1、 函数专题 1、函数的基本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）3、如何求一个函数的解析式。 （常见方法有哪些）4、如何求函数的值域。 （常见题型对应的常见方法）5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）6、函数的对称性（包括奇偶性） 、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当
2、且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）= ，g（x）= ；23（2）f（x）= ，g（x）=|;01,x（3）f（x）= ，g（x）=（ ） 2n1 （nN *） ；12n（4）f（x）= ，g（x ）= ；x（5）f（x）=x 22x1，g（t ）= t22t1.二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量 x 的范围）1、求下列函数的定义域：(1) (2) (3) (4) 21x42xxy1241xx(5) (8) （为常数）3423a2、 （1）已知 f(x)的定义域为 1，2
3、，求 f (2x-1)的定义域；（2）已知 f (2x-1)的定义域为 1，2 ，求 f(x)的定义域；3、若函数 的定义域为1，1 ，求函数 的定义域)(fy)41y)(xf5、已知函数 的定义域为 R，求实数 k 的取值范围。682kx三、函数的解析式求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法） 、解方程法、1、换元（或代换）法：1、已知 求 .,1)(2xxf)(f2、已知（ ） ，求()的解析式xx3、已知函数 ，求函数 ， 的解析式。2(1)4ff(21)fx2、待定系数法1、已知函数（）是一次函数，且满足关系式 3（1）（1），求() 的解析式2、已知 是二次函数，且
4、，求 的解析式。()fx 2(1)(4fxfx()fx3、解方程法(1)、已知函数 )(f满足 ff3)(2，求 )(f（2） 、已知函数 x为偶函数， 为奇函数，且 x+ =xgg1求 )(xf、 g3、已知函数 满足 ，则 = 。()f2()34fxx()fx4、设 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则当 时 =_ _x0,)31)(,0)x(fx在 R 上的解析式为 ()f5、设 与 的定义域是 ， 是偶函数， 是奇函数，且 ，x()g|,xR且 ()fx()gx1()fxg求 与 的解析式()f四、函数值域的求法1、配方法：对于求二次函数 或可转化为形如 的函数的2(0)yaxbc2(
5、)()()0)fxagbxca值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解.例 1：求二次函数 （ ）的值域.24y1,4例 2：求函数 的值域. 3xe例 3：求函数 的最大值与最小值。,2、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解.例 6：（整体换元） 已知 ，求函数 的值域.0,2x12()435xxf3、不等式法：例 11：求函数 （ ）的值域 .5()1fx例 14：求函数 的值域. 2xy7、数形
6、结合法：例 29：求函数 的值域.3例 30：求函数 的值域。 （答案：14,题型补充：5、函数的单调性1函数单调性的定义：2. 证明函数单调性的一般方法: 定义法：设 ；作差 （一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式2121,xAx且 )(21xff的正或负号能清楚地判断出） ；判断正负号。用导数证明： 若 在某个区间 A 内有导数，则)(f ()0f， )A（在 A 内为增函数； 在 A 内为减函数。)(xf 0)(xf， （x3. 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。4.复合函数 在公共定义域上的单调性：)(xgfy若 f 与 g 的单调性相同，则 为增函数；)(xgf若
7、f 与 g 的单调性相反，则 为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。5一些有用的结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 增函数 是增函数；)(xf)(xg减函数 减函数 是减函数；增函数 减函数 是增函数；)(xf)(x减函数 增函数 是减函数。g函数 在 上单调递增；在 上是单调)0,(baxy,ba或 ,0ba或 ，递减。1、函数 在区间 为减函数，则实数 的取值范围是（ ）24)(2f )6,(aA B C D3a3a3a32、函数 与函数 在区间1，2上都是减函数，则实数 的取值范围是（ ）xxf)(21)(xf
