1、圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数 2 （大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆1F2a21|F的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 为椭圆上任意一点，则有 。M21|MFa椭圆的标准方程为： （ ） （焦点在 x 轴上）或 （ ） （焦点在 y21xyab0a2bxay0轴上） 。注：以上方程中 的大小 ，其中 ；, 22bac在 和 两个方程中都有 的条件，要分清焦点的位置，只要看 和 的21xyab21xab02xy分母的大小。例如椭圆 （ ， ， ）当 时表示焦点在 轴上的椭圆；当2ymn0nmn时表示焦点在 轴上的椭圆。m
2、n（2）椭圆的性质范围：由标准方程 知 ， ，说明椭圆位于直线 ， 所围成的矩形里；21xyab|xa|ybxayb对称性：在曲线方程里，若以 代替 方程不变，所以若点 在曲线上时，点 也在曲线上，y(,)xy(,)xy所以曲线关于 轴对称，同理，以 代替 方程不变，则曲线关于 轴对称。若同时以 代替 ， 代替xx方程也不变，则曲线关于原点对称。y所以，椭圆关于 轴、 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中y心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 轴、 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，xy令 ，得 ，则 ， 是椭圆与 轴的两个交点。同
3、理令 得 ，即 ，0xyb1(0,)B2(,)by0xa1(,0)A是椭圆与 轴的两个交点。2(,)Aax所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ， 和 分别叫做椭圆的长21AB2ab半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 ；在 中， ， ，a2RtOBF2|2|OFc，且 ，即 ；2|BFa222|OBF2cb离心率：椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率。 ， ，且 越接近 ， 就ea0c1e1c越接近 ，从而 就越小，对应的椭圆越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，从而 越接近于
4、，这时be ba椭圆越接近于圆。当且仅当 时， ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 。ab0c 22xy2双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（ ） 。12|PFa注意：式中是差的绝对值，在 条件下； 时为双曲线的一支；120|aF12|时为双曲线的另一支（含 的一支） ；当 时， 表示两条射21|PFa |a12|线；当 时， 不表示任何图形；两定点 叫做双曲线的焦点， 叫2|12|PF12,F12|F做焦距。（2）双曲线的性质范围：从标准方程 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 的外侧。即12byax ax， 即双曲线在两条直线 的外侧。
5、2axax对称性：双曲线 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点12byax是双曲线 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。2yx顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 的方程里，对称轴是 轴，所12byax,xy以令 得 ，因此双曲线和 轴有两个交点 ，他们是双曲线 的顶点。0yaxx)0,(,(2A12bax令 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。0x1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 叫
6、做2A2,a 2B双曲线的虚轴，它的长等于 叫做双曲线的虚半轴长。,b渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。12byax等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： ；ab2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。xy注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征 ，则等轴双曲线可以设为： ，当 时交点在ab )0(2yx0轴，当 时焦点在 轴上。x0
7、y注意 与 的区别：三个量 中 不同（互换） 相同，还有焦点所在的坐标1962216x,abc,c轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程 叫做抛物线的标准方程。02pxy注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ ,0） ，它的准线方程是 ；2p2px（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： ， ， .这四种抛物线的图形、标准方
8、程、焦点坐标以及准线方pxy2y2pyx2程如下表：标准方程2(0)ypx2(0)ypx2(0)py2(0)xpy图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程 xxyy范围 对称性 轴x轴x轴y轴y顶点 (0,)(0,)(0,)(0,)离心率 1e1e1e1e说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调 的几何意义：是焦点p到准线的距离。4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理1、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的
9、点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)0。两条曲线的交点：若曲线 C1，C 2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1，C 2的交点 方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点
10、；方程组没有实数解，曲线就没有交),(021yxf点。二、圆：oFxl oxFl xoFl1、定义：点集MOM=r ，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a) 2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2(2)一般方程：当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为 半)2,(ED径是 。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为(x+ )2+(y+ )2=42FE DE4F-2当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点
11、(- ,- );E当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x 0,y0)，则MCr 点 M 在圆 C 内，MC=r 点 M 在圆 C 上，MCr 点 M 在圆 C 内，其中MC= 。202b)-(ya-(x（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 有两个公共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离与半径 r 的大小关系来判定。2BAbad三、圆锥曲线
12、的统一定义：平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆 双曲线 抛物线定义1到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF 1+MF 2=2a,F 1F22a
