1、不等式的应用 2最值问题教案教学目标1深刻理解不等式中，两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一定理，即平均值定理2熟练应用平均值定理，求某些问题的最值3培养学生严谨的思维品质，以及对数学思想方法的理解和运用，提高学生灵活运用所学知识解决问题的能力教学重点与难点平均值定理适用的条件，及其变形使用教学过程设计(一 )不等式平均值定理的功能师：不等式平均值定理的内容是：若干个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数即：在高中阶段，我们只要求同学掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数请同学用数学表达式表示上述定理(教师板书)师：由两个不等式的结构来看，它们的功能是：从左往右可
2、以把和的形式缩小为积的形式；从右往左可以把积的形式扩大为和的形式为了使用方便，通常把不等式变形为由于平均值定理在特殊形式下，可以进行放缩变换，因而它在数学中，可以作为用综合法证明不等式的依据，还可以作为求最值问题的工具今天，我们主要研究应用平均值定理求最值的问题(二 )应用平均值定理求函数的最值例 1 当 0x2 时，求函数 y=x(2x)的最大值师：函数 y=x(2x)是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转化？生：可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式师：平均值定理是对正数而言的，由于 x，2x 都是正数，所以在什么条件下“”取“=”号？生：当且仅当 x=2x，即 x=1 时，取等号此
3、时， y 的最大值为1师：把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行(教师板书)解：由 x1，知 x10则所以当 x=2 时，y 的最小值为 6师：运用平均值定理求函数的最值时，必须要有和的定值或积的定值出现即不等式可以在求函数的最大值时使用时，取“=”号当 a=b=c 时，取“=”号不等式，可以在求函数的最小值时使用例 2 中对函数式的运算结构稍做变化，就可以使用定理了例 3 填空题：师：请同学来分析(1) 生甲：由于 x0，则生乙：我的做法与甲同学不一样由于 x0，则师：甲、乙两位同学对函数式的变形采取了不同的方法，但都得到了定积，谁是谁非呢？师：分析的很好！在拆、凑函数式的时候，除了要
4、考虑能否得到“定积”或“定和”以外，还要顾及使用平均值定理后，能否取“=”号这一条件如果思维不严密，就会出现错误由学生自己解(2) (板书如下)如果学生的板书有漏洞或错误，教师可以边纠正，边总结应用平均值定理求函数最值的步骤如果学生板书没有问题，教师可以请学生总结步骤并进行适当的引导或补充应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有：(1)函数式中诸元素是否为正数；(2)诸元素的和或积是否为定值；(3)判断“ =”是否成立(三 )灵活运用平均值定理求最值师：此题为三角函数求最值的问题，应从何处入手？师：函数式中涉及到正、余弦两种三角函数，可以利用同角的平方关系进行转化师：对函数式的变形是灵活多样
5、的，但宗旨都是使和或积为定值例 5 若正数 x，y 满足 6x5y=36，求 xy 的最大值教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学发言(板书如下)解：由于 x，y 为正数，则 6x，5y 也是正数，所以当且仅当 6x=5y 时，取 “=”号师：函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解决这个问题？生：可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化师：换元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化(四 )不等式在应用问题中的应用例 7 已知：长方体的全面积为定值 S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值师：经过审题可以看出，长方体的全面积 S
6、是定值因此最大值一定要用 S 来表示首要问题是列出函数关系式生：设长方体体积为 y，其长、宽、高分别为 a， b，c ，则y=abc由于 abc 不是定值，所以肯定要对函数式进行变形生：我受例 4 的启发，发现可以利用平均值定理先求出 y2 的最大值，这样 y 的最大值也就可以求出来了解法如下：解：设长方体的体积为 y，长、宽、高分别是为 a，b，c ，则y=abc，2ab2bc2ac=S而y2(abc) 2(ab)(bc)(ac)师：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的本保证(五 )布置作业：1选择题：(1)设 a，b 为实数，且 ab=3 ，那么 2a
7、2 b 的最小值是 (2)设 a0，b0，且 2a5b=200 ，那么 lg alg b 满足 A当 a=50，b=20 时，取最大值 5B当 a=50，b=20 时，取最大值 3C当 a=50，b=20 时，取最小值 5D当 a=50，b=20 时，取最小值 3(3)x，y 是满足 2xy 1=0 的正实数，那么 x2y 2填空题：大值是_5用一块正方形的白铁片，在它的四个角各剪去一个相等的小正方形，制成一个无盖的盒子，问当小正方形的边长为多大时，制成的盒子才有最大的体积？并求出这个体积3 元，用作侧面的材料每平方米 2 元，问怎样设计容器的尺寸，才能使制作的成本最低(不计拼接时用料和其它损耗) 作业答案或提示：1选择题：(1)B；(2)B；(3)B
