1、第 1 页（共 21 页） 2017 年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1设复数 z=1 i（ i 是虚数单位），则 +z 等于（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 2已知 R，则 “cos= ”是 “=2k+ ， k Z”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条 件 3已知 a 为实数，设函数 f（ x） = ，则 f（ 2a+2）的值为（ ） A 2a B a C 2 D a 或 2 4已知实数 x， y 满足 ，若 ax+y 的最大值为 10，则实数 a=（ ） A 4 B 3 C
2、 2 D 1 5设 Sn 为等差数列 an的前 n 项和，若 = ，则 =（ ） A B C D 6已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A、 B 两点，若 |AB|=5，则 AB 中点的横坐标为（ ） A B 2 C D 1 7函数 f（ x） =（ ） x x2 的大致图象是（ ） A B C D 8已知平面向量 、 满足 | |=| |=1， = ，若向量 满足 | + | 1，则 | |的最大值为（ ） A 1 B C D 2 第 2 页（共 21 页） 9已知函数 f（ x） =3sin（ 3x+）， x 0， ，则 y=f（ x）的图象与直线 y=
3、2 的交点个数最多有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 10如图，点 F1、 F2 是椭圆 C1 的左右焦点，椭圆 C1 与双曲线 C2 的渐近线交于点P， PF1 PF2，椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率分别为 e1、 e2，则（ ） A e22= B e22= C e22= D e22= 二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36 分） 11已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|x2 4x 0，则 A B= ， A （ RB）= 12某几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3 13已知
4、随机变量 的分布列如下： 0 1 2 P b a2 第 3 页（共 21 页） 则 E（ ）的最小值为 ，此时 b= 14已知 f（ x） =x 2， g（ x） =2x 5，则不等式 |f（ x） |+|g（ x） | 2 的解集为 ； |f（ 2x） |+|g（ x） |的最小值为 15动点 P 从正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 出发，沿着棱运动到顶点 C1 后再到 A，若运动中恰好经过 6 条不同的棱，称该路线为 “最佳路线 ”，则 “最佳路线 ”的条数为 （用数字作答） 16已知 a 0， b 0，且满足 3a+b=a2+ab，则 2a+b 的最小值为 17如图，已知三
5、棱锥 A BCD 的所有棱长均相等，点 E 满足 =3 ，点 P 在棱AC 上运动，设 EP 与平面 BCD 所成角为 ，则 sin 的最大值为 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 18在锐角 ABC 中， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边，若 A 满足 2cos2A+cos（ 2A+ ） = （ ）求 A 的值； （ ）若 c=3， ABC 的面积为 3 ，求 a 的值 19如图，棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形，侧棱 AA1 底面ABCD， AB=1， AC= ， BC=BB1=2 （ ）求证： AC 平面 ABB1A1； （ ）求
6、二面角 A C1D C 的平面角的余弦值 第 4 页（共 21 页） 20已知函数 f（ x） =x alnx+b， a， b 为实数 （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=2x+3，求 a， b 的值； （ ）若 |f（ x） | 对 x 2， 3恒成立，求 a 的取值范围 21如图，设斜率为 k（ k 0）的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A、 B 两点，且 OA OB （ ）求直线 l 在 y 轴上的截距（用 k 表示）； （ ）求 AOB 面积取最大值时直线 l 的方程 22已知数列 an满足： a1= ， an=an 12+an 1（ n 2
7、 且 n N） （ ）求 a2， a3；并证明： 2 an 3 ； （ ）设数列 an2的前 n 项和为 An，数列 的前 n 项和为 Bn， 证明： =an+1 第 5 页（共 21 页） 2017 年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1设复数 z=1 i（ i 是虚数单位），则 +z 等于（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 【考点】 复数代数形式的加减运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： +z= +1 i= +1 i=1+i+1 i=2 故选： A 2已知 R，则 “
8、cos= ”是 “=2k+ ， k Z”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要 条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 cos= ，解得 =2k ， k Z，即可判断出结论 【解答】 解： cos= ，解得 =2k ， k Z， “cos= ”是 “=2k+ ， k Z”的必要但充分条件 故选： B 3已知 a 为实数，设函数 f（ x） = ，则 f（ 2a+2）的值为（ ） A 2a B a C 2 D a 或 2 【考点】 函数的值 【分析】 根据函数的解析式求出函数值即可 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解： 函数
