1、教 案课 程 名 称： 初等数学研究 任 课 教 师： 陈宏道 教 师 所 在 单 位 ： 统 计 系 课 程 简 介初等数学研究是初等教育专业的专业课。它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教育学、心理学之后而开设的。本课程从中学数学教学的需要出发，以基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。本课程的重点是培养中小学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练中小学数学教师的技巧。初等数学研究包括初等代数研究和初等几何研究两部分，是初等教育专业开设的一门综合性的选修课程。根据高等师范学校数学专业的培
2、养目标，通过该课程的学习，使学生了解初等数学的发展过程，初等数学的内容结构，思想方法等。理解初等数学理论知识，提高中学数学教学水平。学习本课程，要求学生更好地掌握并处理中学数学的教材，还必须使学生理解中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念怎样给出精确的定义，未作证明的或证明不完整的数学命题怎样做出严格的证明，以及一些广泛应用的数学方法的理论依据。本课程摆脱了中学数学里已有的基础，以及高等数学里已作详尽讨论的知识，按照自己的逻辑系统来阐述初等数学的内容，并进行研究，将避免造成与中学数学或高等数学不必要的重复。对于中学数学中已经解决的问题，将不在展开讨论，已有的知识与技能将作为工具来应用，在高等
3、数学里已讨论过的有关理论，可以直接指导中学数学的，将直接应用，不再讨论。初等数学研究教案授课章节 第 1 章 第 1 节 任课教师 陈宏道教学方法与手段讲授法、探究式 课时安排 2 学时使 用 教 材和主 要 参 考书石函早等编初等数学研究教程季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求：引导学生掌握数系扩充的必要性及数系扩充的必须遵循的四个原则。教学难点与重点：重点：数系扩充的方法难点：数系扩充必须遵循的原则教学内容： 1 数系扩充概述本节研究数系发展的原则和方法。若从数学学科本身发展的需要来看，扩充的必要性常从两方面来说明
4、：（1）某一运算的逆运算在原有数集中不能完全实施；（2）某一方程在原有数集中无解.数的扩充方法一般有两种.一种是在已建立的数系 A 中添加一类新数的集合 ，构成扩集AB，例如，在非负有理数集 Q+0基础上添加负有理数集 Q，构成有理数集 Q=Q+0Q -.另一种方法是先用旧数集 A 中的数为材料构成一个新数集 B，然后指出新数集 B 中某一真子集与 A 相等（严格讲，是 B 的某个真子集与 A 同构） ，复数系的建立就是采用这一种方法.从数集 A 扩充为数集 B，不论采用哪一种方法，都必须遵循下列原则：（1）A B，即集 A 集 B 的真子集；（2）集 A 中已定义的元素之间的基本关系和运算，
5、在集 B 中也有相应的定义，并且集 B 中的定义，对于 B 的子集 A 中的元素来说，与原来 A 中的定义一致；（3）在 A 中无解的某类方程，在集 B 中有解；（4）B 是满足上述三个原则的 A 的所有扩充中的最小扩充。由于“某一运算的逆运算在原由数集中不能完全实施” ， “某一方程在原有数集中无解” ，使得数集扩充有着必要性。数集的过冲有 “添加新元素法 ”和 “构造法” 两种。从数集 A 扩充到数集 B，不论采用哪一种方法都必须遵循四个原则。复习思考题、作业题：自由选择一本数学史教材，理解数对于整个数学理论的重要性，写出一篇简短的论文。授课章节 第 1 章 第 2 节 任课教师 陈宏道教
6、学方法与手段讲授法、探究式 课时安排 2 学时使 用 教 材和主 要 参 考书石函早等编初等数学研究教程季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求：使学生理解和掌握自然数的序数理论，并能掌握和灵活地运用数学归纳法解题。教学难点与重点：重点：自然数的序数理论。难点：自然数的公理系统。教学内容：2 自然数本节研究自然数的序数理论。定义 1 非空集合 N 中的元素叫做自然数,如果 N 的元素之间有一个基本关系 “后继”(b 后继于 a,记为 b=a)，并满足下列公理：（1）1N ，1 不是 N 中任何元素的后继元素；（2）对 N
