1、第五届数学竞赛初赛试题及答案（满分 100 分）一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（12 分）2.1991199219921992-1992+199119911991二、填空题（48 分）1.有 A、B 两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有 25 个数。A组数中前几个是这样排列的 1，6，11，16，21；B 组数中最后几个是这样排列的，105，110，115，120，125。那么，A、B 这两组数中所有数的和是_（3 分）2.某沿海城市管辖 7 个县，这 7 个县的位置如图 1。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给图 1 染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色。共有_种不同的染色
2、方法。（5 分）3.如图 2 的数阵是由 77 个偶数排成的，其中 20、22、24、36、38、40 这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是 180。把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是 660，那么，它们当中位于平行四边形左上角的那个数是_。（4 分）4.在左边的乘法算式中，我、学、数、乐各代表四个不相同的数字。如果“乐”代表“9”，那么，“我”代表_，“数”代表_，“学”代表_。（4 分）5.1993 年一月份有 4 个星期四、5 个星期五，1993 年 1 月 4 日是星期_。6.一个小数去掉小数部分后得到一个整数，这个整数加上原来的
3、小数与 4 的乘积，得 27.6。原来这个小数是_。（5 分）7.李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一个当了记者。一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者。”张斌说：“我不是记者。”王大为说：“李志明说了假话。”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么_是记者。（3 分）9.在 1992 后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被 2、3、5、11 整数，这个七位数最小是_。（5 分）的个位数字 1992 个“8”是_，十位数字是_，百位数字是_。（3 分）三、解答下面的应用题。（要写出列式解答过程。列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程。）（32
4、分）1.张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货，到达省城后马上卸货并随即沿原路返回。他驾驶的这辆汽车去时每小时行 64 千米，返回时每小时行 56 千米，往返一趟共用去 12 小时（在省城卸货所用时间略去不计）。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了多少千米？（5 分）2.一个长方形，如果长减少 5 厘米，宽减少 2 厘米，那么面积就减少 66 平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形。求原来长方形的面积。（5 分）3.有两堆煤，第一堆是第二堆的 4 倍。当第二堆煤运走 6.25 吨后，第一堆煤是第二堆煤的 6 倍。第二堆煤原有多少吨？（5 分）分数是 80 分。求不及格的人的平均分数。（
5、5 分）5.启蒙书社五天内卖出中学生手册和小学生手册共 120 本。中学生手册每本 5 元，小学生手册每本 3.75 元。营业员统计的结果表明：这五天内所卖中学生手册的收入比卖小学生手册的收入多 162.5 元。这五天内启蒙书社卖出的中学生手册和小学生手册各多少本？（6 分）6.如图 3，BD 是梯形 ABCD 的一条对角线，线段 AE 与梯形的一条腰 DC 平行，AE与 BD 相交于 O 点。已知三角形 BOE 的面积比三角形 AOD 的面积大四、长方形 ABCD 的长是 4 厘米、宽 3 厘米。从这个长方形中剪去两个长 2 厘米、宽 1 厘米的小长方形后得到一个“T”形（如图 4）。请你沿
6、直线（用虚线在图上画出这样的直线）把这个“T”形剪两刀，并使剪开的部分恰好能拼成一个正方形。（8 分）详解与说明一、计算题说明：本题的算式看上去挺繁，但细心观察不难发现括号内的三个乘（除）式都含有因数“3”，把“3”作为公因数提取后计算就简便多了。数学之友（7）第63 页上有一道十分类似的计算题。2.解：1991199219921992-1992199119911991=19911992（100010001-100010001）=199119920=0说明：解本题的关键是迅速观察到被减数和减数含有公因数 19911992，这个乘积可以暂时保留在式中，看括号内的计算结果是不是便于立即能口算出答案
7、。本题同数学之友（7）综合练习十的第 2 题也很相似。数列的各项依次对应相加所得到的。看出这一层关系，就容易想到把式中每”栏目内专门作了介绍。二、填空题1.（1125）25=3150说明：首先通过观察容易发现 A、B 两组数的排列规律。这两组数都排成等差数列，并且每组数都有 25 个数。用等差数列的求和公式可以算出结果，但必须先推算出 A 组数的第 25 个及 B 组数的第 1 个。如果选手们能从“两组数个数相等”与“两组数都是公差为 5 的等差数列”这两个条件入手，用“首尾配对，变加为乘”（见本报 1991 年 9 月 25 日“教你思考”栏）的技巧来解，那么计算简便多了。2.解：把该沿海城
8、市地图上的 7 个县分别编号为 A、B、C、D、E、F、G（如图5）。为了便于观察，可以把图 5 改画成图 6（相邻关系不改变）。我们不妨按A、B、C、D、E、F、G 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有 5433333=4860（种）不同的染色方法。说明：“加法原理与乘法原理”是本报 223 期“奥林匹克学校”栏所介绍的内容，但应用乘法原理来解本题，要谨防遗漏。为了避免遗漏，就应适当选择染色的顺序。或许有的选手会问：既然要讲究染色的顺序。那么“按 A、B、C、D、E、F 的顺序”前又怎么可以加“不妨”二字呢？对了，我们这里所说的“适当选择染色顺序”，不是说染色方法
9、与染色顺序有关，而是说选择某些染色次序很可能算错。比如说，如果我们选择 B、C、G、D、A、E、F 的染色顺序，那么，根据乘法原理算得的结果是5443233=4320（种）。这当中遗漏了 540（种），为什么会遗漏呢？因为在给 B、C 染色之后，再给 G 染色时，没有分“G 与 B 同色”、“G 与 B 不同色”两种情况。举个简单的例子，如图 7，如果按的顺序染色，容易误算为5442=160（种），而实际上，应分两种情况：（1）与同色时有 5413=60（种）染法（2）与不同色时，有 5432=120（种）染法共有 60120=180（种）染法，而不是 160 种。3.解法一：以平行四边形左上
10、角那个数为标准，其余五个数分别比它大2、4、16、18、20。如果从平行四边形内六个数的和中依次减去2、4、16、18、20，那么剩下的数就是左上角那个数的 6 倍。根据题意，可求出平移后的平行四边形内左上角那数为660-（24161820）6=100解法二：移动前平行四边形内 6 个数的和是 202224362840=180。移动后，这六个数的和增加到 660，增加了 660-180=480。由于移动过程中平行四边形内每个数增加得一样多，因而容易求出从“180”到“660”，每个数都增加了（660-180）6=80。这样，可知道左上角的数增加到 2080=100。解法三：通过观察可知，平行四
11、边形内上一行左、中、右三数与下一行下一行右边的那个数与上一行左边那个数相减，差都是 20。这样，求左上角那个数就变成了一个“和差问题”。算式为（6603-20）2=100说明：本题的解法很多，因为题中的数阵隐藏着许多有趣的规律，选择不同的规律，将会得到不同的解法。本题是根据 1991 年 11 月 5 日第一版“教你思考”栏中一题改编而成的。4.解：由“乐”代表 9，可推到“学”代表 1，“数”代表 6；由积是一个十位数，并且前两位数都是 6，可推知“我”代表 8。说明：本题是把 1992 年 5 月 25 日第四版上谈祥柏先生写的“六一专稿”里一题变了一下形式。要推知“乐”、“学”、“数”各代表什么数字，只要运用所学的“自然数平方尾数性质”及进位的知识，就会立即得到结果。再推“我”代表几就稍难些。需要用估值法：
