)(2
17、1ACB_例 8.（10 湖南）在直角三角形 中， 则Error! Error!=_,4,90AC例 9.（15 湖北）已知向量 ，则3,_B例 10.如图，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP 3，则 APC8例 11.在三角形 中， ， 为边 的三等分点，ABC1,2,60ACBFE,BC则Error! Error!=_例 12.（12 天津）已知三角形 为等边三角形， ，点 满足Error!= Error!，2QP,Error!=（1- ） Error!， ，若Error! Error!= ，则R3_例 13.（13 山东）已知向量Error!与Error!夹角 ，
18、 ，Error!= Error!+Error!，且10,ACBError! Error!=0则实数 的值_例 14.（13 天津）在平行四边形 中， ， 为边 的中点，若ABCD60,1DEError! Error!=1，则 的长为_例 15.已知 夹角为 ， ，在三角形 中，Error! ，ba,62,3baABCnm2Error! ， 为边 的中点，则nm2_例 16. AD 与 BE 分别是 的中线，若 AD=BE=1， 的夹角为 ，则Error! Error!=_ABCE与D10例 17.(15 四川）设四边形 ABCD 为平行四边形，AB=6，AD=4，若 M，N 满足 ，NCDB2
19、,3则 _NMA例 18.（12 浙江）在三角形 中，点 为 的中点， 则Error! Error!=_ABCMB,10,3CA例 19.（09 陕西）设 为 边 的中点， ，点 在 上，满足Error!=2Error!,则1PError!（Error!+Error!）= _例 20. 设 是三角形 的外心， ，则Error! （Error!-Error!）=_O,OD例 21.在三角形 中，已知 ，点 是 的垂直平分线 上任一点，则AB2,4BABlError! Error!=_例 22.已知 是三角形 的外心，若 ，则Error! Error!=_C5,3C例 23.若三角形 内接于 以为
20、圆心，1 为半径的圆，3Error!+4Error!+5Error!= 0,则OError! Error!=_9例 24.已知非零向量 ， 在 上有极值，则 的取ba, 1231)(, xbaxf Rba,值范围为_例 25.（10 全国）已知圆 的半径为 1， 为该圆的两条切线， 为切点，OPBA, BA,则Error! Error!的最小值为_典型例题（二）：对于有明显的直角关系的向量问题-建立平面直角坐标系(与线性规划问题联系), 向量的几何法与代数法的转化例 1.（13 湖北）已知点 A（ 1，1） ，B（1,2）C（2，1） ，D（3,4） ，则向量Error!在Error!方向上的
21、投影为_例 2.（12 重庆）设 ，向量 ，则Ryx, cbacybxa /,)4,2(),(),( _ba例 3.已知点 ， 是坐标原点，点 的坐标满足 ，设 为Error!在Error!3,AO),(P023yxz上的投影，则 的取值范围_z例 4.（13 福建）在四边形 中，Error!=（1,2） ， Error!=（-4,2） ，则四边形的面积为_BCD例 5.（09 湖南）如图，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若Error!= Error!+ Error!，则 =_,xyx=_y例 6.已知 ， ，点 在1OA32,AOBkCAOB内，Error! Error!=0,若Error
22、!= Error!+ Error!，m 32C，则 _k例 7.（09 天津）若等边三角形的边长为 ，平面上一点 ，满足Error!= Error!+ Error!,32M6132则Error! Error!=_.例 8.（11 天津）已知直角梯形 中， ， 是腰 上的动ABCD,90,/ BCADCPD点，则|Error!+3 Error!|的最小值为 _例 9.(12 江苏) 如图，在矩形 中， ，点 为 的中点，点 在边 上，若2,BEFError! Error! ，则Error! Error!=_,210例 10.在直角三角形 中，点 是斜边 的中点，点 是线段 的中点，则ABCDAB
23、PCD_2PA例 11.（13 全国）已知正方形 的边长为 2， 为 的中点，则Error! Error!=_E例 12.（13 重庆）在平面上， ，若 ，则 的取2111 , ABPOBAB1OPA值范围是_例 13.（12 北京）已知正方形 的边长为 1，点 为 边上的动点，则Error! Error!=_CDError! Error!的最大值为_例 14.平面上三个向量Error!、 Error!、 Error!，满足 Error! Error!=0 则Error!,1,3,CError!的最大值为_例 15.已知三角形 中， ，点 是 内部或边界上一动点， 是边AB1,2,60BAMA
24、BN的中点，则Error! Error!的最大值为_BC例 16.（15 福建）已知 ，若点 P 是三角形 所在平面内一点，且tCt,C，则 的最大值为_AP4PB例 17.（09 全国）设是 a,b,c 单位向量，a b=0,则(a-c) (b-c)的最小值为_例 18.（13 湖南）已知 a,b 是单位向量，a b=0， 若向量 c 满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围_例 19.（11 辽宁）若 a,b,c 单位向量，a b=0, (a-c) (b-c) ，则|a+b-c| 的最大值为_0例 20.（11 全国）设向量 a,b,c， 满足|a|=|b|=1, a b= , ,则|c|的最大值为_2160,cba例 21.（14 安徽）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 a,b 是单位向量，a b=0， 若 Q 点满足,曲线 ，区域 ，)(2baOQ0,sincobOPCRrPr,若 为两段分离的曲线，则_CA. B. C. D.31RrRr3131r Rr31典型例题（三）：注意数量积与三角形面积、余弦定理、正弦定理的联系与三角函数的联系，与均值不等式的联系例 1.（10 辽宁）平面上三点 不共线，设Error! ，Error! ，则 的面积等于_BAO, abABC
