1、问题探究重在本质透视由 2014 年两道浙江考题想到的浙江省 平湖中学 毛良忠2014 年高考已经落下帷幕，各省市的高考试题中都努力体现了新课改理念。不在难偏上考倒学生，更多地注重数学思想方法的考查，试题设计关注宽角度、多视点、有层次地考查了数学的理性思维能力，同时也很好地考查了学生对数学本质的理解能力和数学素养及潜能。浙江省每年高考都带给我们数学教师许多期盼，一方面希望能“雅俗共赏”，让更多的学生考出好成绩；另一方面则希望能出现一些有新意、能品味后“留有余香”为我们的教学“津津乐道”的好题。认真研读浙江省数学文理两份考题，可圈可点的题很多，其中笔者尤感兴趣的是文科第 9 题，第 10 题（理
2、科第 17 题） ，它可称是整卷的一大亮点下面就这两道漂亮题谈一些解题感受. 案例 1 （2014 年浙江文 9） 设 为两个非零向量 ， 的夹角已知对任意实数 ，abt的最小值为 1 （ ）|atbA若 确定，则 唯一确定 B若 确定，则 唯一确定|a|bC若 确定，则 唯一确定 D若 确定，则 唯一确定|考题解说：本题既传统又新颖，有明显的浙江特色表述简洁，选项对称优美。本题以几何为背景，以向量为载体，入口宽阔，解法多样；紧扣概念，体现本质；立意清晰，背景深刻；渗透思想，能力到位，是一道难得的好题重点考查了向量的加法，数乘运算，模长知识，以及综合运用能力 同时考查同时考查 “化归与转化”
3、， “数形结合”等思想方法。今年高考学生普遍反映数学不好做，可能更多地卡壳在读题审题上。此题中条件 t 的任意性，模最小值的确定性，选项中指定量的确定，相关量的唯一确定这些概念的能否准确理解都将直接影响学生是否能成功解题。在仔细审题后我们可挖掘出问题蕴含的两个线索：显性条件：（1）本题涉及四个向量 、 、 、 ；（2） 的最小值为 ；abtat|atb1（3） 为两个非零向量 、 的夹角ab隐性条件： 与 不共线 （ ） 。理由：若 与 共线，则存在唯一的实数0ab使得 ，则 ，此时当 时， 的最小值为 0，与已ab|)(|attb0t|t知条件 的最小值为 矛盾，所以 与 不共线|t1b如果
4、我们真切地感受到了上面两个信息，那么下面的几种解题想法应该也是自然的。策略分析 1（函数视角）：利用模运算，构建目标函数。将条件（2） 的最小|atb值为 1 表征等价于 的最小值为 1于是2|atb2|atb2 |)cos|(| tta sin|)cos|(ta当 时， ，即|abtmin2|tb2i|b11i|b又 所以 ，当 确定，则 唯一确定，选择0si1| .B惊喜发现， 取最小值时， ，即|atbatb)(0|cos2abatb点评：此法中向量模的计算表征为向量数量积的运算，起到平面向量问题代数化的目的。 计算过程中认清变量 为主元，转化为二次函数问题，起点较低，计算稍显复杂，惊t
5、喜发现的垂直关系预示着本题可用几何法解决，做到代数几何的完美统一策略分析 2（建系视角）：建立坐标系，引入坐标运算。 如图建立坐标系，以 为坐标原点 ，OaAbOB设 )sin|,co|(),0(, bBaA )sin|,cos|(att222|)s| tbt 22|ba，即i|)co|(at min|tbsi|b11si|又 所以 ，当 确定，则 唯一确定，选择0sin1| .B点评：此法运用平面向量基本定理，以 ， 为基底进行表征，本质和解法一相同ij策略分析 3（模角运算）：利用向量数量积如图 ， ， 则aOAbBatCatbO设 为与 垂直的单位向量，设eEE的最小值为 ， 即|atb
