1、需课件联系 QQ 1165557537特征值与特征向量定义 设 A 为 n 阶方阵，如果数 与非零列向量 x 使Ax=x（AE）x = 0则数 称为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应特征值 的特征向量。记 f （）= | A E |，这是 的 n次多项式，称为矩阵 A 的特征多项式。 f （）= 0 称为特征方程，特征方程的根就是 A 的特征值。 n 阶方阵 A 有 n个特征值（实的或复的，重根按重数计算个数） 。设 0是 A 的一个特征值，由于 | A 0E | = 0 ，故齐次方程（ A - 0E ) x= 0 必有非零解，这个非零解就是对应于特征值 0的特征向量。定理设
2、A 是 n 阶实对称方阵，则 A 的特征值都是实数，且有 n个两两正交的特征向量。相似矩阵定义设 A 、 B 都是 n 阶方阵。如果可逆阵 P 使 P-1AP=B，则称 B 是 A 的相似矩阵，也称 A 与 B 相似（或称 A 是 B 的相似矩阵，也称 B 与 A 相似。当 A 与 B 相似时， A 与 B 的秩相等，且 A 与 B 等价。相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同当 n阶方阵 A 与对角阵 相似时，即存在可逆阵 P 使 P-1AP=A，则 的主对角线上的元素恰是 A 的 n个特征值，组成 P 的 n 个列向量恰是 A 的对应特征值的特征向量定理 n 阶方阵 A 能与对角阵相似的
3、充分必要条件为 A 有 n 个线性无关的特征向量。定理如果 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值，那么 A 必定能与对角阵相似。定理 n 阶实对称阵必定能与对角阵相似。六、二次型（一）二次型及其矩阵表示二次齐次函数称为二次型。其中 A 为对称阵。对称阵 A 就称为二次型 f 的矩阵，而 f 就称为对称阵 A 的二次型。规定二次型 f 的秩就是对称阵 A 的秩。合同矩阵（二）二次型的标准形只含平方项的二次型称为二次型的标准形。对于二次型，主要的问题是：寻求可逆的线性变换把二次型化为标准形，这就是使这也就是要寻求可逆阵 C ，使定理 对于对称阵 A ,必有正交阵 P，使其中但是，二次型的标准形不唯一，即与对称阵 A 合同的对角阵不唯一。当然，这些对角阵的秩都等于 R ( A ） 。惯性定理给定二次型 f，它的不同标准形中系数取正值的个数（称为正惯性指数）保持不变。给定对称阵 A ，与 A 合同的一切对角阵中主对角线元素取正值的个数全相等。正定二次型（三）例题( A ) 0 ( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 4【 解 】 对 f 的矩阵施行初等变换：由 f 的秩为 2 知 R ( A ）= 2 ，故 a - 2 = 0 , a = 2 。因此应选（ C ） 。故所用正交变换为
