1、第四章 向量与矩阵的范数定义： 设 是实数域 （或复数域 ）上的 维线性空间，对于 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 的范数，记为 ，并且要求范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 只有且仅有当 （2） 齐次性： 为任意数。,（3） 三角不等式：对于 中的任意两个向量 都有例 ： 在 维线性空间 中，对于任意的向量 定义,证明： 都是 上的范数，并且还有引理（Hoider不等式）：设,则 其中 且 。引理（Minkowski不等式）：设则,其中实数 。几种常用的范数定义：设向量 ，对任意的数 ，称为向量 的 范数。常用的 范数：（1）1范数,（2）2范数也称为欧
2、氏范数。（3） 范数 定理：证明：令 ，则,于是有另一方面,故由此可知定义：设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数 使得,定理：有限维线性空间 上的任意两个向量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造新的范数。例 ：设 是 上的向量范数，且 ，则由所定义的 是 上的向量范数。例 ： 设 数域 上的 维线性空间，,为其一组基底，那么对于 中的任意一个向量 可唯一地表示成又设 是 上的向量范数，则由所定义的 是 上的向量范数。 矩阵范数,定义：对于任何一个矩阵 ，用 表示按照某一确定法则与矩阵 相对应的一个实数，且满足,（1）非负性：当 只有且仅有当 （2） 齐次性：
3、为任意复数。（3） 三角不等式：对于任意两个同种形状矩阵 都有,（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵 ，都有那么我们称 是矩阵 的范数。例 1：对于任意 ，定义可以证明如此定义的 的确为矩阵 的范数。,证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设 ，则,例 2 ：设矩阵 ，证明：是矩阵范数。证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设 ，那么,因此 为矩阵 的范数。,例 3 ：对于任意 ，定义可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵 的Frobenious范数。证明：此定义的非负
4、性，齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。 设 ，则,于是有,例 4 ：对于任意 ，定义证明如此定义的 是矩阵 的范数。证明： 首先注意到这样一个基本事实，即由上一个例题可知此定义满足范数的性质。,Frobenious范数的性质：（1）如果 ，那么（2） （3）对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵,都有等式关于矩阵范数的等价性定理。定理：设 是矩阵 的任意两种范数，则总存在正数 使得,诱导范数定义：设 是向量范数， 是矩阵范数，如果对于任何矩阵 与向量 都有则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。例 1 ：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数
5、是相容的.证明 : 因为,根据Hoider不等式可以得到,于是有 例 2 ：设 是向量的范数，则满足矩阵范数的定义，且 是与向量范 相容的矩阵范数。证明：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。,设 ，那么,因此 的确满足矩阵范数的定义。,最后证明 与 是相容的。由上面的结论可知这说明 与 是相容的。 定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范数 所诱导的诱导范数或算子范数。由,向量 P-范数 所诱导的矩阵范数称为矩阵P-范数。即常用的矩阵P-范数为 ， 和 。定理：设 ，则（1）我们称此范数为矩阵 的列和范数。,（2） 表示矩阵 的第 个特
6、征值。我们称此范数为矩阵 的谱范数。（3）我们称此范数为矩阵 的行和范数。例 1 ：设,计算 ， ， 和 。解：,因为所以 。练习 ：设 或,分别计算这两个矩阵的 ， ， 和 。例 2 ：证明：对于任何矩阵 都有,如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？定理：设 是矩阵范数，则存在向量范数 使得证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范数 ，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且,例：已知矩阵范数求与之相容的一个向量范数。解：取 。设,那么矩阵的谱半径及其性质定义：设 ， 的 个特征值为 ，我们称为矩阵 的谱半径。例 1 ：设 ，那么,这里 是矩阵 的任何一种范数。例 2 ：设 是一个正规矩阵，则