7、中任何元素 a，有唯一的 aN；（3）对 N 中任何元 a，如果 a1，则 a 必后继于 N 中某一元素 b；（4） （归纳公理）如果 M N ，且1M；若 aM ，则 aM.那么，M= N .这个系统称为皮亚诺公理系统.定理 1 自然数的加法满足结合律与交换律.即对任何 a、b、cN，有（1）a+（b+c）=（a+b）+c；（2）a+b=b+a.证明 （1）设 a、b 是给定的两个自然数，令集合 M=c|a+（b+c）=（a+b）+c.由于（a+b）+1=（a+b）=a+b=a+（b+1） ，所以 1M.若 cM ，即（a+b）+c=a+（b+c） ，则a+（b+c）=a+（b+c）=（a+
8、（b+c） ）=（a+b）+c）=（a+b）+c.于是，cM.根据归纳公理，M=N .再由 a、b 的任意性知 a+（b+c） =（a+b）+c 成立.（2）先证对任意的 aN ，1+a=a+1 成立.设集合 M=a|a+1=1+a.因 1+1=1+1，所以 1M.若 aM ，即有 a+1=1+a，于是a+1=（a+1）+1=（1+a）+1=1+（a+1）=1+a.这表明 aM.由归纳公理，M=N，即对所有自然数 a，1+a=a+1 成立.再证 a+b=b+a 成立.令集合 M=b|a+b=b+a.由上述证明知 1M.若 bM，则a+b=a+（b+1 ）=（a+b）+1=（b+a）+1=1+（
9、b+a ）=（1+b）+a=（b+1 ）+a=b+a.即 bM，于是 M= N ，则 a+b=b+a 成立.定义 3 自然数的乘法是指这样的对应：对于每一对自然数 a、b，有且仅有一个自然数（记为ab）与之对应，且具有下述性质：（1）a1=a；（2）ab=ab+a.这里 a、b 称为乘数，a b 称为 a、b 的积.定理 2 自然数的乘法满足右分配律，即对 N 中任何 a、 b、c，有（a+b）c=a c+bc.证明 令集合 M=c| （a+b） c=ac+bc.因为（a+b）1=a+b=a1+b1，所以 1M.假定 cM ，就有（a+b）c=ac+b c，于是（a+b）c=（a+b）c+（a
10、+b）=（ac+bc ）+ （a+b）=（ac+a）+ （bc+b）=ac+bc ，这说明 cM，按归纳公理得 M= N .定理 3 自然数的乘法满足右分配律.定理 4 自然数的乘法满足结合律，即对任意的自然数 a、b、c，有 a（bc）=（a b）c仿照定理 1 的（2）的证明可证得.根据定理 1-4，代数结构（N ，+） ， （N ，）都是半群.定义 4 设 a、bN ，如果存在 xN，使 b+x=a，则称 x 为 a 减去 b 的差，记作 a-b，a 叫做被减数，b 叫做减数，求两数差的运算叫做减法.减法是加法的逆运算，在自然数集中，由于方程 b+x=a 不总是有解，所以减法也不是总能实
11、施的.定义 5 设 a、bN，如果存在 xN ，使 bx=a，则称 x 是 a 除以 b 的商，记作 a/b.这里 a 叫做被除数，b 叫做除数，求两数商的运算叫做除法.复习思考题、作业题：1、证明：自然数的乘法满足右分配律.2、证明：自然数的乘法满足结合律，即对任意的自然数 a、b、c，有 a（bc）=（a b）c.授课章节 第 1 章 第 3 节 任课教师 及职称 陈宏道教学方法与手段讲授法、探究式 课时安排 2 学时使 用 教 材和主 要 参 考书石函早等编初等数学研究教程季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求：掌
12、握自然数的性质和数学归纳法的理论依据教学难点与重点：重点：数学归纳法的原理难点：应用数学归纳法解决问题教学内容：本节继续研究自然数的序数理论。定义 6 设 a、 bN ，如果存在一个自然数 k，使 a=b+k，就说 a 大于 b，记为 ab；或说 b小于 a，记为 ba.定理 5 自然数集中的关系“”满足下列性质：（1） （反自反性）aa ， a N.（2） （传递性）若 ab，bc，则 ac.（3） （全序性）对于 N 中任两个数 a、b，下列情况有且仅有一种成立； ab，a=b ，ba.反自反性，传递性证明从略.现证明全序性.证明 先证明三种可能中至多有一个成立.假设 ab，a=b 同时成
