1、联系 QQ11655575372 平面薄片的质量、重心及转动惯量设平面薄片占有 x Oy 面上的区域 D ，薄片在 D 上任一点 P （ x , y ）处的面密度为 （ x , y ) ，则薄片的质量为薄片重心的坐标为薄片关于 x 轴、 y 轴的转动惯量为（三）例题 【 例 1 -3 -25 】 计算由两条抛物线：y 2 = x 、 y x 2所围成的图形的面积。【解 】 两条抛物线所围成的图形如图 1-3-13 所示， x 的变化区间为 0 , 1 ，所求面积为计算心形线 a （ 1 + cos ） （ a 0）所围成的图形的面积。【 解 】 心形线所围成的图形如图 1-3 -14 所示，
2、的变化区间为 -,。所求面积为【 例 1-3-27】计算由椭圆 = 1 所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转椭球体的体积为2xyab【解 】 这个旋转体也可看作是由半个椭圆及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成。 x 的变化区间为- a , a 。所求体积为故应选（ C ） 。【例 1 - 3 -29】 计算摆线 x = a（ - sin ) ，y a （ 1 cos ）的一拱（ 0 2 ）（图 l -3-15 ）的长度。【 解 】 的变化区间为 0 , 2 , x （ ） = a （ 1 cos ) ，y （ ） = asin ，所求弧长为【 例 1-3 30】 求半径为 a 的均匀半圆薄片
3、（面密度为常量 ）对于其直径边的转动惯量。【 解 】 取坐标系如图 1-3-16 所示，薄片所占闭区域所求转动惯量即半圆薄片对于 x 轴的转动惯量其中 M = 为半圆薄片的质量。21a第四节 无穷级数一、数项级数（一）常数项级数的概念和性质 1 常数项级数的概念数列 u n（ n = 1 , 2 , ）的各项依次相加的表达式 称为无穷级数，第 n 项 un称为级数的一般1nu项或通项，前 n 项之和 Sn = 称为级数 的部分和。若 = S 存在则称级数 收敛，并1iu1nulimns1n称级数 的和为 S ; 若 不存在，则称级数 发散 。 当级数 收敛时， rn = 称为1nulimns1
4、n1nu1iiu级数的余项，有 = 0 。linr2 常数项级数的性质（ 1 ）若 = S,则 = k =ks （ k 为常数)；1nu1nu1n（ 2 ）若 =S，则 vn =T, 则 （u n vn) = vn =S T;1nu111nu1（ 3 ）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和；（ 4 ）在级数中改变有限项，不影响其收敛性；（ 5 ）若级数 收敛，则 0；反之，不一定成立。1nulimnu3 典型级数（ l ）几何级数 aqn-1，当 q 0 ) ，当 p 1 时，级数收敛，当 0p 1 时，级数发散.1n （二）常数项级数的审敛法1 正项级数审敛法若级数 ，其中 un 0
5、（ n=1 , 2 ， ） ，则称级数 为正项级数。1n1nu（ l ）收敛准则：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和有界。（ 2 ）比较审敛法：设 、 vn为正项级数，对某个 N 0 ，当 n N 时， 0 un Cvn（ C 1nu1 0 为常数） 。若 vn收敛，则 收敛；若 发散，则 vn发散。11n1nu1比较审敛法的极限形式：若 l（v n 0 ) ，则当 0 l 十 时， 和 vn同时收敛limn1nu1或同时发散。（ 3 ）比值审敛法：设 为正项级数，若 = l ，则当 l 1nulin1u1 或 l = + 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。（ 4)
6、根值审敛法：设 为正项级数，若 = l,则当 l 1 或 l 1nulimnnu= + 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。2 任意项级数审敛法若级数 ，其中 un（n = 1 , 2 ， ）为任意实数，则称级数 为任意项级数。若级数1n1nu的各项正负交替出现，即可写作 （-1） nun（u n 0 ）或 （- l ） n+ l un（u n 0 ） ，则1n 1n称级数为交错级数。若级数 为任意项级数，而级数 un 收敛，则称级数 绝对收敛；若 收敛，而1nu 1 1nu1nuun 发散，则称级数 条件收敛。11n（ l ）莱布尼兹判别法：若交错级数 （- l ） n u n（ u n 0 ）满足： 1 ）u n u 1nn+1（n 1 , 2 ） ; 2 ） u n = 0 ，则级数 （- 1 ） nun收敛，且有余项 rn u limnn n+1（n 1 , 2, ）（ 2 ）若任意项级数 绝对收敛，则该级数收敛。1nu（ 3 ）设 为任意项级数，若 = l （或 l ） ，则当 l 1 或 l = + 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。