7、证明：因为,于是有例 3 ：设 是 上的相容矩阵范数。证明： （1） （2） 为可逆矩阵， 为 的特征值则有,例 5 ：如果 ，则 均为可逆矩阵，且这里 是矩阵 的算子范数。,特征值估计,粗略估计圆盘定理,（1）,定理1 (Schur)设 的特征值为 ，则,（2）,（3）,这里 。,并且当且仅当 是正规矩阵时，等号成立。,（1）的证明：,设 的Schur分解为 ，上三角阵 的主对角元就是矩阵 的特征值。所以根据F-范数的酉不变性，有,（2）的证明：,由于 ，因此,在上述证明中，当且仅当 是正规矩阵时，上三角阵 为对角矩阵，即因此等号都成立。,（1）,推论11(Hirsch)对 的任意特征值 ，
8、有,（2）,（3）,（1）的证明：,因此,例 1 矩阵,按推论11所得特征值的变化范围为带型区域：,这个结果显然比相应的Gerschgorin区域差。,定义2 对方阵 ，称,为矩阵 的行盖尔（Gerschgorin）圆。称并集 为矩阵 的行盖尔（Gerschgorin）区域。这里,类似地，可定义矩阵 的列盖尔圆。,定理3 （Gerschgorin）对方阵,（1）矩阵 的特征值都位于其行盖尔区域内；,（2）若矩阵 有 个盖尔圆构成的并集 是连通区域，并且与其余 个盖尔圆均不相交，则 中恰好有 的 个特征值。,（1）的证明：,设 有特征对 ，这里 ，则,令 ，则 ，因此,从而,例 2 矩阵,的三个
9、行Gerschgorin圆分别是：,Wilkson在名著代数特征值问题中，先将矩阵变换成Jordan标准型，再用Gerschgorin定理和对角相似变换，对不同特征值结构的特征值问题进行了细致的扰动分析。,因为相似变换不改变特征值，为了得到特征值的更加准确的估计，Gerschgorin发现可以将矩阵 变换为其相似矩阵 ，以减少Gerschgorin圆的半径，达到隔离Gerschgorin 圆的目的。为计算方便，常常取 为对角矩阵,例 3 矩阵,经过对角相似变换 后，得,三个行Gerschgorin圆分别收缩为：,%ex801.m j=sqrt(-1); A=20 5 0.8; 4 10 1;1
10、 2 10*jgersch(A) %调用ATLAST程序库函数gerschhold on v=1 1 0.5;D=diag(v);B=inv(D)*A*D %通过对角相似变换隔离Gerschgorin圆gersch(B)hold off,，如果 个数列都收敛，则称矩阵序列 收敛。 进一步，如果那么 我们称矩阵 为矩阵序列 的极限。,矩阵序列与极限定义：设矩阵序列 ，其中,例 ：如果设 ，其中那么,定理： 矩阵序列 收敛于 的充分必要条件是其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数必要性：设,那么由定义可知对每一对 都有从而有上式记为,充分性：设那么对每一对 都有即,故有现在已经证明了定理对于所
11、设的范数成立，如果 是另外一种范数，那么由范数的等价性可知,这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。 同数列的极限运算一样，关于矩阵序列的极限运算也有下面的性质。（1）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。（2）设,则（3）设，其中 ，那么 （4）设 ，其中,那么（5）设 ，且 ， 均可逆，则 也收敛，且例 1：若对矩阵 的某一范数 ，则,例 2：已知矩阵序列： 则 的充要条件是 。证明： 设 的Jordan标准形其中,于是显然， 的充要条件是又因,其中,于是 的充要条件是 。因此 的充要条件是 矩阵的幂级数,定义：设 ，如果 个常数项级数都收敛， 则称矩阵级数收敛。如果 个个常数项级数
12、,都绝对收敛， 则称矩阵级数绝对收敛。 例 ： 如果设 ，其中,那么矩阵级数是收敛的。,定理：设 ，则矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数,那么对每一对 都有因此如果收敛，则对每一对 常数项级数,都是收敛的，于是矩阵级数绝对收敛。 反之，若矩阵级数绝对收敛，则对每一对 都有,于是根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。,定义：设 ，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。,定理：设幂级数 的收敛半径为为 阶方阵。若 ，则矩阵幂级数 绝对收敛；若 ，则 发散。,证明： 设 的Jordan标准形为其中于是,所以,其中,当 时，幂级数都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝对收敛。,当 时，幂级数发散，所以 发散。定理：矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是 。且其和为 。,例 1 ： （1）求下面级数的收敛半径（2）设判断矩阵幂级数 的敛散性。解：设此级数的收敛半径为 ，利用公式,容易求得此级数的收敛半径为2。而。所以由上面的定理可知矩阵幂级数绝对收敛。,
