1、平面向量经典习题汇总1.(北京理.2)已知向量 a、b 不共线，c a b R),d a b,如果 c d，那么 k(/（ ）A 且 c 与 d 同向 B 且 c 与 d 反向1k 1kC 且 c 与 d 同向 D 且 c 与 d 反向【解析】本题主要考查向量的共线（平行） 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.取 a ，b ，若 ，则 c a b ，d a b ，1,0,1k1,1,显然，a 与 b 不平行，排除 A、B. 若 ，则 c a b ，d a b ，k,即 c d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D./2.(北京文 .2)已知向量 ，如果 ，(1,0)(,)(),
2、ckRd/cd那么A 且 与 同向 B 且 与 反向kc 1kC 且 与 同向 D 且 与 反d向.【解析】本题主要考查向量的共线（平行） 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.a ，b ，若 ，则 c a b ，d a b ，1,0,1k1,1,显然，a 与 b 不平行，排除 A、B. 若 ，则 c a b ，d a b ，k,即 c d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D./3.(福建理 .9;文 .12)设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，a c a=c,则b c的值一定等于 w.wA 以 a，b 为两边的三角形面积 B
3、 以 b，c 为两边的三角形面积C以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 D 以 b，c 为邻边的平行四边形的面积【解析】依题意可得 故选 C.cos(,)sin(,)baSA4.(广东理 .6)一质点受到平面上的三个力 123,F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 1F， 2成 06角，且 ， 的大小分别为 2 和 4，则 3F的大小为 wA. 6 B. 2 C. 5 D. 27 w.w.w.k.s.5.u.【解析】 8)6018cos(2123 FF，所以 3F，选 D.5. (广东文 .3)已知平面向量 a= ，b= ， 则向量 ,x（ ） 2,x（ ） abA 平行于 轴 B.平行于
4、第一、三象限的角平分线 xC.平行于 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 y【解析】 ,由 及向量的性质可知,选 Cab2(0,1)x206.(湖北理 .4,文 7)函数 的图象 按向量 平移到 , 的函数cos()6yFaF解析式为 当 为奇函数时，向量 可以等于(),yfxfx.(,26A.,2)B.(,2)C.(,2)6D【解析】由平面向量平行规律可知，仅当 时，,a： = 为奇函数，故选 D.F()cos2()26fxsinx7. (湖北文 .1)若向量 a=（1，1） ，b=（-1,1） ，c=（4，2） ，则 c=A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b【解析
5、】由计算可得 故选 B(4,2)3ccb8.(湖南文 .4)如图 1， D， E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则( )A 0BCB C EFD 0 图 1【解析】 , ,ABDEBDEFC得 0ABEF，或 0CFA.故选 A.9.(辽宁理 ,文.3)平面向量 与 的夹角为 ， ，则 ab06(2,)|1ab|2|abFEDCBA图 1（） （） （）4 （）12323【解析】 ， ， ，1cos,ab|1b22()4abab， 。选 B42|310.(宁夏海南理.9)已知 O，N，P 在 所在平面内，且 ，且ABC,0OACNA，则点 O，N，P 依次是 的PB（A）
6、重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）【解析】;, 0OBOACNABCOABC由 知 为 的 外 心 ； 由 知 ， 为 的 重 心选 C0,PAPP， ，同 理 ， 为 C的 垂 心 ，11.(全国理 .6)设 、 、 是单位向量，且 0，则 的最小值abcabacb为 ( )（A） （B） （C） (D)22112【解析】 是单位向量 ,abc()acbabcAw.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,故选 D.|12os,121| cA12.(全国理 ,文.6) 已知向量 ， , ,则
7、(,)a0b|5ab（A） (B) (C) 5 (D) 2550【解析】将 平方即可,故选 C|2ab13.(山东理 .7;文.8)设 P 是ABC 所在平面内的一点， ，则（ 2BAP）A. B. C. D.0PAB0CA0P 0C【解析】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答因为 ，所以点 P2BA B C P 第 7 题图 为线段 AC 的中点，所以应该选 B。14.(陕西理 .8)在 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足学ABC,则科网 等于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2APM()P（A） （B） （C） (D) 494343
8、49【解析】 故选22()()9APCPHMA 是 的 一 个 三 等 分 点 ， 延 长 到 H， 使 得 M=,A15.(浙江文 .5)已知向量 ， 若向量 满足 ，(1,)a(,3)bc()/ab，则 （ ）()cabcA B C D7,937,97,39()【解析】不妨设 ，则 ，对于(,)Cmn1,2,(,1)acmnab，则有 ；又 ，则有 ，/cab3()()c30mn则有 故 D7,916.(重庆理 .4)已知 ，则向量 与向量 的夹角是（ 16,()2Aabab）A B C D643【解析】 故选 C2()6cos,121cos,abab17.(重庆文 .4)已知向量 若 与