13、立，就有 kN ，使 a=b+k，由 a=b 得 b=b+k，矛盾.同理 ba 与ab 不能同时成立，ba 与 a=b 也不能同时成立.再证 ab，a=b，ba 中至少有一个成立 .取定 a，对 b 运用归纳.当 b=1 时，若 a=1，则 a=b；若 a1，则存在 cN ，使 a=c=c+1，于是 a1=b，即 ab 成立.假设 ab，a=b，ba 中总有一个成立，考虑 a 与 b的顺序关系.当 ba 时，存 lN ，使 b=a+l，b= （a+l）=a+l，ba；当 a=b 时，b=b+1=a+1，ba；当 ab 时，存在 kN ，使 a=b+k.若 k=1，则 a=b；若k1，则存在 s
14、N，使 k=1+s，于是 a=b+k=b+（1+s）=（b+1）+s=b+s，ab.定理 6 自然数集中的顺序关系“”满足加法和乘法的保序性.即（1）若 ab，则 a+cb+c；（2）若 ab，则 acb c.定理 7 在自然数集中，消去律成立.即（1）若 a+c=b+c，则 a=b；（2）若 ac=bc，则 a=b.自然数的顺序关系“”还具有其他性质；定理 8 在自然数集 N 中， 1 是最小数，即对于任何自然数 a，a 1.仿照定理 5 的证明，请同学写出定理 6、7、8 的证明。定理 9 （自然数的离散性）任两个相邻的自然数 a 与 a之间，不存在自然数 b，使得aba.证明 若 ba
15、，则存在 kN ，使 b=a+k.因 k1，所以 a+ka+1，即 ba ，矛盾，故ab 不可能成立.定理 10 （阿基米德性质）对任意自然数 a、b，必有自然数 n，使 nab.提示： 取 nb 即可.定理 11 （最小数原理）N 的任何一个非空子集必有最小数.证明 用反证法.设非空集合 A N ，但 A 没有最小数 .令所有小于 A 中任何一个数的自然数组成的集合为 M.因为 1 是自然数集 N 的最小数，而 A 没有最小数，所以 1 A，这说明 1M.假设 mM ，现在设法证明 mM.事实上，如果 m M，则存在 a1A，使 a1m .又因 A 中没有最小数，故存在 a2A ，使 a2a
16、 1m ，于是 a2m，与 mM 矛盾.所以 M= N .因为 A 非空，A 中至少有一数 t，且 t N =M，由集 M 的定义知 tt ，矛盾，所以集 A 有最小数.归纳公理与最小数原理是等价的.数学归纳法的两种基本形式的依据就是归纳公理与最小数原理.定理 12 （数学归纳法第一基本形式）设 f（n）是一个与自然数有关的命题，如果（1）f（l）成立；（2）若 f（k）成立，则 f（k）成立 .那么，f（n）对一切自然数 n 都成立.证明 令 M= n|f（n）是真命题，nN ，由归纳公理以及条件（1） 、 （2）知 M= N .定理 13 （数学归纳法第二基本形式）设 f（n）是一个与自然
17、数有关的命题，如果（ 1）f （1）成立；（2）假设 f（m）对所有小于 k（k1）的自然数 m 都成立， ，f（k）也成立.那么，f（n）对一切自然数 n 都成立.证明 假设符合上述条件（1） 、 （2）的 f（n）对某些自然数并不成立，则 M=n|f（n）不是真命题是非空集合，因而 M 有最小数 n0，n 01.因为 n0 是 f（n）不成立的最小数，对于小于 n0 的一切数 f（ n）都成立，由（2）知 f（n 0）也成立，即 n0 M，矛盾.利用集合论的知识来定义自然数的加法、乘法和顺序关系。1. 若集合 A、B 之间能建立一个一一对应关系，则称 A、B 等价，一切等价集合的共同特征叫