13、.点集：MMF 1-MF 2.=2a,F 2F22a.点集M MF=点 M 到直线 l 的距离.图形方程标准方程 12byax(a0) 12byax(a0,b0) pxy2参数方程 为 离 心 角 ）参 数 (sincobyax为 离 心 角 ）参 数 (tansecbyxptyx2(t 为参数)范围 a xa，by b |x| a，yR x0中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0）顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0) (0,0)对称轴 x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点
14、F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0) )0,2(pF准 线x= ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x= ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距 2c （c= 2ba） 2c （c= 2ba）离心率 )10(ec )1(ece=1【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线 22ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy，离心率 2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 2byax与 2ba互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02ba.共渐近线的双曲线系方程：
15、)0(2byax的渐近线方程为 2yx如果双曲线的渐近线为 0byax时，它的双曲线方程可设为 2.【备注 2】抛物线：（1）抛物线 =2px(p0)的焦点坐标是( ,0)，准线方程 x=- ，开口向右；抛物线 =-2px(p0)的焦点坐2y2p2p2y标是(- ,0)，准线方程 x= ，开口向左；抛物线 =2py(p0)的焦点坐标是(0, )，准线方程 y=- ，开p 2xpp口向上；抛物线 =-2py（p0）的焦点坐标是（0,- ） ，准线方程 y= ，开口向下.2xpp（2）抛物线 =2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 ；抛物线 =-2px(p0)上的点y 20xM
16、2yM(x0,y0)与焦点 F 的距离 02xM（3）设抛物线的标准方程为 =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点到准线的距离 ，焦y p2p点到准线的距离为 p.（4）已知过抛物线 =2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),2B(x2,y2)，则弦长 = +p 或 ( 为直线 AB 的倾斜角)， ，AB21x2sinpAB 21py( 叫做焦半径).,4121pFpx五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、
17、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是（x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是 .设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy 中的坐标是(h,k)，则 或 ),(yx kyhx kyh叫做平移(或移轴)公式.（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方 程 焦 点 焦 线 对称轴+ =12h)-(xa2k)-(yb(c+h,k) x= +hca2x=hy=k椭圆+ =12)-(2)-(h
18、,c+k) y= +k2x=hy=k- =12h)(xa2k)(yb(c+h,k) x= +kca2x=hy=k双曲线- =12)(2)(h,c+h) y= +k2x=hy=k(y-k)2=2p(x-h) ( +h,k)2px=- +h2py=k(y-k)2=-2p(x-h) (- +h,k) x= +h y=k(x-h)2=2p(y-k) (h, +k)2py=- +k2px=h抛物线(x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k) y= +k x=h六、椭圆的常用结论：1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在
19、直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外，则过 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2的直线方程是0(,)20.21xyab7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦2 12F点角形的面积为 .12tanFPS8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式 , ( ,2xy10|Ma
20、ex20|aex1)c2(0).0(,)M9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 ，即21xyab),(0yx 2OMABbka。02yKAB12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 ；0(,)Px21xyab
21、2002xyxyab【推论】：1、若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 。椭圆0(,)xy2xy 202xy（abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交21(0)Aa2()点的轨迹方程是 .2xy2、过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直21a0(,)Axy线 BC 有定向且 （常数）.20BCxky3、若 P 为椭圆 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, , 21 12PF，则 .21Ftnt2co4、设椭圆 （ab0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于
22、长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF 1F2中，2xy记 , , ，则有 .12FP12F12Psincea5、若椭圆 （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 0e 时，可在椭圆2xy 21上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6、P 为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则21xy,当且仅当 三点共线时，等号成立.211|aAFPAF2,P7、椭圆 与直线 有公共点的充要条件是2002()()xyb0xByC.2 20()AaBC8、已知椭圆 （ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且
23、.（1）21xy OPQ;（2）|OP| 2+|OQ|2的最大值为 ;（3） 的最小值是 .221|OPQ24abPS2ab9、过椭圆 （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于21xyP，则 .|FeMN10、已知椭圆 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点21xy, 则 .0()P22011、设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记 ，则(1)21xy 12FP.(2) .212|cosbF12tnPFS12、设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , ,2xy PAB，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) .(2) .(3) P 2|cos|abPA2tan1e.2otPABabS13、已知椭圆 （ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于21xylEF