9、f（ x） = ， f（ 2a+2） =log2（ 2a+2 2） =a， 故选： B 4已知实数 x， y 满足 ，若 ax+y 的最大值为 10，则实数 a=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，判断最优解的位置，将点的坐标代入求出 a的值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由 ，解得 A（ 3， 4）， 令 z=ax+y，因为 z 的最大值为 10， 所以直线在 y 轴上的截距的最大值为 10，即直线过（ 0， 10）， 所以 z=ax+y 与可行域有交点， 当 a 0 时， 直线经过 A 时 z 取得最大值
10、即 ax+y=10， 将 A（ 3， 4）代入得： 3a+4=10，解得： a=2， 当 a 0 时， 直线经过 A 时 z 取得最大值 即 ax+y=10，将 A（ 3， 4）代入得： 3a+4=10，解得： a=2，与 a 0 矛盾， 综上： a=2 第 7 页（共 21 页） 5设 Sn 为等差数列 an的前 n 项和，若 = ，则 =（ ） A B C D 【考点】 等差数列的性质 【分析】 利用 = ，可得 d=a1，即可求出 【解答】 解：设公差为 d，则 = ， d=a1， = = ， 故选 A 6已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A、 B
11、两点，若 |AB|=5，则 AB 中点的横坐标为（ ） A B 2 C D 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先根据抛物线方程求出 p 的值，再由抛物线的性质可得到答案 【解答】 解： 抛物线 y2=4x， P=2， 设经过点 F 的直线与抛物线相交于 A、 B 两点， 其横坐标分别为 x1， x2，利用抛物线定义， 第 8 页（共 21 页） AB 中点横坐标为 x0= （ x1+x2） = （ |AB| P） = （ 5 2） = 故选： C 7函数 f（ x） =（ ） x x2 的大致图象是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 利用排除法，即可得出结论 【解答
12、】 解：由题意， x=0， f（ 0） =1，排除 B， x= 2， f（ 2） =0，排除 A， x ， f（ x） + ，排除 C， 故选 D 8已知平面向量 、 满足 | |=| |=1， = ，若向量 满足 | + | 1，则 | |的最大值为（ ） A 1 B C D 2 【考点 】 平面向量数量积的运算 【分析】 通过向量的数量积的定义，设出向量的坐标，利用向量的坐标运算和向量的模的公式及几何意义，结合圆的方程即可得出最大值为圆的直径 【解答】 解：由平面向量 、 满足 | |=| |=1， = ， 可得 | | |cos ， =11cos ， = ， 由 0 ， ，可得 ， =
13、， 设 =（ 1， 0）， =（ ， ）， =（ x， y）， 则 | + | 1，即有 |（ +x， y ） | 1， 即为（ x+ ） 2+（ y ） 2 1， 第 9 页（共 21 页） 故 | + | 1 的几何意义是在以（ ， ）为圆心，半径等于 1 的圆上 和圆内部分， | |的几何意义是表示向量 的终点与原点的距离，而原点在圆上， 则最大值为圆的直径，即为 2 故选： D 9已知函数 f（ x） =3sin（ 3x+）， x 0， ，则 y=f（ x）的图象与直线 y=2 的交点个数最多有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 【考点】 三角函数的最值 【分析】
14、令 f（ x） =2，得 sin（ 3x+） = ，根据 x 0， ，求出 3x+ 的取值范围，根 据正弦函数的图象与性质，可得出函数 y=f（ x）的图象与直线 y=2 的交点最多有 4 个 【解答】 解：令 f（ x） =3sin（ 3x+） =2， 得 sin（ 3x+） = （ 1， 1）， 又 x 0， ， 3x 0， 3， 3x+ ， 3+； 根据正弦函数的图象与性质，可得 该方程在正弦函数一个半周期上最多有 4 个解， 即函数 y=f（ x）的图象与直线 y=2 的交点最多有 4 个 故选： C 10如图，点 F1、 F2 是椭圆 C1 的左右焦点，椭圆 C1 与双 曲线 C2
15、的渐近线交于点P， PF1 PF2，椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率分别为 e1、 e2，则（ ） 第 10 页（共 21 页） A e22= B e22= C e22= D e22= 【考点】 圆锥曲线的综合 【分析】 设椭圆及双曲线方程，由曲线共焦点，则 a12+b12=c2， a22+b22=c2，求得双曲线的渐近线方程，代入椭圆方程，求得 P 点坐标，由直角三角形的性质，即可求得丨 OP 丨 =c，利用勾股定理及椭圆及双曲线的性质即可求得答案 【解答】 解：设椭圆的方程为： ，双曲线的方程为： ， P（ x，y）， 由题意可知： a12+b12=c2， a22+b22=c2， 双曲线的渐近线方程： y= x， 将渐近线 方程代入椭圆方程：解得： x2= ， y2= ， 由 PF1 PF2， 丨 OP 丨 = 丨 F1F2 丨 =c， x2+y2=c2， 代入整理得： a14+a22c2=2a12c2， 两边同除以 c4，由椭圆及双曲线的离心率公式可知： e1= ， e2= ， 整 理得： e22= ， 故选 D 二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36 分） 11已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|x2 4x 0，则 A B= x| 1 x 4 ，A （ RB） = x| 1 x 0 【考点】 交、并、补集的混合运算
