1、第 8 讲 二项分布与正态分布一、选择题1在正态分布 N 中，数值落在 (，1)(1，)内的概率为( )(0，19)A0.097 B0.046 C0.03 D0.002 6解析 0，x ，13P(X1 或 X1)1P(1X1)1P(3X3 )10.997 40.002 6.答案 D2甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A. B. C. D.34 23 35 12解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率 P1 ；第二类，需比赛122 局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率 P2 .故甲队获
2、得冠军的概率12 12 14为 P1P 2 .34答案 A3在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 ( )A0.4,1 B(0,0.4C(0,0.6 D0.6,1解析 设事件 A 发生的概率为 p，则 C p(1p) 3 C p2(1p) 2，解得 p0.4，14 24故选 A.答案 A4设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若 P(Xc1)P (X1)1 P(X1) 1 0.841 30.158 7.XN (0,1)，0.P(X1)0.158 7，P(11) 0.682 6.P(1X
3、0) P(1 X1)0.341 3.12答案 0.341 39如果 XB(20 ，p)，当 p 且 P(Xk)取得最大值时，k_.12解析 当 p 时，P( Xk)C k 20k C 20，显然当 k10 时，12 k20(12) (12) k20(12)P(Xk )取得最大值答案 1010将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ，则小球落入 A 袋中的12概率为_解析 记“小球落入 A 袋中”为事件 A，“小球落入 B 袋中”为事件
4、B，则事件 A 的对立事件为 B，若小球落入 B 袋中，则小球必 须一直向左落下或一直向右落下，故 P(B) 3 3 ，从而 P(A)1P(B)1 .(12) (12) 14 14 34答案 34三、解答题11甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响13 12(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数 的分布列与期望解 设 Ak，B k分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中，则P(Ak) ，P (Bk) (k1,2,3)13 12(1)记“甲获胜 ”为事
5、件 C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)P( A1)P( A2) P( A3)P(A 1)P( )P( )P(A2)P ( )A1B1 A1B1A2B2 A1 B1 A1P( )P( )P( )P(A3)B1 A2 B2 2 213 23 12 13 (23) (12) 13 .13 19 127 1327(2) 的所有可能值为 1,2,3 由独立性，知P(1)P(A 1)P( B1) ，A113 23 12 23P(2)P( A2)P ( B2)A1B1 A1B1A2 2 2 ，23 12 13 (23) (12) 29P(3)P 2 2 .(A1 B
6、1 A2 B2) (23) (12) 19综上知， 的分布列为 1 2 3P 23 29 19从而 E1 2 3 (次)23 29 19 13912某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至 4件5 至 8件9 至12 件13 至16 件17 件及以上顾客数( 人) x 30 25 y 10结算时间( 分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55 %.(1)确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银
7、台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率(注：将频率视为概率)解 (1)由已知得 25y 1055，x3045，所以 x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，将频率视为概率得P(X1) ，P( X1.5) ，P(X2) ，P (X2.5)15100 320 30100 310 25100 14 ，P(X3) .20100 15 10100 110X 的分布列为X 1 1.5 2 2.5 3P 320 310 14 15
8、 110X 的数学期望为E(X)1 1.5 2 2.5 3 1.9.320 310 14 15 110(2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” ，X i(i1,2)为该顾客前面第 i 位顾客的结算时间，则P(A)P (X11 且 X21)P(X 11 且 X21.5)P (X11.5 且 X21)由于各顾客的结算相互独立，且 X1，X 2 的分布列都与 X 的分布列相同，所以P(A)P (X11)P( X21)P(X 11)P(X 21.5)P(X 11.5)P (X21) .320 320 320 310 310 320 980故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5
9、 分钟的概率为 .98013现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 1 分，34没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ，每命中一次得 223分，没有命中得 0 分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX解 (1)记：“ 该射手恰好命中一次”为事件 A， “该射手射击甲靶命中”为事件 B， “该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C， “该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D.由题意，知 P(B) ，P( C)P(D) ，34 23由于 AB C D，C D B
10、D B C 根据事件的独立性和互斥性，得P(A)P (B C D)C D B D B C P(B )P( C )P( D)C D B D B C P(B)P ( )P( )P( )P(C)P( )P ( )P( )P(D)C D B D B C 34 (1 23) (1 23) (1 34) 23 (1 23) (1 34) (1 23) 23 .736(2)根据题意，知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P(X0)P ( )B C D 1 P(B)1P(C)1 P(D) ；(1 34) (1 23) (1 23) 136P(X1)P (B )P( B)
11、P( )P( )C D C D ；34 (1 23) (1 23) 112P(X2)P ( C D)P( C )P( D)B D B C B D B C ；(1 34) 23 (1 23) (1 34) (1 23) 23 19P(X3)P (BC B D)P(BC )P (B D)D C D C ；34 23 (1 23) 34 (1 23) 23 13P(X4)P ( CD) ，B (1 34) 23 23 19P(X5)P (BCD) .34 23 23 13故 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P 136 112 19 13 19 13所以 EX0 1 2 3 4 5 .136
12、112 19 13 19 13 411214一个人随机地将编号为 1,2,3,4 的四个小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子里，每个盒子放一个球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫放错了，设放对的情况有 X 种(1)求 X 的分布列；(2)求 X 的均值和方差解 (1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.当 X 0 时， 说明四个球全放错了，记符号(m，n)表示编号为 m 的小球放入编号为 n 的盒子里，m， n1,2,3,4，则 mn 的情况有：共 9 种情况所以 P(X0) ；94！ 38当 X1 时， 说 明只有一个球放 对了，另三个球放错了，这种情况有2C 8(种)，所以 P(X1) ；1484！ 13当 X2 时， 说 明有 2 个球放 对了，另二个球放错了，P(X 2) ；C244！ 14当 X3 时， 说 明有 3 个球放 对了，第四 个球放错了，这种情况不存在；当 X4 时， 说 明 4 个球全放 对了， P(X4) .14！ 124所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4p 38 13 14 0 124(2)EX0 1 2 304 1，38 13 14 124DX(01) 2 (11) 2 (21) 2 (31) 20(41) 2 1.38 13 14 124