6、1 ebatatb)(cos|即 所以 ， 当 确定，则 唯一确定，故选择sin|)2cos(|bin1| |OyxabABOAaBCEbetbOABPCatbt.B点评：此法运用平面向量数量积，充分体现向量运算的灵活性，有一定的几何味道，计算简便 策略分析 4（几何渗透）：几何探路，数形结合（1）设 ， ， 由图知，bOAaBtAP点 的轨迹在直线 上， 的最小值为 ，即 的最小值为 1,由几何意义知点P|1|P到直线 的距离为 1, 由图在 中， ，当 确定，则 唯一确定，OCRTsin|b|b选择 .B（2）逆向思考，整体把握如图设 ，直线 以 为方向向量，则在平面内到 距离为 的直线有
7、两条 ，aOAaOA1ll若 时， ，则 或 此时lBb1sin|b1)sin(|batBC所以 ，当 确定，则 唯一确定，故选择 当 时同理可得。sin1| .l点评：今年的这道向量题网上评论很多，众所纷纭中感受到高考真的“爱”你不容易！事实上此题我们浙江省十年前就有过“相约”，只是命题者对向量的偏爱和爱恋在 2014 年将它演绎的更加唯美和极致。让我们重温 2005 年这样的一道姊妹题：（2005 年浙江理科第 10 题）已知向量 ， ，满足对任意的 ，恒有ea1Rt，则（ ）A B C D|eat)()(ea)()(解析：如图 ， ， 点 的轨迹在直线 ，即直线 上，aOeEtOOEl因
8、为eAE eaBA|eat所以 ，即 ，所以 直线|B|l 1OAaBCBllOAaBett即： ，故选择 )(eaC此时再回首看 2014 年浙江文科第 9 题，你是否有一种“似曾相识燕归来”的感觉 此题几何法的求解策略关键在于投影及距离概念的突现。事实上，此法并不是空穴而来，在人教版教材中，点到直线的距离问题有两处涉及。根据编著者的编写意图，分别在向量内容之前与向量之后呈现 如必修 2 中，证明点 到直线106P7),(0yxP的距离公式为0:CByAxl 2|BACyxd简证：设 为直线 上任意一点，),(1yxPl直线 的法向量为 ，l ),(BnPn1,则 |cos|1Pd|1 21
9、0|),(),|BAyx，这正是分析 3 解法的由来210|)(|BAyxyx20|Cy又如选修 2-1 第 87 页， 直线的向量式方程：空间中，若点 在直线 外，OAB点 在直线 上 存在唯一的实数 ，使得 PttP此问中 的最小值为 1 点 到直线 的距离为 1这正是分析 4 的由|ABtOOAB来解题反思：这几年浙江省向量题都编制的非常漂亮，一个原因是它的解题途径多，很好地考查了不同层次学生对知识的掌握和理解程度；另一个原因是基于向量具有代数与几何的双重身份这一特征，向量的学习应渗透数形结合思想。向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，因此有关向量问题的解决中，一方面，我们可以根据向量的
10、有关运算律、公式解决问题；另一方面，可以结合向量的几何意义，做出相应的图形，运用数形结合的思想，寻找解决问题的途径，从而解决问题。 作为高中平面向量的学习价值就体现在，向量学习能够促进学生对代数、几何关系的理解，运用几何问题代数化，代数问题几何化的方法多角度进行思维，从这个意义上讲，向量学习的核心思想就是体会数形结合思想。 本题将向量的几何表征发挥得淋漓尽致，让学生感受到向量是刻画经典几何模型的重要工具，同时引导一线教师在平时教学中重视向量的几何表征。yxP1Pnd从这个意义上说一张好的高考卷能指导我们的教育和教学学习“不是掐头去尾烧中段”盲目地大运动量的练习，只会使更多的学生失去数学学习的兴
