1、高考资源网版权所有，侵权必究！ 高考数学压轴题集锦 1 椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 22，相应于焦点 (, )0Fc （ 0c ）的准线 l 与 x 轴相交于点 A ， 2OF FA ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P 、 Q 两点。 （ 1）求椭圆的方程及离心率； （ 2）若 0OP OQ，求直线 PQ 的方程； （ 3）设 AP AQ （ 1 ），过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ，证明 FM FQ . (14 分 ) 2 已知函数 )(xf 对任意实数 x 都有 1)()1( xfxf ， 且当 2,0x 时 ， |1|)( xxf 。 （ 1） )(2
2、2,2 Zkkkx 时，求 )(xf 的表达式。 （ 2） 证明 )(xf 是偶函数。 （ 3） 试问方程 01log)(4 xxf是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3（本题满分 12 分）如图，已知点 F（ 0， 1），直线 L： y=-2，及圆 C： 1)3( 22 yx 。 （ 1） 若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1，求动点 M 的轨迹 E 的方程； （ 2） 过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G（ x1， y1）、 H（ x2， y2）两点，求证： x1x2 为定值； （ 3） 过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线，
3、切点为 A、 B，要使四边形 PACB 的面积 S 最小，求点 P 的坐标及 S 的最小值。 4.以椭圆 222 yax 1（ a 1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试108642-2-4-6-8- 1 0- 1 5 - 1 0 -5 5 10 15xCyXOF高考资源网版权所有，侵权必究！ 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形 . 5 已知，二次函数 f（ x） ax2 bx c 及一次函数 g（ x） bx，其中 a、 b、 c R， a b c， a b c 0. （）求证： f（ x）及 g（ x （）设 f（ x）、 g（ x）两图象交于 A、 B 两点，当 A
4、B 线段在 x 轴上射影为 A1B1 时，试求 |A1B1|的取值范围 . 6 已知过函数 f（ x） = 123 axx 的图象上一点 B（ 1， b）的切线的斜率为 3。 （ 1） 求 a、 b 的值； （ 2） 求 A 的取值范围，使不等式 f（ x） A 1987 对于 x 1， 4恒成立； （ 3） 令 13 2 txxxfxg 。是否存在一个实数 t，使得当 1,0(x 时， g（ x）有最大值 1？ 7 已知两点 M（ 2， 0）， N（ 2， 0），动点 P 在 y 轴上的射影为 H， PH 是 2 和 PNPM的等比中项。 （ 1） 求动点 P 的轨迹方程，并指出方程所表 示
5、的曲线； （ 2） 若以点 M、 N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q，求实轴最长的双曲线 C 的方程。 8已知数列 an满足aa aaba aaaaaa nnnnnn 设,2),0(32211（ 1）求数列 bn的通项公式； （ 2）设数列 bn的前项和为 Sn，试比较 Sn 与 87 的大小，并证明你的结论 . 9 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 )2,0(A 为圆心， 1 为半 径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 xy 对称 （）求双曲线 C 的方程； （）设直线 1mxy 与双曲线 C 的左支交于 A， B
6、两点，另一直线 l 经过 M（ -2， 0）及 AB 的中点，求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围； （）若 Q 是双曲线 C 上的任一点， 21FF 为双曲线 C 的左，右两个焦点，从 1F 引 21QFF的平分线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程 10. )(xf 对任意 Rx 都有 .21)1()( xfxf （）求 )21(f 和 )( )1()1( Nnnnfnf 的值 （）数列 na 满足： na = )0(f + )1()1()2()1( fnnfnfnf ，数列 na 是等差数列吗？请给予证明； 高考资源网版权所有，侵权必究！ （）令 .1632,14 4