18、做基数.不能与其任一真子集等价的集合叫做有限集，有限集的基数叫做自然数.2. 设有限集合 A、B 的基数分别是 a、b.（1）如果 A 与 B 等价，则称 a 等于 b，记为 a=b；（2）如果 A 与 B 的一个真子集等价，则称 a 小于 b，记为 ab；（3）如果 A 的一个真子集与 B 等价，则称 b 小于 a，记为 ba.3. 设两个有限集 A、B 的基数分别为 a、b，且 AB= ，如果 C=AB，则称 C 的基数 c 是a、b 的和，记为 c=a+b，求两数和的运算叫做加法.设 b 个等价集合 A1、A 2、A b 的基数都是 a，且 AiA j （1ijb，如果C=A1A 2 A
19、b.则称 C 的基数 c 是 a、b 的积，记为 ab.求两数积的运算叫做乘法.容易证明，自然数的加法、乘法运算律都成立.复习思考题、作业题：1、用最小自然数原理证明归纳公理。2、用归纳公理证明最小自然数原理。授课章节 第 1 章 第 4 节 任课教师 陈宏道教学方法与手段讲授法、探究式 课时安排 2 学时使 用 教 材和主 要 参 考书石函早等编初等数学研究教程季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求：理解并熟练掌握整数的构造理论。教学难点与重点：重点：整数的定义及运算。难点：整数的运算。教学内容：4 整数和有理数本节研
20、究整数的构造及其性质。6.1.1 整数的定义及运算定义 1 两序偶(a,b)、 （c,d）相等,当且仅当 a=c、b=d.定义 2 设(a,b),(c,d)N N ,如果 a+d=b+c,则称(a,b)等价于(c,d),记为(a,b)(c,d).定理 1 N N 中关系“”是个等价关系,即关系“”满足（1） （反身性） （a，b）（a，b） ；（2） （对称性）若（a，b）（c，d） ，则（c，d）（a，b） ；（3） （传递性）若（a，b）（c，d） ， （c，d）（e，f） ，则（a，b）（e，f）.这里只证（3） ， （1） 、 （2）留给学生完成.证明 （a，b）（c，d） ， （c，
21、d）（e，f） ，a+d=b+c，c+f=d+e.于是，a+d+f=b+c+f=b+d+e，由消去律，得 a+f=b+e， （a，b）（e，f） ， （3）得证.N N 中与（a，b）等价的一切序偶组成的集合叫做（a，b）的等价类，记为a，b. 定义 3 N N 中序偶的等价类叫做整数 .一切整数的集合叫做整数集，记为 Z.由定义 2、定义 3 可知，两整数a，b、c、d相等，当且仅当 a+d=b+c.特别地，有a+m，b+m=a，b，mN.定义 4 Z 中加法、乘法规定如下：a，b+c，d=a+c，b+d.a，bc，d= 例 1 设a，b=a，b，c，d= c，d，求证：（1）a，b+ c，
22、d= a，b+ c，d，ac+bd，ad+bc.（2）a，bc，d = a，b c，d.证明（2）a，b =a，b，c，d= c，d.a+ b= b+ a，c+ d= d +c.于是，ac+bc=bc+ac，ad+bd=bd+ad，两式相加，得ac+bc+bd+ad=bc+ac+ad+bd，所以 ac+bd，bc+ad=ac+bd，bc+ad，即 a，bc，d=a，bc，d.同理可证 a，bc，d= a，bc，d，所以 a，bc，d= a，bc，d.定理 2 整数集 Z 中的加法、乘法运算满足结合律、交换律和分配律.此定理可利用自然数的运算性质和定义 4 得到证明，具体过程从略.定义 5 整数
23、1，1叫做整数集 Z 的零元（或者叫做数零） ；对任意整数a，b（a b） ，b，a叫做a，b的负元（或者叫做相反数）记为-a，b.例 2 已知a，b，c，dZ，求证方程c，d+x=a，b在 Z 中有且仅有一解.证明 在方程两边同加上c，d的负元d，c，得c，d+x+d，c= a，b+ d，c.由交换律，结合律得（c，d+d，c）+x=a+d，b+c，即 x=a+d，b+c.反之，a+d，b+c也适合方程，所以方程有唯一解a+d，b+c.a+d,b+c叫做a、b减去c、d的差，记为a，b-c，d.又因为a+d，b+c=a，b+d，c=a，b+（-c，d） ，定理 3 正整数集合 Z+与自然数集