9、 平行，则实数 的值(,),)xa+4bax是A-2 B0 C1 D2【解析】法 1:因为 ，所以 由(,),)abx(3,1)2(6,4),xx于 与 平行，得 ，解得 。ab4263(40法 2 因为 与 平行，则存在常数 ，使 ，()aba，根据向量共线的条件知，向量 与 共线，故 故选 D(1)() 2x二.填空题:1. (安徽理 .14)给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .OAB120o如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动.若 其中 ,则,OxAyB,xyRy的最大值是_.【解析】设 ，即,CxyABAOB01cos2()xy 0cos(1)cos3in
10、2si()26xy 2. (安徽文 .14)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC的中点，若 = + ,其中 , R ,则 _ .学科网ACF【解析】 11,22BDABAD， ，33()2EF()3CEF433.(广东理 .10)若平面向量 a， b满足 1， ba平行于 x轴， )1,2(b，则a. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 )0,1(b或 ),，则 )1,(,2)0,1(a或 )1,3(,2)0,(a.4. (湖南文.15) 如图 2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxByC，则x_， _ . 图 26045EDBCA【解析】作
11、 DFAB,设 12CBDE， 60B, 6,2D由 45解得 63,F故 31,x.y5. (江苏文理.2).已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量ab0o|2,|aba的数量积 = _。bab【解析】考查数量积的运算。 326.(江西理 .13)已知向量 ， ， ，若 ，则 = (3,1)a(,)b(,7)ck()acbk【解析】 6(,6)/5kack7.(江西文 .13)已知向量 ， ， ，若 则 = (3,1a(,)b(,2)ck()acbk【解析】因为 所以,)ck0k8.(天津理 .15)在四边形 ABCD 中， = =（1， 1） ，ABDC，则四边形 ABCD 的面
12、积是 13BAC【解析】因为 = =（ 1，1）,所以四边形 ABCD 为平行四边形,所以D13()BACBABC, 2,6AD即则四边形 ABCD 的面积为 16234S9.(天津文 .15)若等边 的边长为 ，平面内一点 M 满足ABC3,则 _.CABM3261MB【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 ),()0,(),这样利用向量关系式，求得 M ，然后求得)21,3(，运用数量积公式解得为-2.)5,(),213(BMA三.解答题:1.(广东理 .16) 已知向量 )2,(sina与 )cos,1(b互相垂直，其中 (0,)2（1）求 sin和 co的值；（2）若
13、10i(),2，求 cs的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 （1） a与 b互相垂直，则 0cos2inba，即 cos2sin，代入 1cossin22得 5cs,5sin，又 (,)，5,i.（2） 20， ， 2，则103)(sin1)cos(， cos2)in()co()( .2. (广东文 .16)已知向量 与 互相垂直，其中)2,(sina)cos,1(b)2,0(（1）求 和 的值sinco（2）若 ， ,求 的值cos53)cos(502cos【解析】 （） , ,即abvQin0gin2cos又 , ,即 ,2sinc1224cs12cs54i5又 ,5(
14、0,)sio(2) 5co(csin)5cos2in35cos, ,即sin2221s1又 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0cos3.(湖北理科 17.) 已知向量 (cs,in)(cos,in),(1,0)aabc（）求向量 的长度的最大值；b（）设 ，且 ，求 的值。a4()【解析】 （1）解法 1： 则cos1,in)=22|(cos)in(.b，即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2,0|4bc0|2.bc当 时，有 所以向量 的长度的最大值为 2.cs1|,解法 2： ， ，|=|c|c+当 时，有 ，即 ，cos|(2,0)b|2bc|=的长度的最大值为 2.
15、b（2）解法 1：由已知可得 (os1,in)c。()cossinc(cosAa， ，即 。 b+()0acs()由 ，得 ，即 。4so42()4kz,于是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22()4kkz或 ， cos0cs1或解法 2：若 ，则 ，又由 ， 得(,)2a(s,in)b(,0)c22()(,)(cos1,in)coiabc， ，即 +0ab(s1)0，平方后化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m sin1cosco解得 或 ，经检验， 即为所求01scos或4. (湖南理.16)在 ABC中，已知 2233ABCABC，求角A，B，C 的大小.【解析】设
16、,abc.由 23ABC得 2os3Abc，所以 3os2A.又 (0,)因此 6 .由 233得 23bca，于是 23sinsin4CB.所以 5sin()64C， 13si(coi)2，因此22ico3sin,is0，既 sin(2)03.由 6A知 506，所以 433C，从而,3C或 2,，既 ,6或 2,故B或 AB。5. (湖南文 16.)已知向量 (sin,co2sin),(12).ab（）若 /b，求 t的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若 |,0,ab求 的值。 【解析】 （） 因为 /，所以 2sinco2sin,于是 4sinco，故 1ta.4（）由
17、|ab知， 22i(si)5,所以 1sn45.从而 2i(cos2)，即 sin2cos1，于是 sin()4.又由 0知， 944，所以 52，或 724.因此 ，或 3.4 6. (江苏文理.15) 设向量 学(cos,in),(si,4co),(s,4in)ab科 （1）若 与 垂直，求 的值； 学科网a2bt（2）求 的最大值; 学科网|c（3）若 ，求证： .网tan16ab【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。7.(浙江理.18)在 中，角 所对的边分别为 ，且满足ABC, ,abc， 25cos3（I）求 的面积； （II）若 ，求 的值6bc
