1、联系 QQ11655575375计算三重积分 ，其中 为三个坐标面及平面 x + 2y + z =1 所围成的闭区域。Dxdyz【 解 】 积分区域而于是【解】 1是上半球 2 是 1的 ，位于第一卦限内。 1关于 yOz 面和 zOx 面都对称，所以只要被4积函数对 x 及 y 都是偶函数，就有上述四个选项中，只有当 f (x ,y, z) = z 时，上述关系才成立，故应选（ C ） 。本题也可以采取如下解法。由于 1关于 yOz 面对称，而被积函数关于 x 是奇函数，故有但因此（ A ）不正确。同理， ( B ）和（ D ）也不正确。故应选（ C ） 。1.选择题：由曲面 z = 及 z
2、 = x 2y 2所围成的立体体积为。2xy【 解 】由 得 z =l ( z =0 舍去） ，故两曲面所围立体在 XOY 平面上的投影区域为2zxyx2y 2 1 。利用柱面坐标系，可得该立体的体积为故应选（ A ） 。 2.选择题：立体 = ( x , y , z ) | 4 x 2y 2z 2 9 ，z 2x 2y 2的体积为【 解 】 利用球面坐标计算，可得故应选（ B )四、平面曲线积分格林公式（一）平面曲线积分的概念与性质 1 对弧长的曲线积分的概念与性质设 L 为平面内一条光滑曲线弧， f （x，y）在 L 上有界，将 L 任意划分成 n 个小段，第 i 个小段的长度为 V ，
3、（ , ）为第 i 小段上任一点， max , 若极限i1,.nssV总存在，则称此极限为 f（x，y）在 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 ,(,)Lfxyds即若曲线形构件 L 在点（ x , y ）处的线密度为 （x， y ) ，则曲线积分 ( x , y ) ds 就表L示此构件的质量 M ，即当 L 为闭曲线时，曲线积分记为 f ( x ,y )ds.L第一类曲线积分具有如下性质：2 对坐标的曲线积分的概念与性质设 L 为平面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，P（ x ，y） 、 Q ( x ，y)在 L 上有界，将 L任意分成 n 个有向小弧段 ( I =1,
4、2,n; M0= A, Mn=B ), = xi xi-1 , = .1iiMiViyV1ii任取（ , ） ，记 =max ,若极限iiii1,.nssV总存在，则称此极限为 P（x，y）在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分，记作 P(x,y) ds,即L类似地定义 Q （x， y ）在有向曲线弧 L 上对 y 的曲线积分 。 Q( x ,y )dy ,即L对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分。 P (x ,y )dx + Q( x, y)dy 通常写成 P(x ,y )LLLdx +Q(x ,y)dy。若某质点沿有向曲线弧 L 移动，受变力 F = (P (x ,y),Q (x ,y)作用，则变力作的功为对坐标的曲线积分具有如下性质：其中 L -表示与 L 反向的有向曲线弧。其中 a 、 为常数。
