1、注重挖掘代数式的几何意义姜堰市励才 实验学校 张网军 225500数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应的几何性质使问题得以解决，以形助数，往往能达到异想不到的妙处。笔者在高三复习不等式证明时对此深有感触，加以整理与大家共享。对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义：（1） 表示两点间的距离或向量的模；（2） 表示过2xayb ybxa点 与 直线的斜率；（3） 与直线 的截距有关；,y, AxBy0xC（4） 表示单位圆 上的任意一点；（5） 与cosinP2122余弦定理有关，在解题过程可以利用这些式子的几何意义达到简化不等式证明的目的。例 1已
2、知 ，求证：,Rabcd。2222abd分析：此题可利用距离公式与三角形的性质加以解决。解：设 ，则点 在第一象限，点 在第三象限,ABcAB ，22Oab22acd若 三点不共线，则在 中，, OBA若 三点共线，则综上所述， ，即AB2222abcdacbd例 2已知 ，且 ，求证： 。,Rxyzxyz23xyz分析： 表示平面 上任意一点到空间直角坐标系原点2距离平方，最小值为原点 O 到平面 的距离。a解：设点 为平面 ： 上任意一点，则原点 O 到平面,Pxyzxyz的距离为 ，则由平面 外一点 O 与平面 上221031ad任意一点的连线中垂线段最短知： Pd所以 ，即 。223x
3、yz22axyz例 3设函数 ，且 ，求证： 。2()1fab()fba分析：此题只要证明过点 的直线的斜率,(),()AafBbf的绝对值小于 1。()fabk解：设 为函数 图象上两点，则,()AfBfb2()1fx，而函数 的图象是双曲线 的上半()fab2x21yx支再直线 AB 的方程为 ，联立方程组ykb消去 得 ，21yxkbx22110yb直线 AB 与双曲线 的上半支交于 A、B 两点y （等号不可同时成立） ，,AByy ， ，即 ，故210k21k1k()1fab所以 。()fab例 4已知 ，且 ，求证： 。,Rcd22,abcdcd分析 1：方程 都表示以原点为圆心的单位圆，故可利21,用圆的参数方程解题。解：设 cos,in,cos,in,(0,)2ab则 id显然 1分析 2：此题也可利用向量的数量积与模之间的关系（ ）解xy决。解：设向量 ，则,xabycdxyacbd 2211 acd不等式的证明是高中数学的一个难点，我们在要求学生掌握基本证明方法的基础上，如能象上面的几题一样关注代数式的几何意义，可能一方面简化了证明，更重要的是拓宽了学生的思路，尤其是对于高三复习课有助于提高学生综合运用知识解决问题的能力，同时体现了数形结合这一重要的数学思想的运用。