11、趣，失去对数学本真的理解。在平时的教学中，我们是否真切地关注数学问题解决后的再回顾反思，是否真正关注问题的本质透视，在今年的浙江高考中下面这个考题估计也让学生折腾了很久，纠结了许久。案例 2：浙江高考文科 10.（理科 17）如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的ABC点 处进行射击训练，已知点 刀枪面对而距离为 ，某目标点 沿墙面上的射线AAABP移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小（仰角CMP为直线 与平面 所成的角） ，若 ， ， ，则PBCm15C230M的最大值是（ ）A. B. C. tan53010394D. 935作为小题的压轴，学生心态是好的做不
12、好，做不了没关系。本来应用问题不是我的强项，这样的空间问题不是自己的“菜” 。此题难道真的很难吗？可能更多的学生是输在心态上，事实上我们可以这样思考：首先确定“我要干什么”明确任务：求角的正切值的最值。先找到仰角仰角为直线 与平面 所成的角。其次明了 “我的主要问题是什么”转化为边的APBC比值问题( 如何找边，它们有没有内在联系？ )，最后“它是我的菜吗 ”划归为自己熟悉的问题，干掉它！下面的两种方法是大家最拿手的：解法 1：直接计算 PD 与 AD ，转化为函数求值问题过 P 作 由于 则 DBCBCMA仰 PDABC仰在 中A仰A04,15=20=3cos5PD， ， 得 ， ， 2=,
13、3,3465PDxCx设2 21tan 4036534065PDxAx（当 时 取最大值）max5t921xtan从仰角的定义看出 它实际就是 直线 AP 直线与平面 ABC 所成的角。于是可仰以利用建系法求解。解法 2： 建立如图空间直角坐标系 易得设 由于20(15,0)(,)(,)3ACM(,)PxyzC,P,M 三点共线，则 于是,xy，平面 ABC 的法向量为 (15,)Pyz (0,1)n22sinco,15zAPny当2222 22sin 1taco5640365403zzyzz时 取最大值 。1532ztan39上面的两个解法有一个共同点：通过不同的途径最终都转化为一个函数表达
14、式，在适当的变形后求得最大值。这样的一个问题似乎已经解决，但作为来源于现实生活的数学如何回归服务于实际最大仰角如何找呢？显然上面两种方法只是找到数值，没有真正体现出找的途径和方法。循着这样的一个问题解决的目的，下面我们换个途径进行探求。解法 3：由解法 1 知 在 中 由正弦定理得tan3PDCAACDBA CPDM所以 于是sinsiCDAsin5sin3CDACD有了这样的一个变式后 的最大值5ta35tansi3ta就直接转化为 的最大值问题，显然当且仅当 时 的最大值为siCA09Atn。59上面的求解过程呈现了两大优势：（1）与解法 1,2 相比运算更简洁漂亮 （2）最大值的得出过程
15、直接呈现了最大仰角的位置先过 A 作 交 BC 于DCAD，再过 D 作 交 MC 于 P，此时点 P 就是所求的最值点。 （也即过点 A 与 AC 垂PBC直的平面与直线 MC 的交点就是所求的点 P） 。反思上面三种解法，方法 1，2 有类似处最终都转化为分式值域问题，其实方法 1 和方法 3 都用到了 ，但看待问题的角度tanP或者策略不一直接影响了解题的效度，这里数学的整体思想、化归思想起了很大作用。进一步地，如果将垂直水平地面 ABC 的墙改为一个斜坡，上面结论也成立。 （证明方法可类比解法 3）数学来源于生活，更应服务于实际生活。数学的教学不应是高难度知识的传授和众多厌学生陪衬下的精英教学。数学学习方法的习得应该是自然的，这就需要我们教师关注学生的思维起点，通过典型问题的思维碰撞，切实内化为学生的知识，在教师适时的引导下透视问题的本质所在，用数学的眼光看问题，用数学的思维审视学习（问题解决）的过程。上面两个高考题解决过程的解读希望能共同关注课堂教学，关注师生的教学和学习行为，真正达成快乐学习，学有用的数学。