7、2232221 nSbbbbTab nnnnn 试比较 nT 与 nS 的大小 11. ：如图，设 OA、 OB 是过抛物线 y2 2px 顶点 O 的两条弦，且 OA OB 0，求以 OA、 OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹 .(13 分 ) 12.知函数 f(x) log3(x2 2mx 2m2 9m2 3)的定义域为 R (1)求实数 m 的取值集合 M； (2)求证：对 m M 所确定的所有函数 f(x)中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2的 m 的值和 x 的值 . 13.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 ),(, 函数 f(x)= .142
8、x tx(1). 求 f( )() f和 的值。 （ 2）。证明： f(x)在 , 上是增函数。 （ 3）。对任意正数 x1、 x2,求证： 2)()( 21 2121 21 xx xxfxx xxf14 已知 数列 an各项均为正数， Sn为其前 n项的和 .对于任意的 *nN ，都有 241nnSa. I、求数列 na 的 通项公式 . II、若 2n ntS 对于任意的 *nN 恒成立，求实数 t 的最大值 . 15.( 12 分 )已知点 H（ 3， 0），点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满足 HP PM =0， PM =23 MQ， （
9、 1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C； （ 2）过点 T（ 1， 0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、 B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（ x0,0），使得 ABE 为等边三角形，求 x0 的值 . 16.（ 14 分）设 f1(x)= x12 ,定义 fn+1 (x)=f1 fn(x) ,an=2)0( 1)0( nnff,其中 n N*. (1) 求数列 an的通项公式； (2)若 T2n=a1+2a2+3a3+ +2na2n,Qn=144 42 2 nn nn,其中 n N*,试比较 9T2n 与 Qn 的大小 . A O B x P y 高考资源网版权所有，侵
10、权必究！ 17 已知 a =（ x,0）， b =（ 1， y），（ a + 3 b ） （ a 3 b ） （ I） 求点 （ x， y）的轨迹 C 的方程； （ II） 若直线 L： y=kx+m(m 0)与曲线 C 交于 A、 B 两点， D（ 0， 1），且有 |AD|=|BD|，试求 m 的取值范围 18已知函数 )(xf 对任意实数 p、 q 都满足 ( ) ( ) ( ),f p q f p f q 1(1) .3f 且 （ 1）当 nN 时，求 )(nf 的表达式； （ 2）设 ),()( Nnnnfa n 求证：13;4n kk a （ 3）设1( 1 ) ( ) , ,(
11、) nn n kkn f nb n N S bfn 试比较11nk kS与 6 的大小 19已知函数 ),10(lo g)( aaxxf a 且若数列： ),(),(,2 21 afaf ， )(42),( Nnnaf n 成等差数列 . （ 1）求数列 na 的通项 na ； （ 2）若 ,10 naa 数列 的前 n 项和为 Sn，求nn Slim； （ 3）若 )(,2 nnn afaba 令 ，对任意 )(, 1 tfbNn n 都有 ,求实数 t 的取值范围 . 20已知 OFQ 的面积为 .,62 mFQOF 且 （ 1）设 的夹角与求向量 FQOFm ,646 正切值的取值范围；
12、 （ 2）设以 O 为中心， F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图）， 2)146(,| cmcOF ， 当 |OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程 . （ 3）设 F1 为（ 2）中所求双曲线的左焦点，若 A、 B 分别为此双曲线渐近线 l1、 l2 上的动 点，且 2|AB|=5|F1F|，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 . 高考资源网版权所有，侵权必究！ 21、已知函数 13)( 2 bxxxf 是偶函数， cxxg 5)( 是奇函数，正数数列 na 满足11 211 )aaa(g)aa(f,a nnnnnn 求 na 的通项公式； 若 na 的前 n 项和为
13、 nS ，求nn Slim. 22、直角梯形 ABCD 中 DAB 90， AD BC， AB 2， AD 23 ， BC 21 椭圆 C 以 A、 B 为焦点且经过点 D （ 1）建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 E 满足 EC 21 AB ，问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点且| NEME ，若存在，求出直线 l 与 AB 夹角的范围，若不存在，说明理由 23、 设 函数 ,24 1)( xxf（ 1）求证：对一切 )1()(, xfxfRx 为定值； （ 2）记 * ) ,()1()1()2()1()0( Nnfnnfnfnffan 求
