1、数学备课大师 【全免费】http:/ http:/ Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015济宁模拟)已知向量 a=(1, ),b=(cos,sin),若 ab ,则tan=( )A. B. C.- D.-【解析】选 B.因为 ab,所以 sin- cos=0,即 sin= cos.故 tan= .2.已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(2sin B,-),n=(cos2B,2cos2 -1),且 mn,则锐角 B 的
2、值为 ( )数学备课大师 【全免费】http:/ http:/ B. C. D.【解题提示】根据 mn,转化为 B 的三角函数值后求解.【解析】选 D.因为 mn,所以 2sinB(2cos2 -1)=- cos2B,所以 sin2B=- cos2B,即 tan2B=- .又因为 B 为锐角,所以 2B(0,).所以 2B= ,所以 B= .3.(2015临沂模拟)若向量 a=(cos,sin),b=(cos,sin),则 a与 b 一定满足 ( )A.a 与 b 的夹角等于 - B.abC.ab D.(a+b)(a-b )【解题提示】欲求 a 与 b 满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判
3、断a 与 b 是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选 D.因为 ab=(cos,sin)(cos,sin)=cos(-),这表明这两个向量的夹角的余弦值为 cos(-).同时,也不能得出 a 与 b 的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)(a-b)=0,所以(a+b )(a-b).故选 D.4.已知 a= ,b=(cos,sin),(0,),则|a-b |的取值范围是( )数学备课大师 【全免费】http:/ http:/ B.(0,1 C.(0, ) D.(0, 【解析】选 C.因为 a-b= ,所以|a-b|= = ,因为 (0,),所以 ,cos (0,1).故|a-b|
4、(0, ).5.(2015郑州模拟)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cosC=, =-2 且 a+b=5,则 c 等于( )A. B. C.4 D.【解题提示】由已知 cosC= , =-2,利用数量积公式得到 ab=8,再利用余弦定理可得,c 2=a2+b2-2abcosC 可求 c.【解析】选 A.由已知 cosC= , =-2,得 bacos(-C)=-2bacosC=2,所以 ab=8,利用余弦定理可得,c 2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-28-4=5.所以 c= .故选 A.二、填空题6.在ABC 中,内角 A,B,
5、C 所对边分别为 a,b,c,已知 m=(1,2),数学备课大师 【全免费】http:/ http:/ mn ,mp ,则ABC 的形状是 .【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解析】由 mn 可得,b=2ccosA.由正弦定理可得 sinB=2sinCcosA,即 sin(A+C)=2sinCcosA.从而 sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故 sinAcosC-cosAsinC=0.即 sin(A-C)=0,又-b,则 AB,故 B= ,根据余弦定理,有(4 )2=52+c2-25c ,解得 c=1 或 c=-7(舍去).故向量 在 方向上的投影
6、为| |cosB= .答案:三、解答题9.(2015晋中模拟)已知向量 a=(sin x, ),b=(cos x,-1).(1)若(a+b)( a-b),求 cos2x 的值.数学备课大师 【全免费】http:/ http:/ ab,求 cos2x-sin2x 的值.【解析】(1) 因 为(a+b )(a-b),a+b=(sin x+cos x,- ),a-b=(sin x-cos x, ),所以(a+b )(a-b)=sin2x-cos2x- =0,即 cos2x=- .(2)因为 ab,所以-sin x- cos x=0,即 tan x=- ,所以 cos2x-sin2x= = .10.已
7、知向量 a=（sin(x+ ),sin x）,b =(cos x,-sin x),函数 f(x)=m(ab+ sin2x),m 为正实数.(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)将函数 f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移 个单位得到 y=g(x)的图象,试探讨:当 x0,时,函数 y=g(x)与 y=1 的图象的交点个数.【解析】(1)f(x)=m( ab+ sin2x)=msin(x+ )cos x-sin2x+ sin2x=m(cos2x-sin2x+ sin2x)数学备课大师 【全免费】http:/ http:/ ).由 m0 知,函数
8、 f(x)的最小正周期 T=.又 2k+ 2x+ 2k+ (kZ),解得 k+ xk+ (kZ).所以函数的递减区间是k+ ,k+ (kZ).(2)将函数 f(x)的图象横坐标扩大到原来的两倍,得 y=2msin(x+ ),再向右平移 个单位,得 y=2msin(x- )+ ,所以:g(x)=2msin x.由 0x 及 m0 得 0g(x)2m,所以当 0 时,y=g(x) 与 y=1 有两个公共点.11.(2015保定模拟)ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC- ),且 mn.(1)求 A 的大小.(2
9、)现给出下列四个条件:a=1;b=2sinB;2c-( +1)b=0;B=45.试从中再选择两个条件以确定ABC,求出你所确定的ABC 的面积.【解析】(1) 因 为 mn,所以-cosBcosC+sinBsinC- =0,数学备课大师 【全免费】http:/ http:/ cosBcosC-sinBsinC=- ,cos(B+C)=- ,因为 A+B+C=180,所以 cos(B+C)=-cosA,所以 cosA= ,又 0A180,所以 A=30.(2)选择 可确定ABC.因为 A=30,a=1,2c-( +1)b=0,由余弦定理 12=b2+ -2b bcos30,整理得 b2=2,b=
10、 ,c= .所以 SABC= bcsinA= = .【一题多解】(2)选择可确定 ABC.因为 A=30,a=1,B=45,所以 C=105.因为 sin105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45= ,由正弦定理 = ,得 b= = = ,所以 SABC= absinC= 1 = .12.已知向量 a=(cos,sin),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),其中 0x.数学备课大师 【全免费】http:/ http:/ = ,求函数 f(x)=bc 的最小值及相应 x 的值.(2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 ac,求 t
11、an2 的值.【解析】(1) 因 为 b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),= ,所以 f(x)=bc=cosxsinx+2cosxsin+sinxcosx+2sinxcos=2sinxcosx+ (sinx+cosx).令 t=sinx+cosx ,则 2sinxcosx=t2-1,且-1t .则 y=t2+ t-1= - ,-1t ,所以 t=- 时,y min=- ,此时 sinx+cosx=- ,即 sin =- ,因为 x,所以 x+ ,所以 x+ = ,所以 x= .所以函数 f(x)的最小值为- ,相应 x 的值为 .(2)因为 a 与 b 的夹角为 ,数学备课大师 【全免费】http:/ http:/ cos = =coscosx+sinsinx=cos(x-).因为 0x,所以 0x-,所以 x-= .因为 ac,所以 cos(sinx+2sin)+sin(cosx+2cos)=0,所以 sin(x+)+2sin2=0,即 sin +2sin2=0.所以 sin2+ cos2=0,所以 tan2=- .关闭 Word 文档返回原板块
