1、1如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）A （1, 0） B （2, 0） C （3, 0） D （1, 0）2圆心在抛物线 y 2=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）Ax 2+ y 2-x-2 y - 41=0 Bx 2+ y 2+x-2 y +1=0 C x2+ y 2-x-2 y +1=0 Dx 2+ y 2-x-2 y + 41=03抛物线 上一点到直线 042yx的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1 ） B （ 1,） C )9,23(D （2 ，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶 2m 时，水面宽 4m，
2、若水面下降 1m，则水面宽为（ ）A 6m B 2 6m C4.5m D9m5抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是 6，则抛物线的方程是 （ ）A y 2=-2x B y 2=-4x C y 2=2x D y 2=-4x 或 y 2=-36x6过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于 A(x1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果 x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）A8 B10 C6 D47过点 M（2，4）作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 （ ）A0 条 B1 条 C2 条 D3 条8过抛物线 y =ax2(a
3、0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q ，则 等于 （ ）A2 a B a21C4a D a49(2012西安月考)设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6 C8 D12解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为 x2，又由点 P 到 y 轴的距离为 4，可得点 P的横坐标 xP 4，由抛物线定义可知点 P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|x P x P242 6.p2答案 B10.(2011辽宁)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|
4、|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( )A. B1 C. D.34 54 74解析 设抛物线的准线为 l，作 AA1l 于 A1，BB1l 于 B1，由抛物线的定义知|AA 1| |BB1| |AF|BF|3 ，则 AB 的中点到 y 轴的距离为 (|AA1|BB 1|)12 .答案 C14 5411.(2011济南模拟)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3 C. D.172 5 92解析 由抛物线的定义知，点 P 到该抛物线的距离等于点 P 到其焦点的距离，因此点 P 到点(0,
5、2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和即为点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到焦点的距离之和，显然，当 P、F、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于 .答案 A(0 12)2 2 02 17212.已知 F 为抛物线 x22py (p0)的焦点，M 为其上一点，且|MF|2p，则直线 MF 的斜率为( )A B C D33 33 3 3解析 依题意，得 F ，准 线为 y ，过点 M 作 MN 垂直于准线于 N，过 F 作 FQ 垂直(0，p2) p2于 MN 于 Q，则|MN| |MF|2p，|MQ|p，故 MFQ30，即直线 MF 的倾斜角为 150或30，斜率
6、为 或 .答案 B33 3313.2014辽宁卷 已知点 A(2，3)在抛物线 C：y 22px 的准线上，记 C 的焦点为F，则直线 AF 的斜率为( )A B1 C D43 34 1213C解析 因为抛物线 C：y 22px 的准线为 x ，且点 A(2，3) 在准线上，故p22，p4， y28x ，焦点 F 的坐标为(2，0)，这时直线 AF 的斜率 kAF p2 3 0 2 2.3414. 设 F 为抛物线 C：y 23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB| ( )A. B6 C12 D7303 314C 15抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂
7、直于 x 轴，若 AB 的长为 4 ，则焦点到 AB 的距离为 16抛物线的焦点为椭圆 1492y的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 17.(2011南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过 P(2，4)的抛物线方程为_18.(2010浙江)设抛物线 y22px( p0)的焦点为 F，点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为_解析 17.点 P 在第三象限 当焦点在 x 轴负半轴上时 ，设方程为 y22px( p0)，把点P(2，4) 代入得：(4) 22p(2) ，解得 p4，抛物 线方程为 y28x.当焦点在y 轴负半轴上时，设方程
8、为 x22py(p0) ，把点 P(2，4)代入得：(2)22p(4)解得 p .抛物线方程为 x2y.综上可知抛物线方程为 y28x 或12x2y.18.抛物线的焦点 F 的坐标为 ，则线段 FA 的中点 B 的坐标为 ，代入抛物 线方程得(p2，0) (p4，1)12p ，解得 p ，故点 B 的坐标为 ，故点 B 到 该抛物线准线的距离为 p4 2 ( 24，1) 24 22. 答案 (1)y2 8x 或 x2y (2)324 32418. 已知抛物线 的焦点为 F，定点 A（3，2） ，在此抛物线上求一点 P，使|PA|+|PF|最小，则 P 点坐标为 （2，2） ）三、解答题（本大题
9、共 6 小题，共 76 分）19已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M（3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值 （12 分）20 如图，直线 l1和 l2相交于点 M，l 1l 2，点 Nl 1以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2的距离与到点 N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，|AM|= ，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程(14 分)21.设抛物线 C：y 24x，F 为 C 的焦点，过 F 的直线 L 与 C 相交于 A、B 两点(1)设 L 的斜率为 1，求|AB|的大小；(2)求证： 是一个定值OA
10、 OB (1)解 F(1,0) ，直线 L 的方程为 yx 1，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!得x26x10，x 1x 26，x 1x21.| AB| x2 x12 y2 y12 2x1 x22 4x1x2 8.2 36 4(2)证明 设直线 L 的方程为 xky1，由Error!得 y24ky40.y 1y 24k， y1y24， (x 1，y 1)， ( x2，y 2) x 1x2y 1y2(ky 11)OA OB OA OB (ky21) y 1y2 k2y1y2k (y1y 2)1y 1y24k 24k 2143. 是一个定值 OA OB xyBAO22.
11、 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求)0(2pxy这个正三角形的边长解：如图，设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上，且坐标分别为 、 ，),(1),(2则 ， 又|OA|OB|，所以 121pxy22pxy 221xy即 0)()(2121xp ， 0)()(2121xx ,2x21x由此可得 ，即线段 AB 关于 x 轴对称因为 x 轴垂直于 AB，且AOx 30，所|y以 所以 ， 30tan1x pyp3211 pyAB342|123. 顶点在坐标原点，焦点在 轴上的抛物线被直线 截得的弦长为 ，求抛xx15物线的方程 （ 或 ）y12424. 已知直
12、线 与抛物线 相交于 、 两点，若 ，bxpxy20ABOBA（ 为坐标原点）且 ，求抛物线的方程 （ ）O52AOBSxy2参考答案一选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D A B B A C C二填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）15 2 16 xy52 三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分）19 (12 分) 解析 ：设抛物线方程为 )0(2py，则焦点 F（ 0,2p） ，由题意可得5)23(2pm，解之得 46m或 ，故所求的抛物线方程为 yx82， 2的 值 为20 (14 分) 解析 ：如图建立坐标系，以 l1 为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴，点 O 为坐标原点由题意可知：曲线 C 是以点 N 为焦点，以 l2 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为 C 的端点设曲线段 C 的方程为 )0,(),02 pyBA，其中 BAx,分别为 A、B 的横坐标， MN所以， ),2()0,(NpM 由 17， 3得172(AAxx9)p联立解得 xA4将其代入式并由 p0 解得 14Axp，或 2A因为AMN 为锐角三角形，所以 Axp2，故舍去 2A p=4， 1x由点 B 在曲线段 C 上，得 4BN综上得曲线段 C 的方程为 )0,4(82yy