14、数列 na 的通项公式及前 n 项和 . 24. 已知函数 )(xf 是定义在 R 上的偶函数 .当 X 0 时 , )(xf = 172 xx x. (I) 求 当 X0， a1=1， an+1= f( an)2，求数列 an的通项公式 an，并证明你的结论 . 30、已知点集 ,|),( nmyyxL 其中 ),1,1(),1,2( bnbxm 点列 ),( nnn baP 在 L中， 1P 为 L 与 y 轴的交点，等差数列 na 的公差为 1， Nn 。 （ 1）求数列 na ， nb 的通项公式； （ 2）若 ),2(| 51 nPPnc nn求 )(lim21 nn ccc ； （
15、 3）若 ),()2( )12()( Nkknb knanf nn是否存在 Nk 使得 ),(2)11( kfkf 若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。 21经过抛物线 2 4yx 的焦点 F的直线 l 与该抛物线交于 A 、 B 两点 . (12分 ) （ 1）若线段 AB 的中点为 ( , )Mxy ,直线的斜率为 k ,试求点 M 的坐标 ,并求点 M 的轨迹方程 （ 2）若直线 l 的斜率 2k ,且点 M 到直线 3 4 0x y m 的距离为 15,试确定 m 的取值范围 . 高考资源网版权所有，侵权必究！ 1（ 1）解：由题意，可设椭圆的方程为 ()222 122xy
16、 aa 。 由已知得 ,( ).22222acaccc 解得 ,62ac 所以椭圆的方程为 22162xy，离心率 63e。 （ 2）解：由（ 1）可得 A（ 3， 0）。 设直线 PQ 的方程为 ()3y k x。由方程组 ,()221623xyy k x 得 ()2 2 2 23 1 1 8 2 7 6 0k x k x k ，依题意 ()212 3 0k ，得 6633k 。 设 ( , ), ( , )1 1 2 2P x y Q x y，则 212 21831kxx k ， 212 227 631kxx k 。 由直线 PQ 的方程得 ( ) , ( )1 1 2 233y k x
17、y k x 。于是 ( ) ( ) ( ) 221 2 1 2 1 2 1 23 3 3 9y y k x x k x x x x 。 0OP OQ， 1 2 1 2 0x x y y。 由得 251k ，从而 ( , )5 6 65 3 3k 。 所以直线 PQ 的方程为 5 3 0xy 或 5 3 0xy （ 3，理工类考生做）证明： ( , ) , ( , )1 1 2 233A P x y A Q x y 。由已知得方程组 ( ),.12122211222233162162xxyyxyxy 注意 1 ，解得2 512x 因 ( , ), ( , )1120F M x y，故 ( , )
18、 ( ( ) , )1 1 2 12 3 1F M x y x y ( , ) ( , )121122yy 。 而 ( , ) ( , )2 2 212 2F Q x y y ，所以 FM FQ 。 高考资源网版权所有，侵权必究！ 2 f(x)= 12 kx (2kx2k+2, kZ ) 略 方程在 1， 4上有 4 个实根 3 x2=4y x1x2=-4 P(2,1) SMIN= 7 4 .解：因 a 1，不防设短轴一端点为 B（ 0， 1 设 BC y kx 1（ k 0 则 AB y k1 x 1 把 BC 是（ 1 a2k2） x2 2a2kx 0 |BC|2222 1 21 ka
19、kak ，同理 |AB|2222 21 ak ak 由 |AB| |BC| k3 a2k2 ka2 1 0 （ k 1） k2（ 1 a2） k 1 0 k 1 或 k2（ 1 a2） k 1 0 当 k2（ 1 a2） k 1 0 时， （ a2 1） 2 4 由 0，得 1 a 3 由 0，得 a 3 ，此时， k 1 故，由 0，即 1 a 3 由 0 即 a 3 时有三解 5 解：依题意，知 a、 b 0 a b c 且 a b c 0 a 0 且 c 0 （）令 f（ x） g（ x 得 ax2 2bx c 0.（ * 4（ b2 ac） a 0， c 0， ac 0， 0 f（ x
20、）、 g（ x）相交于相异两点 （）设 x1、 x2 为交点 A、 B 则 |A1B1|2 |x1 x2|2，由方程（ * |A1B1|22222 4)(444 a accaa acb 2224 ()a c ac a 24 ( ) 1 ( * * )cc aa 高考资源网版权所有，侵权必究！ 0 20abc acab ，而 a 0， 2ca 0 20abc accb ， 12ca 12 2ca 4（ ac ） 2 ac 1（ 3， 12 |A1B1|（ 3 ， 2 3 ） 6、解：（ 1） xf = axx 23 2 依题意得 k= 1f =3+2a= 3， a= 3 13 23 xxxf
21、，把 B（ 1， b）代入得 b= 11 f a= 3， b= 1 （ 2）令 xf =3x2 6x=0 得 x=0 或 x=2 f（ 0） =1， f（ 2） =23 3 22 1= 3 f（ 1） = 3， f（ 4） =17 x 1， 4， 3 f（ x） 17 要使 f（ x） A 1987 对于 x 1， 4恒成立，则 f（ x）的最大值 17 A 1987 A 2004。 （ 1） 已知 g（ x） = txxtxxxx 3223 1313 txxg 2 3 0 x 1， 3 3x2 0， 当 t 3 时， t 3x2 0， 0 xg即 g（ x）在 1.0( 上为增函数， g（ x）的最大值 g（ 1） =t 1=1,得 t=2（不合题意 ,舍去） 当 0 t 3 时 , txxg 2 3 令 xg =0,得 x= 3t 列表如下 :
