1、1第四章 向量组的线性相关性1设 ,TTTvvv )04,3(,)1,0(,)1,(2求 及 .23解 1 ,T),( T),(32v 0,43(1,021, T)123T),0(2设 其中 ,)(5)(321 aa T)35,(1, ,求Ta5,T1,43解 由 整理得)(6321 )1,4()0,(2),6 TTT)4,3举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组 是线性相关的,则 可由 线性表示.ma,21 1a,2m(2)若有不全为 0 的数 使21 01 ba成立,则 线性相关, 亦线性相关., m,(3)若只有当 全为 0 时,等式m21 11 才能成立,则 线性无关, 亦线性无关
2、.a, b,1(4)若 线性相关, 亦线性相关,则有不全为 0 的数,a, b使m21 01 mm同时成立.解 (1) 设 ),(e032aa满足 线性相关,但 不能由 线性表示.m,21 1a,2ma(2) 有不全为零的数 使,22011 mmba原式可化为 0)()(1 bba取 eee ,221其中 为单位向量,则上式成立,而m, 均线性相关ma 1(3) 由 (仅当 )01 mba 01m线性无关b,2取 02取 为线性无关组mb,1满足以上条件,但不能说是 线性无关的.ma,21(4) Ta),(T),(2Tb)3(T)4,0(2与题设矛盾.212140b14设 ,证明向量组1443
3、3221 , abaa线性相关.4321,证明 设有 使得43,x则0bbx 0)()()()( 1443221 axaaa 43214 (1) 若 线性相关 ,则存在不全为零的数 ,43, 432,k; ; ; ;1xk2xk3k4k由 不全为零,知 不全为零,即 线性相2, 21,x1,b关.(2) 若 线性无关 ,则 0104321x4321,a43214x3由 知此齐次方程存在非零解010则 线性相关.4321,b综合得证.5设 ,且向量组rraaba 212121,线性无关,证明向量组 线性无关.ra,21 b,证明 设 则0rkbk prpr k)()()( 221 0ra因向量组
4、 线性无关,故ra,021rrk 01021 rk因为 故方程组只有零解101 则 所以 线性无关21rkk rb,216利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ; (2) .482035197 1401325解 (1) 482035197132r5302754234r0031475所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.(2) 140151432r2015，432r0025所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组7求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) , , ;41a0928243a(2) , , .)3,(1T )65,1(2T )7,431(3T解 (1)
5、线性相关.31由 8240932Ta 029秩为 2,一组最大线性无关组为 .21,a(2) 74316532Ta 105089301895秩为 2,最大线性无关组为 .Ta21,8设 是一组 维向量,已知 维单位坐标向量na,21 n能e由它们线性表示,证明 线性无关.a,21证明 维单位向量 线性无关ne不妨设: nnn akake 21221211所以 TnTnTnTakke 21211两边取行列式，得由TnTnTnakke 2121212 021Tnae即 维向量组 所构成矩阵的秩为,故 线性无关.a,219设 是一组 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件n,是：任一 维向量都可由它
6、们线性表示.证明 设 为一组 维单位向量，对于任意 维向量,21 n则有 即任一 维向量都Tnka),( nkka21可由单位向量线性表示.线性无关，且 能由单位向量线性表示，必 要 性,21 a,21即6nnn nkk 21221211故 nTTnTnTkka 212112两边取行列式，得 TnnTnkka 212121由 00212112 nnTnkka 令 则nnnkkA 211由 TnTTnTTnTaAa 2121221即 都能由 线性表示，因为任一 维向量能由单,21 ,21 n位向量线性表示，故任一 维向量都可以由 线性表示.a,21已知任一 维向量都可由 线性表示，则单位向量组：
7、充 分 性na,21可由 线性表示，由 8 题知 线性无n,21 na,21 n,21关.10设向量组 : 的秩为 ,向量组 : 的秩As,21 1rBtb,21 2r7向量组 : 的秩 ,证明Crsba,2121 33mxr证明 设 的最大线性无关组分别为 ,含有的向量个数BA, CBA,(秩) 分别为 ,则 分别与 等价,易知 均可由21rC, C线性表示,则秩( ) 秩( ),秩( ) 秩( )，即321,maxr设 与 中的向量共同构成向量组 ,则 均可由 线性表示, D即 可由 线性表示,从而 可由 线性表示，所以秩( ) 秩( ),CD D为 阶矩阵，所以秩( ) 即 .21r21
8、r21311.证明 .BRAR证明:设 Tna),(21Tnb),(21且 行向量组的最大无关组分别为 BA, r Ts,21显然,存在矩阵 ,使得,TsTTnTa2121 TsTnBb21TnbaBA21TsTTsA2121因此 BRR12设向量组 能由向量组 线性表示为:r,1 :sa,1，Kabs),()(1 其中 为 矩阵，且 组线性无关。证明 组线性无关的充分必要KrsA条件是矩阵 的秩 .rR)(证明 若 组线性无关B令 则有),(11 srab AB由定理知 )()(,min)() KR由 组: 线性无关知 ，故 .r,2 rr又知 为 阶矩阵则Ks,K由于向量组 : 能由向量组
9、 : 线性表示,则rb,1 sa,218srr,min综上所述知 即 KR)(r)(若k令 ,其中 为实数021rbxbx ixri,21则有 ),(1r又 ,则Kabsr),(),(11 0),(11rsxa由于 线性无关,所以sa,21 02rx即 （1）02122121rsss rrr rxkxkkxk 由于 则(1)式等价于下列方程组:rKR)(021221rrr rxkxk 由于 2112rrrkk 所以方程组只有零解 .所以 线性无关,021rxx rb,21证毕.913设 0,),( 211211 nnTn xxRxxV 满 足 12 满 足问 是不是向量空间？为什么？1,证明
10、集合 成为向量空间只需满足条件：若 ，则, V若 ，则RV是向量空间，因为：1 0),(212 nTn T),21且 ()()(1 n故0212 n 1V,21R故)(1 n不是向量空间，因为：2V)()(2n故21)(2121 nn 2),1 故当 时，2V14试证:由 所生成的向量空间TTTaaa)0,1(,)01(,)0(31 就是 .3R证明 设 ),(321A0,321a021(1于是 故线性无关.由于 均为三维,且秩为 3,)(R32,a所以 为此三维空间的一组基,故由 所生成的向量空间321, 321,就是 .1015由 所生成的向量空间记作 ,由,)10,(,)01,(2TTaa 1V所生成的向量空间记作 ,试证3,21b 2.V证明 设 Rkkx1211,22 ,任取 中一向量,可写成 ,1 21a要证 ,从而得2akV由 得1212121213kk上式中,把 看成已知数,把 看成未知数21,有唯一解01D2V同理可证: ( )1012D故 2116验证 为 的一个基,并把TTTaaa)2,13(,)1(,)0,(23R用这个基线性表示.Tvv389)7,5(21解 由于 0620,31 即矩阵 的秩为 3),(321a故 线性无关，则为 的一个基., R设 ，则3kkv7230531123故 21av
