1、1第三章 复变函数的积分(Integration of function of thecomplex variable)第一讲授课题目：3.1 复积分的概念3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.学时安排：2 学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合作业布置： 思考题：1、2、习题三：1-10765P板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分
2、定理三、 举例举例参考资料：1、 复变函数 ，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解 ，高等教育出版.3、 复变函数论 ， （钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005 年 5月.4、 复变函数与积分变换苏变萍 陈东立编，高2等教育出版社，2008 年 4月.课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：3.1 复积分的概念(The conception of complex integration)一、复变函数的积分的定义（Complex function of
3、 3the integral definition）定义（Definition）3.1 设在复平面上有一条连接 及A两点的光滑简单曲线 设 是在 上的BC),(),()yxivuzfC连续函数.其中 及 是 的实部及虚部.把曲线),(yxu,(v用分点 分成 个小弧段，其中CBzzAn.1210),(kyxzkyBznk1kzAz0O x在每个狐段上任取一点 ，作和式kk（1）)(11nkzf令 ，当 时，若（1）式的极限存在，且|max1knz0此极限值不依赖于 的选择，也不依赖于曲线 的分法，kkC则就称此极限值为 沿曲线 的积分.记作)(zfCCd)(lim110knkzf4当 沿曲线
4、的负方向（从 到 ）积分，记作)(zfCBACzfd)(当 沿闭曲线 的积分，记作 dzfC定理(Theorem)3.1 若 沿光滑简),(),()yxivu单曲线 连续，则 沿 可积，且C)(zf（2,d)(),(d,d)( yxyviyxvuzf C）证明： )(11knkzf )()(,(, 11 1knk kkk yixivu,)(,)(, ,(,(1111 111 nk kknkknk kknkk yuxvi v由 沿光滑简单曲线 连续，可知,(yivuzf C沿光滑简单曲线 也连续，当 时，有),yxv 00|ma11knk |max11knky于是上式右端的极限存在，且有 ,d)
5、(),(d),(),(d)( uviyvxyuzf CCC 二、复变函数积分的计算(Complex integration of computational problems)5设有光滑曲线 : tiyxtz t,C即 tz在 ,上连续且有不为零的导数 yixz.又设 f沿 连续.由公式(2)我们有dtytxvtytxu yuiz CCC , ),()(),()()( dduvi ,即 ,dtztfdzfc (3)或 Rezfcdtztfit Im (4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径 的C参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论
6、.例 1 计算 ，其中 是dzC（1） 从点 1到 的直线段 ；i1（2） 从点 1到 0的直线段 ，再从点 0到 得直线段 所2i3C连接成的折线段 .3C解：（1） ，有：)()(;111tittzC0002idtididzc（2） ，有：).():),()(: 312 itztt1010(32 dtdzdzccc6例 2 计算 其中 是dziIC(1)连接 的直线段；(2)连接 的单位圆的左半圆i到 i到(3)连接 的单位圆的右半圆到解：ititditidziIzi 120121,)1( 为为为ieditedziI，tzititit i223233,)2( 3 为为为为iedzItzit
7、ititi i)(0,)3( 22 为为为上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关例 3 ，其中 为任意整数， 为以 为中心，0nCzAC0z为半径的圆周.r解 的参数方程为 ，由公式得0,2izre722(1)1002 21 10 0cos()sin(),.i innnnCn ndzreidedirrA此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.例 4 计算 ，其中 为从原点到点 的直线段.Czd34i解： 此直线方程可写作或 . 3,01xtyt,01ztit在 上， ，于是(4)(34)zid.1 12220 034Cdtitdi因 C
8、Czxiydixy易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值，Czd不论是对怎样的连接原点到 的曲线，都等于 .34i2134i例 5 设 是圆 ，其中 是一个复数， 是一个C|z 正数，则按逆时针方向所取的积分 izdC2证明：令 ，ie8于是 ，diez从而 iiC20三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature)设 及 在简单曲线 上连续，则有)(zfg（1） 是 一 个 复 常 数其 中 kzfkCC,d)(d（2） ;d)()( Czgzf（3） nff.21其中曲线 是有光滑的曲线 连接而成；Cn,.1（4） Cz
9、fzfd)()(定理 3.2（积分估值） 如果在曲线 上， ，而CMzf是曲线 的长度，其中 及 都是有限的正数，那么有LML， （5）LdzfzfCC|)(|证明：因为 zzf knkknk |)(| 111两边取极限即可得： MLdffCC|(|例 6 试证： rzrz01lim230证:不妨设 ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，9因为在 上，rz rzrz rdzd242323 1|1上式右端当 时极限为 0，故左端极限也为 0，所以rzrdz1lim230本节重点掌握： （1）复变函数积分的计算；（2）复变函数积分的基本性质3.2 柯西积分定理（Cauchy integral t
10、heorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3 设 是在单连通区域 内的解析函)(zfD数，则 在 内沿任意一条闭曲线 的积分)(zfDC,0d)(Czf在这里沿 的积分是按反时针方向取的.此定理是 1825年 Cauchy给出的.1851 年 Riemann在 连续)(zf的假设下给出了简单证明如下 证明：已知 在单连通区域)(f内解析，所以 存在，设 在区域 内连续，可知 、D)(zf)(zfDu的一阶偏导数在区域 内连续，vDCCc udyvxidyuxd)(fC,为为 DyxcDyxc vvyudxGren 0)(,010有 0d)(Czf注 1: 此定理
11、证明假设“ 在区域 内连续” ，失去定)(zfD理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat）在 1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注 2: 若 是区域 的边界， 在单连通区域 内解析，CD)(zf在 上连续，则定理仍成立.D定理(Theorem)3.4 若 是在单连通区域 内的解析函)(zfD数， 、 是在 内连接 及 z两点的任意两条简单曲线，1C0则 1)(Cdzf2)(Cf证明：由柯西积分定理 1)(Czf2)(Cdzf021dzfC将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有 n+1条简单闭曲线 曲线 中每一条都在其余曲线的外区域内，,.,n1n,.1而且所有这些曲线都在的 内区域， 围成一个有界CnC,.1多连通区域 ， 及其边界构成一个闭区域 .设 f(z)在 上DD解析，那么令 表示 的全部边界，我们有0dzf)(其中积分是沿 按关于区域 的正向取的.即沿 按逆时针方C向，沿 按顺时针方向取积分；或者说当点沿着 C按所nC,.1