8、aA B C D 1,0,0,),0(1,0(3已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ）1.log)2()xxafaRaA B C D 21,0()1,()2,3)1,36、写出函数 的单调区间，并指出在相应区间上函数的单调性21log3yx9、11、已知函数 有如下性质：如果常数 0，那么该函数在 0， 上是减函数，在 ，()fxaa(aa上是增函数)（1）如果函数 （ 0）的值域为 6， ，求 的值；()fxb2)b（2）求函数 ( 0) 在区间 上的最小值；xc1,2（3）研究函数 （常数 0）在定义域内的单调性，并说明理由；()f2xc（4）对函数 和 （常数 0）作出推广
9、，使它们都是你所推广的函数的特例研xa()f2xa究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） 12、 已知 ，且 。 （1）设 g（x）=ff（x），求 g（x）的解析式；cf2)( )()2ff（2） 设 ， 试 问 是 否 存 在 实 数 ， 使 在 （ - ， -1） 递 减 ， 且 在 （ -1， 0） 上 递 增 ？()xgx)(六、对称性和周期性函数的对称性(1).函数 关于直线 x=a 成轴对称的充要条件是： (与函数的周期性区)(xf )-2xaffxafx或分开). (2).函数 关于点(a,b)对称的充要条件是： 或)(f bf)()bff2)()(3).与函数 关于
10、直线 对称的函数解析式为： .xya2xafy(4). 与函数 关于点（a,b ）对称的函数解析式为： .)(f )(函数周期性1周期函数的定义:对于函数 ,若存在一个不为零的常数 T,使得 的每一个 值都有)(DxfDx成立,则称 为周期函数,常数 T 叫做 的最小正周期.若所有的周期中存在一个最小的周期 ,则)(xfTf) )(xf这个最小的正数称为这个函数的最小正周期.2根据函数的对称性判断函数的周期1.若 ，则函数 是周期函数， b-a 是它的一个周期。)()(bacxfacxf )(xf2若 ，则函数 是周期函数，2a 是它的一个周期。)f一、对称性练习1 已知 是奇函数，当 时，
11、,求 的解析式.2 已知 是偶函数，当 时， ,求 的解析式.3 已知函数的 图象与函数 的图象关于原点成中心对称, 求 的解析式。4 设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称，若当 x1 时， y=x21，求当 x1 时, , f(x)的解析式. 5 设 , 求 关于直线 对称的曲线的解析式. 6 已知函数 是偶函数，且 x(0,+)时有 f(x)= , 求当 x(,2)时, 求 1的解析式. 7 已知函数 是偶函数，当 时， 又 的图象关于直线 对称，求 在的解析式. 定义在 上的偶函数 满足 且当 时, .（1）求的单调区间;（2）求 的值.二、周期性练习1、已知函数 对任意实数
12、 ,都有 ,则 是以 为周期的函数；xfyxxfafxfy4、已知函数 对任意实数 ,都有 ，则 是以 为周期的函数b5、已知函数 对任意实数 ,都有 f(xm)f(xm), 则 是 的一个周期.xfyx xfy8设 是定义在（-,+）上的函数，对一切 R 均有 ，当 1 时，求当 时，函数 的解析式。三、真题模拟1、设 是定义在 R 上的偶函数，对任意 ，都有 且当 时，()fxx(2)(),fxf2,0x若在区间 内关于 的方程 恰有 3 个不同的实数根，则实数12(2,6)log01a的取值范围是aA B C D(,)(,)3(1,4)3(4,2)2、设函数 是定义在 R 上周期为 3
13、的奇函数，且 ，则 xf f01(ff3、设 为定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数） ，则 () 0x()2xb1)f4、已知 是以 2 为周期的偶函数，当 时， ，且在 内，关于 的方程fx ,1f1,3x（ ， ）有四个根，求 的取值范围1fxkkR1k七、函数零点下列函数中在，上有零点的是（ ）A. B.543)(2xxf 5)(3xfC. D.6ln 6e若方程 在(0,1)内恰有一个实根，则 的取值范围是（ ）012xa aA. B. C. D.),(),()1,(,0函数 ，若 ，则 在 上零点的个数为cbxxf2 20ff )(xf2,1（ ）A.至多有一个 B.有一个或两
14、个 C.有且只有一个 D.一个也没有4函数 零点所在大致区间是（ ）3log)(xxfA.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)5已知函数 是上的奇函数，其零点 ， ，则 。)(xfy1x207x20721x6一次函数 在，无零点，则 取值范围为m1m7函数 有两个零点，且都大于，求 的取值范围。xxf 5)2()(28判断 x33x10 在（0，1）内是否有解。9函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围。1)(2xaf a10.关于 的二次方程 ，若方程式有两根，其中一根在区间 内，另一根在(1,2)内，x0122mx )0,1(求 的范围。6.解m 454520)5(4)