24、 N 关于加法和乘法运算是同构的.证明 设集 Z+到集 N 的映射 f 为 f：1+m，1m，显然 f 是一一映射，并且对任意的 m，nN ，f（1+m，1+1+n，1）=f（1+m）+（1+n） ，1+1）=f（1+m+n，1）=m+n=f（1+m，1）+f（1+n，1）.f（1+m，11+n，1）=f（1+m）（1+n）+1，1+m+1+n）=f（mn-1，1）=mn=f（1+m，1）f（1+n，1）.所以 Z+与 N 同构.6.1.2 整数的顺序关系定义 6 设 、Z，若 -Z +，则称 大于 ，记为 ，或称 小于 ，记 .定理 4 设 a、bN ，那么（1）1+a，1+1+b，1=a+
25、b；（2）1，1+a+1，1+b=-（a+b） ；（3）1+a，1+1，1+b= .),(;0,ba；（4）1+a，11+b，1=ab；（5）1，1+a1，1+b=ab；（6）1+a，11，1+b=-ab.定理 5 设 ， 是两个整数，则 =0 的充要条件是 =0 或 =0.证明 若 =0=1，1，=a，b，则=1，1a，b=a+b，a+b=1，1=0；如果 0，0，由定理 4 中（4） ， （5） ， （6） ，知 0.定理 6 Z 中的顺序关系“”满足反自反性，传递性，全序性.定理 7 Z 中的顺序关系“”满足加法和乘法的保序性.即：（1）若 ab，则a+cb+c，a，b，cZ；（2）若
26、ab，c0，则 acbc，a，b，cZ.定理的证明留给学生.定理 8 在整数集中，消去律成立，即（1）若 a+c=b+c，则 a=b；（2）若 c0，ac=bc，则 a=b.证明 （1）在 a+c=b+c 两边同加上 c 的负元，便得 a=b.（2）由 ac=bc 得 ac-bc=0，即（a-b）c=0，因 c0，由定理 5 知 a-b=0，即 a=b.特别要注意，这里的加法、乘法法则是由定义 4 推导出来的，而在中学教材中的加法、乘法运算法则就是加法、乘法运算的定义，是不能证明的.复习思考题、作业题：1、证明：Z 中的顺序关系“”满足反自反性，传递性，全序性.2、证明：Z 中的顺序关系“”满
27、足加法和乘法的保序性.授课章节 第 1 章 第 5 节 任课教师 陈宏道教学方法与手段讲授法、探究式 课时安排 2 学时使 用 教 材和主 要 参 考书石函早等编初等数学研究教程季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求：理解并熟练掌有理数的构造理论。教学难点与重点：重点：有理数的定义及运算。难点：有理数的运算。教学内容：5.2.1 有理数的定义及运算本节研究有理数的定义及其运算。定义 7 若（a，b） ， （c，d）ZZ 0，且 ad=bc，则称（a，b）等价于（c，d） ，记为（a，b）（c，d） ，其中 Z0为非零整数
28、集，ZZ 0=（a，b）|aZ，bZ 0.ZZ 0中与（a，b）等价的一切序偶组成的集合叫做（a，b）的等价类，记为a，b.定义 8 ZZ0中序偶的等价类叫做有理数，一切有理数的集合叫做有理数集，记为 Q.定义 9 设a ，b，c，dQ ，则 Q 中加法、乘法规定为：a，b+c，d=ad+bc，bd；a，bc，d=ac，bd.定理 9 有理数的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律.证明作为作业题。定义 10 有理数 0，1，1 ，1分别叫做 Q 的零元（或数“零” ） ，单位元（或数“1” ）.对任意的有理数a，b，-a，b叫做a，b的负元（或相反数） ，记为-a，b；如果a，b0，1，则b，
29、a叫做a，b的逆元（或倒数） ，记为a，b -1或 .ba,1例 3 证明：在有理数集中，方程c，d+x=a，b有且仅有一解.证明 在方程两边同加上c，d的负元-c，d，则有c，d+x+-c，d=a，b+-c，d，于是 x=a，b+-c，d，即 x=ad-bc，bd.反之，ad-bc ，bd适合方程.所以方程有且仅有一解ad-bc，bd.ad-bc，bd叫做a，b减去c，d的差，记为a，b- c，d ，即a，b- c，d= ad-bc，bd。由于ad-bc ，bd= a，b+-c，d，于是得到减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.例 4 证明：在有理数集中，当c，d0，1时，方程c，dx=a，b有且仅有一解.
