1、应用数学导 数 的 应 用第八讲 ( Applications of Differentiation )应用数学单调性与凹凸性局部最大值与局部最小值整体最大值与整体最小值拐点弹性分析洛必达法则Logistic 模型应用数学知识目标理解单调性、凹凸性、极值点和最值点的含义了解拐点的概念和 Logistic模型掌握弹性分析和洛必达法则能力 目标会求函数的极值和最值能建立一般经济模型的 Logistic模型并进行弹性分析会用洛必达法则求极限应用数学问题一： “ 商品需求波动 ” 问题同一件商品在不同的时期，它的市场价格会发生波动，在不同的时期内，商品的市场需求也会发生波动，当需求增加的时候，势必会造
2、成商品的价格也要随之发生波动，这时，如果能够把握住商品的市场需求，当需求增加的时候，适当提高产量可以增加收益，反之适当地减少产量可以规避因不必要的产品剩余而造成的损失 .为了把握商品的市场需求波动以提高收益，我们需要探究商品在产为多少的时候会增加，多少的时候会减少 ? 经过调研，发现某商品市场需求函数满足：应用数学问题一： “ 商品需求波动 ” 问题观察其图像上升下降上升应用数学单调性观察图像应用数学单调性判别定理设函数 f ( x ) 在区间 I 内可导，如果 (1) 则，函数在区间 I 内 单调递增 ；(2) 则，函数在区间 I 内 单调 递减 ；I 称为单调区间！例如 判别函数 在区间 上的单调性 .解 因为函数在在区间 内，有：除点 外，都有 ，因此函数在区间 上单调增加 .应用数学例 1 讨论函数 的单调性 .解 显然函数的定义域为因为：令 得 所以，递增区间为： ，递减区间为：应用数学例 2 讨论函数 的单调性 .解 显然函数的定义域为当 时有所以，递增区间为： ，递减区间为：应用数学小结归纳单调性发生改变的可疑点： 驻点 和 不可导点求单调区间的步骤：(1) 写出定义域；(2) 求出所求函数的导数；(3) 求出所有 驻点 和 不可导点 ；(4) 根据 驻点 和 不可导 点将定义域分段进行列表 .导数等于零的点