15、2(0 mf 或八、函数的图像1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势） ；描点连线，画出函数的图象。 2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：（1）水平平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向左 或向()yfxa()yfx(0)a右 平移 个单位即可得到；(0)a|（2）竖直平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向上 或向下 平移()yfxa()yfx(0)a()个单位即可得到| y=f(
16、x) y=f(x+h); y=f(x) y=f(xh);h左 移h右 移y=f(x) y=f(x)+h; y=f(x) y=f(x)h.上 移 下 移5对称变换：（1）函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到；()yfx()yfxy（2）函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到；()yfx()yfx（3）函数 的图像可以将函数 的图像关于原点对称即可得到；（4）函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称得到1()yfx()yfxyxy=f(x) y= f(x); y=f(x) y=f(x);轴x轴y=f(x) y=f(2ax); y=f(x) y=f1(x); a直 线
17、xy直 线y=f(x) y= f(x).原 点6翻折变换：（1）函数 的图像可以将函数 的图像的 轴下方部分沿 轴翻折到 轴上方，|()|yfx()yfxx去掉原 轴下方部分，并保留 的 轴上方部分即可得到；x（2）函数 的图像可以将函数 的图像右边沿 轴翻折到 轴左边替代原 轴左边部分并保留(|)yf()yfxyy在 轴右边部分即可得到()fx y=f(x) cbaoy xy=|f(x)| cbaoy xy=f(|x|) cbaoyx7伸缩变换：（1）函数 的图像可以将函数 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长()yf0()yf或压缩（ ）为原来的 倍得到；()a01aa（2）函数 的图像可
18、以将函数 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 或压缩()yfx()yfx (1)a（ ）为原来的 倍得到01ay=f(x) y=f( ); y=f(x) y=f(x).x y以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点1、说明由函数 的图像经过怎样的图像变换得到函数 的图像2xy 321xy2设函数 y=f(x)定义在实数集上，则函数 y=f(x1)与 y= f(1x)的图象关于（ ）对称A.直线 x=0 B.直线 x=1 C.点(0,0) D.点(1,0)3在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确的是（ ）Ay=|log 2x| B.y=
19、2|x| C.y=log0.5x2 D.y=|x1/3| oy x oyx oyx oyx4已知函数 y=f(x)的图象如图，则 y=f(1x)的图象是 （ ）11-1oy x A11-1oy xB-2 1-1oy xC11-1oy xD11-1oy x5画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2) 23y6、.说出作出函数 y=log2(1x) 的图象的过程。7方程|x 2+2x3|=a(x2)有四个实数根，求实数 a 的取值范围。8讨论方程 =kx 的实数根的个数。|1|x9、分别画出下列函数的图像：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） yx2yx23yxlg1yx23
20、1xy10、若函数 的图像关于直线 对称，求常数 的值2log3fxa2xa11、已知 是以 2 为周期的偶函数，当 时， ，且在 内，关于 的方程fx 0,1xfx1,3xx（ ， ）有四个根，求 的取值范围1fkkR1k12、 是定义在 上的函数fxR（1）若 是偶函数且周期为 2当 时， ，求 在 上的解析式；f 0,1x1fxfx1,2（2）若 是奇函数， 当 时， ，求 在 上的解析式fx1fxf,2ff,x拓展练习：1设 、 ，定义在区间 上的函数 的值域是 ，若关于 的方程mRn,nm|)4(log)(2xxf2,0t（ ）有实数解，则 的取值范围是 _02|t t 2设函数 是定义在 上以 为周期的函数，若函数 在区间 上的值域为 ，)(xfy1xfxg2)(3,6,2则 在区间 上的值域为（ ）)(xg12,
